1、,第二节向量的乘法运算,一、向量的数量积,二、向量的向量积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七章,一、向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明三角形余弦定理,证:,则,如图 . 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的
2、夹角公式, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度,例3. 设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 右图
3、三角形面积,S,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,(证明略),证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 向量积的坐标表示式,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量积的行列式计算法,( 行列式计算见 P339P342 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 证明四点,共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四点共面 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,混合积:,2. 向量关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: 由三角形面积公式,所以,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 已知向量,的夹角,且,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在顶点为,三角形中,求 AC 边上的高 BD .,解：,三角形 ABC 的面积为,2.,而,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
