1、难点挑战 不要慨叹生活的痛苦 ！ 慨叹是弱者 山东王光儒在物理竞赛中 ，经常碰到一些涉及典型曲线的曲率半径的问题 ，曲率半径在数学上有严格的意义和表达式 ，在曲线的方程已知的条件下 ，还需利用二阶导数对于参加物理竞赛的中学生来说 ，利用物理方法求解曲率半径较为简单利用的运动学公式 ：可得（其中是质点在曲线上的运动速度 ，是在曲线上某点运动时沿法线方向的加速度 ）该类题目的基本思路是首先选择在此轨道上的一种运动 ，然后在此运动下给出轨道上观察点的运动速率和法向加速度 ，最后由上式得到观察点的曲率半径 抛物线的曲率半径例 将小球以 的初速度从楼顶平抛出去 ，如果小球做曲线运动的法向加速度为 ，问小
2、球这时下降的高度及所在处轨迹的曲率半径各为多少 ？ （空气阻力不计 ）如图所示 ，当 时 ，得图 由几何知识得 ，与的夹角因为，所以 槡 ， ， 根据得 椭圆的曲率半径例 质点运动的椭圆轨道方程为 ：图 试利用物理方法求（，）和（，）两点处的曲率半径 ，如图所示解法 要用物理方法求、两点的曲率半径 ，就要想象一种质点的运动 ，该质点运动的轨道是一椭圆 ，由简谐运动的合成知识 ，可把质点的椭圆运动看成个互相垂直的同频率且相位差为的简谐运动的合成设质点的运动方程为 ：，对应的轨道方程就是题中给出的椭圆方程（，）的速度是切向速度 ，又是质点在方向振动时的最大速度 ，有，此处质点受力沿方向 ，即曲线的
3、法向 ，大小为 ：，由简谐运动知识可得 ：，所以 法向加速度为 由式和，得到（，）处曲率半径 同理求得（，）处切向速度 、法向加速度 、曲率半径 ：，解法 我们还可以把此椭圆轨道方程选择成地球在太阳引力场中运动的一条轨道 ，然后由这个质点的运动确定其曲率半径设质量为的太阳位于焦点处 ，如图所示 ，质量为的地球绕太阳运动轨道是题中所给的椭圆由地球在太阳引力场中运动机械能守恒和角动量守恒 ，可推出地球绕太阳运动的机械能可表示为 ： 对于点 ：，其中，所以（）（槡） 对于点 ：难点挑战 宿命论是那些缺乏意志力的弱者的借口 ，其中 槡，所以槡 利用质点做曲线运动的法向动力学方程 可得到行星椭圆轨道各处
4、的曲率半径表达式图 如图所示 ，椭圆轨道上任一点处 ，行星运动法向动力学方程为对于点 ：，将式代入得 对于点 ：，将代入得 这个结果与解法所得结果相同 螺旋线的曲率半径例 一杂技演员在圆筒形建筑物内壁表演飞车走壁演员骑摩托车从底部开始运动 ，随着速度增加 ，圈子越来越大 ，最后进入圆筒形直壁上行驶开始在直壁上同一高度内做圆周运动 ，继而又在直壁上做等距螺旋运动已知圆筒直壁的半径为，摩托车行驶速率为（匀速率运动 ）当摩托车在圆筒形内壁上做等距螺旋线运动时 ，设螺距为如图（）所示 ，试求螺旋轨道的曲率半径和摩托车的法向加速度图 摩托车做等距螺旋线运动时 ，由于速率不变 ，无切向加速度将摩托车的速度
5、分解成水平方向速度水和竖直方向速度竖，由于摩托车做等距螺旋运动 ，且运动中速率不变 ，所以可以知道 ，竖在运动中方向和大小均保持不变 ；水在运动中大小不变 ，方向不断变化 ，其运动相当于在同一水平面内半径为的匀速圆周运动则水 竖 摩托车的加速度为（水 竖）水这里已利用竖因此摩托车做螺旋线运动的法向加速度与水平分速度水做半径为的圆周运动的加速度相同 ，它只有法向加速度 ，没有切向加速度 ，即水 另外 ，我们同样可以从摩托车运动的角度求出法向加速度尽管螺旋线是一条三维空间的曲线 ，但是在三维曲线上取一小线元 ，当线元趋于零时 ，可以看成是趋于同一平面上的小圆弧 ，对应的圆弧半径就是在该处的曲率半径
