1、第三节 向量的乘法,一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结、思考题,实例,一、两向量的数量积,启示 我们可以定义向量的一种乘法运算,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,数量积也称为“点积”、“内积”.,由此得,定义,推导数量积的坐标表达式,如右图,由余弦定理得:,设,则上式可写成,于是,是任意实数,那么,交换律,数乘结合律,分配律,运算律:,两向量夹角余弦满足,正交(或垂直),记作,证,定理,有一个为,结论显然成立,不妨设,定理的坐标形式为,解,例2 已知点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求AMB,解 AMB可以看成向量,与,的夹角,而,=(2
2、-1,2-1,1-1)=(1,1,0),=(2-1,1-1,2-1)=(1,0,1),故,=11+10+01=1,带入公式,实例,二、两向量的向量积,定义,关于向量积的说明：,向量积也称为“叉积”、“外积”.,(反交换律),并规定,(),(),向量积符合下列运算规律：,分配律,是任意实数,那么,结合律,例5 设 是两个向量,证明:,/,/,证 设 均为非零向量(否则命题不证自明),设,向量积的分解表达式:,向量积还可用行列式表示,即,两向量的向量积的几何意义:,(),(),例6 设平面过空间三点A(1,0,0)、B(3,1,-1)、C(2,-1,2),求一个垂直于平面的向量,解,故可取,解,三
3、角形ABC的面积为,例8 设刚体以等角速率绕 l轴旋转，计算刚体上一点M 的线速率 。,解 刚体旋转时,我们可用转动轴 l 上的向量 表示角速度,它的大小 ，它的方向按右手法则定出,如右图.,设点M到 l 轴的距离为a,任取 l 轴上一点记为O，并记 ,若用表示 与 的夹角,则有,从物理中知道,线速率 与角速率 有如下关系：,又符合右手法则,因此得,定义,设,三、向量的混合积,下面推导混合积的坐标表达式,因为,所以,即,显然,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,例9 已知空间内四点A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5)和D(2,4,7),求四面体ABCD的体积.,解,故,例10 问点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3)和D(10,15,17)四点是否在同一平面上？,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
