1、2 中等数学 数学活动课程讲座 均值代换在解竞赛题中的应用 李耀文 (山东省枣庄市第十八中学，277200) 中图分类号：01221 文献标识码：A 文章编号：10056416(2010)08000204 (本讲适合初中) 将 +，=m中的 、Y分别用詈+z、詈一 来代换，这种代换通常称为均值代换用均 值代换解一些数学竞赛题可以简化解题 步骤，收到理想的解题效果下面举例予以 说明 1求代数式的值 例1已知实数x,y、 满足 +Y=5及 = +)，一9 贝 +2y+3z= (2002，山东省初中数学竞赛) 解由 +，=5，可设 5 5 + ，Y 一 代人 = + 一9化简整理得 +( + ) 一
2、o 于是，z=0，=一 所以， =2，Y=3 故 +2y+3z：8 例2已知 、Y是正整数，并且 xy+戈+)，=23， ，+ 2：120 则 +y2 (2001，全国初中数学联赛) 解由 + +Y=23，可设 收稿日期：20100427 xy + ， +Y 一 两式相乘得 2y =(竽) 0 解得 因为xy均是正整数，所以， 当=时，有 +Y=8，xy=15； 当=一时，有 +y=15，xy=8(舍去) 故 +y =( +)，) 2xy=34 例3设a、6都是正实数，且 一 一 ：0 则(丢 ： 解由题设知垒_一旱：1。 0 0 设 = + ，一詈=一t 0 D Z 两式相乘得丢一t2=一1
3、 解得 ： 2 由于a、b都是正实数，则 告： o 2010年第8期 3 所以， ：4 5 于是， +了a=2t= 故。+(詈) =b一十詈)【( +詈)23 b詈 = ( ) 一31】=2 2求参数的取值范围 例4已知实数口、b满足 a +口6+b ：1且 =aba 一b 则t的取值范围是 (2001，全国初中数学竞赛) 解由题设知 一a2+b ： ， 4a b =(1+ ) 由式可设 口2= +p， 代入式化简整理得 (t+3)(3t+1)=一16p 所以，(t+3)(3t+1)0 解得一3t一 例5已知实数a、b、c满足 r口 一bc一8+7=0， l b +c +bc一6+6=0 试求
4、a的取值范围 (1995，吉林省初中数学竞赛) 解由题设知 fbc= 一8a+7， I(b+c) =(一1) 所以，由式得b+C=(a一1) 6= +t)c- 两式相乘得 bc_-a28口+7： 一t2 4 化简整理得 3口230+27：一42 所以，3a 一30a+27O 解得l口9 3证明等式或不等式 例6 若口+b十c=0，a+b +c =0，求 证：a +b +c =0 (1988，北京市中学生数学竞赛(初二) 证明 由已知得a+6=一c 有 设n=一号+t，6=一号一t 代入a +b+C =0化简整理得 c(手)-o 所以，c=o或t= 若C=0，贝0 a=一b，有a +b9+c =
5、0； 若=，则 a=0，b=一c或b=0，a=一c， 口 +6 +C19=0 综上，a +b +c =0 例7设 、)，、z都是实数，满足条件 +y+z=口， + + = 1口 a0) 求证：0 口，0y-；E。，0 号口 求证：0 口，0y0，0 寺口 (1990，安徽省合肥市初中数学竞赛) 证明 由 +y+ =a，得)，+z=口一 设y= +tZ- 代入 +)， +z =a2化简整理得 3 一2 =一4t 所以，3x 一2axO 解得0 口 由对称性，同理可得 4 中等数学 oy争 4求解万裎(组) 例8解 + 解不妨设 2( +1) 7 ， = 两式相乘得12=4 9一 2 所以， 吉
6、_ 当t= 1时， = + 1，化简整 理得 一2x一1=0，解得 =1 当t=一 I时， ： ：吾一 I1 ，化简 + Z 整理得 一3 一l=0，解得 = 经检验，知 =1 ， = 都是 原方程的根 例9设 、 、 均是实数解方程组 r2 +3，+ ：13， l4x +9y 十 -2x+l5)，+3z=82 (1992，“友谊杯”国际数学邀请赛) 解由 +3y+z=13，得 + =13一 2x= 3y= 代人式化简整理得 3(z-4) +4(z一手) 0 所以，z=4，t= 于是， =3，Y=1 因此，原方程组的解为 ( ，Y。0)：(3。14) 5求最大(小)值 例1O设实数x,y、 满
7、足 +Y+ =5， + +猫：3 则 的最大值是 (2004，“信利杯”全国初中数学竞赛) 解 由 +Y+z=5，得 +Y 5一z 设 = ，= 代入 + + =3化简整理得 3 一lOz一13：一4t 故3z 一lOz一130 解得一1z 、 所以， 的最大值是 例11设实数x,y、 满足 尸+)， 一l， 【缈=g27z+14 问： 。+y 的最大值是什么?当 为何值 时， +y 取最大值? (第31届IMO国家集训队测试) 解由 +，= 一1，可设 z一1 1 z + ，y 了一f 代入 = 。一7z+l4化简整理得 3 一26 一55：一4t 所以，3z 一26z一550 解得 ：5
8、由 +y2=( 十y)22 =( 1)。一2(Z。一7z+l4) =一( 一6) +9， 则当 =5时， + 的最大值是8 纵观上述各例，均值代换其实质是数学 解题中的一种常用换元方法，关键是构造引 进新的变量(元)参与计算与推理，充分体现 2010年第8期 5 出化难为易、以退为进的解题策略如若能巧 妙实施均值代换，则可把知识与方法、内容与 形式有机地结合起来，使解题思路更加宽阔 灵活，解题过程更加完美简洁，收到事半功倍 的效果 练习题 1已知 、Y均为实数，且满足 xy+ +Y 17x2y+xy =66 求 +x3y+x2y +xy +)，4的值 (2000，山东省初中数学竞赛) 提示：仿
9、例2，设 = 17+， +Y= 17一f 答案：12 499 2已知实数a xb、C满足 6+A- + c2+=0 则塑： (1993，“希望杯”全国数学邀请赛(初 二) 提示：仿例3，由已知得a一2b=A- 设n= _26=A - 答案：0 3已知实数a、b、C满足 口 6c一6口+1=06 +c +6c一2a一1=0 求a的取值范围 (1991，湖北省黄冈地区初中数学竞赛) 提示：仿例5 答案： 口 4已知a、b、C满足 ra+b+c=0， 【abc=1 求证：n、b、c中至少有一个大于 (1991，“曙光杯”初中数学竞赛) 提示：仿例7，可设口=一号+ ，6：一号 5方程组 x+ 一 一
10、3= ， l 2 +y+l：6 的解集是 (1998，山东省初中数学竞赛) 提示：仿例9，可设 +)，=3 + =3 答案：( ，Y)=(2，1)或(4，一1) 6已知实数a、b、c满足 a+b+c=2口6c=4 求a,b、c中的最大者的最小值 (2003，全国初中数学竞赛) 提示：仿例10，由已知得 6=一 c=一 答案：4 敬告读者 1编辑部现正发售中等数学合订 本2005(下)、2008(上)、2008(下)，每册 27元；2008(全一册)每册50元； 热售2009(下)、2010(上)每册36元， 2009(全一册)每册7O元。 以上价格均含邮挂费。 2编辑部目前还有部分20022009 年过刊，其中，2008年及之前期刊每本3 元，2009年期刊每本45元。邮寄另加 3O邮费。 地址：天津市河西区卫津路241号中 等数学编辑部 电话：O2223542233 1582263l 163 邮编：300074 本刊编辑部