6、由此可以求出法向加速度因等距螺旋线的对称性 ，各处的曲率半径相同 ，设为，摩托车做螺旋运动时的法向加速度可以写为 比较得 ：水，利用摩托车在筒壁绕一圈的几何关系 ，如图（），得到水（）槡，代入的表达式 ，得螺旋线曲率半径 ，摩托车运动的法向加速度为 摆线的曲率半径例 一个刚性圆轮在直线轨道上做纯滚动 ，圆轮边缘上一点所经历的轨迹称为滚线 （又称旋轮线 、摆线 ）所谓纯滚动就是圆轮与直线轨道的接触点无相对运动设圆轮半径为（）试写出摆线的轨道方程 （利用滚过的角度作为参量 ，如图所示 ）（）试求摆线上各点的曲率半径 （用物理方法 ）（）如图所示 ，设点从直线轨道上的点开始 ，随着圆轮向右滚动 ，点
7、将在滚动平面内经历一条轨迹建立坐标轴由纯滚动可得圆轮上点滚过角度时 ，点的坐标 （，）分别为 ：非常道 我们唯一不会改正的缺点是软弱 图 （），（）这就是参数为的滚线轨道方程（）摆线的形状与圆轮滚动快慢无关但为了用物理方法给出曲线上各点的曲率半径 ，我们选定一种圆轮滚动的方式 ，然后由此运动算出圆轮上点的速度和法向加速度 ，最后求出曲率半径当然 ，正像例题那样 ，求出的曲率半径与选取什么运动是无关的设圆轮滚动时 ，圆心以不变的速度沿直线轨道向右运动 ，同时圆轮绕圆心以不变的角速度转动 ，为保证圆轮在直线轨道上做纯滚动 ，应有关系式设圆轮滚动角 ，点达图示位置 ，点瞬时速度为，其方向必沿摆线在点
8、的切线方向点的加速度为（）此处认为是常量 ，轮心做匀速运动 ，是点相对的相对速度此式说明 ，由于牵连加速度为零 ，绝对加速度等于相对加速度且 因为绕匀速转动 ，所以方向由指向因此 ，点的法向加速度为（） 这里点处曲线的法向为方向由式和，得点曲率半径为（）（）这就是各点处曲线的曲率半径其中几个特殊点的曲率半径 ：（），（） 槡 ，（）（曲线的最高点 ）（作者单位 ：山东省泰安第二中学 ） 安徽华兴恒在各种物理模型 、物理现象 、物理规律中 ，普遍存在着和谐而优美的对称 ，在解题的过程中 ，如果能够巧妙而灵活地运用对称性 ，常可使一些复杂的问题变得简单 平衡位置对称对有关平衡位置对称问题 ，应注意
9、相关物理量在对称位置的大小关系 ，并在解题过程中加以利用图 例 如图所示 ，小球自点静止自 由 下 落 ，到点 时 与 弹 簧 接触 ，到点时弹簧被压缩到最短 ，若不计弹簧的质量与空气阻力 ，则小球在点的加速度 （填 “”“”或 “”）这是一道同学们普遍感到较为棘手的问题 ，因为无法定量分析小球在点受到的弹力大小如果我们适当转换一下思维的角度 ，改成让小球无初速地从点释放 ，则小球将在和间做简谐振动依据简谐振动的对称性可知 ，小球在点与点的加速度大小相等 （两个最大位移处 ），等于那么当小球从处落下时 ，小球所能到达的最低点低于点 ，因此小球在点受到的弹力大于在点受到的弹力 ，所以小球在点具有的向上的加速度 ，其值大于 镜像对称镜像对称是一种空间反演 ，物体在平面镜中成像时 ，物与像总是关于镜面对称的某些物理问题从形体上也常具有这样的对称性如果我们能够抓住这些特征 ，利用物理规律对问题进行迁移或变换 ，常能起到化难为易的作用 ，达到简捷求解的目的例 如图，相对的两个斜面 ，倾角分别为
