1、2017 届广西南宁市金伦中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题1 已知集合 ，则 （ ）|18,4MxNxMNA. B. C. D. 4,41,【答案】D【解析】因为集合 ，则 ，故|18,4xx|1x选 D.2 （ ）563iA. B. C. D. 981i9815i9815i9815i【答案】D【解析】因为 ，故选 D.26363iii i3 “ ”是 的（ ）1sinA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 ，可得 ，得 ，但由 不6561sin21sin2一定能够得到“ ”，即“ ”是 的充分不必要条件，故选
2、 A.4 函数 的定义域是（ ）ln15xfxA. B. C. D. ,0,10,【答案】A【解析】由 得， ，故函数 的定义域是 ，15xxln15xfx,0故选 A.5 已知向量 ， ，若向量 与向量 的夹角为 ，则3,2a4,6b2ab=（ ）cosA. B. C. D. 23123【答案】C【解析】由题意得， ， ，故选 C.210,ab4012cos56 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 7 次，每次命中的环数如下：甲 7 8 10 9 8 8 6乙 9 10 7 8 7 7 8则下列判断正确的是（ ）A. 甲射击的平均成绩比乙好B. 乙射击的平均成绩比甲好C. 甲射击的成绩的
3、众数小于乙射击的成绩的众数D. 甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差【答案】D【解析】由题意得，甲射击的平均成绩为 ，众数为 ，极7+81096=8x甲差为 ；乙射击的平均成绩为 ，众数为 ，极差为 ，故4910乙 73甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故选 D.7 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）nanS21na6SA. B. C. D. 63212364178【答案】A【解析】由题意得， ，则 ，即111,nnaaS21nS，故选 A.632Sa8 执行如图的程序框图，则输出的 值为（ ）
4、SA. 33 B. 215 C. 343 D. 1025【答案】C【解析】由题意得， ,故选 C.2468134S9 已知 为两条直线， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ,mn,）A. 若 ，则 B. 若 ，则/,/m/,mC. 若 ，则 D. 若 ，则n/n,/nn【答案】D【解析】A 中，有可能 ，故 A 错误；B 中，显然 可能与 斜交，故 B 错误；C 中，有可能 ，故 C 错误；D 中，由 得， ，又 所n,mnA,A以 ，故 D 正确.10 已知 ，且 是函数 的极值点，则 的cos3fx2xyefx一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 36x3x【答案】B【解析】由题
5、意可得， ，令 ，得 ；令 ，得 ；令2xye0y20y2x，得 ，所以函数 的极值点是 ，即 ，0y2x2xcos3f得 的一条对称轴是 ，当 时，得 是 的一条f 6kZ1kxfx对称轴，故选 B.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值点，余弦函数的对称轴，属于基础题，首先需要求出函数 的极值点，进而求出 值，再由余弦函数的性质，即可2xye求出余弦函数的一条对称轴，因此正确求出函数 的极值点是关键.y11 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 4323【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其底面是底边长为 ，腰长为23的等腰三角形，三棱
6、柱的高为 ，故该几何体的体积是222133V故选 C.【点睛】本题考查了关于“几何体的三视图”与“ 几何体的直观图” 的相互转化的掌握情况，同时也考查了空间想象能力，考查了由三视图求几何体的体积，解决此类题目的关键是得到该几何体的形状以及几何体中的数量关系.12 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直2:1(0,)xyCab12,F2线与双曲线的右支交于两点 ，若 ，且 是 的一个四等,AB1:3:4F2AB分点，则双曲线 的离心率是（ ）A. B. C. D. 552102【答案】B【解析】若 ，则可设 ，因为 是 的一个1:3:4AFB13,4AFmB2FAB四等分点；若 ,则 ,但此时
7、 ，再由2422, 1230m双曲线的定义，得 ，得到 ，这与 矛盾；1a0a若 ,则 ，由双曲线的定义，得2AFB22,3AFm，则此时满足 ,1 121532maaB2211AFB所以 是直角三角形，且 ,90B所以由勾股定理，得 ，得 ,22222113AFac10e故选 B.【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，分类讨论思想，属于中档题，首先对 是 的一个四等分点2FAB进行分类讨论，经过讨论，只有 成立，经过分析，发现证明了 214AFB1F是直角三角形，且 ，因此可利用勾股定理得到 之间的关系，进而得190B,ac到 的值，综
8、合分析发现得到 是直角三角形是解决问题的关键.e1二、填空题13 已知函数 ，则 _21,0xf3f【答案】 5【解析】由题意得， .312,535fff14若 ， 满足 则 的取值范围是_xy6,28xy【答案】 1,38【解析】由题意得，可行域如下图所示，当 分别过点 时取最值，xy1,86,2HF即 ，故 的取值范围是 .minmax16,382xyy ,315定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为 ，焦点三角形的周长为 ，则椭圆2:1(0)xyCab454512的方程是_【答案】2351xy【解析】设椭圆的半焦距为 ，由题意得， ，所以 ，故椭c245
9、1256acca4b圆 的方程是 .C2135xy16在数列 中， ，记 是数列na 12331,4,2nnaaanS的前 项和，则 _n40S【答案】 6【解析】由题意得，当 为奇数时， ，即数列 中的偶n31312,naana数项形成首项为 ，公差为 的等差数列， 32；24640940aa当 为偶数时， ，即数列 中的奇数项两相邻项之和均n3131,2nana等于 ， ，因此，该数列的前 项和213539102aa 40.40460S【点睛】本题考查了数列递推式，数列的求和问题，考查了分类讨论思想，属于中档题，解题时要注意分类讨论思想和分组求和法的合理运用，解这类题时，发现其中奇数之间有
10、关系，偶数之间有关系，从而可用分组求和的方法求解，因此分类讨论思想和分组求和法的合理运用是解题关键.三、解答题17在 中，内角 的对边分别为 ，且 .ABC,abc3sincosAaB（）求 ；（）若 ，求 .3,sinibA,【答案】 （） ;（） .63ac【解析】试题分析：（）利用正弦定理可对 进行化简，即可得到3sincosbAaB的值；（）利用正弦定理对 进行化简，可得到 ，再利用BsinC3a的余弦定理，可求出 的值.,ac试题解析：（）由 及正弦定理，得 .3iobAB3sinsicoA在 中， .ABCsin0,sinc,ta.0,6（）由 及正弦定理，得 ，sin3iA3ca
11、由余弦定理 得， ，22osbacB22cos6即 ，29ac由，解得 .3,c18甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 ，边界忽略不计)即为中奖4乙商场:从装有 2 个白球、2 个蓝球和 2 个红球的盒子中一次性摸出 1 球(这些球除颜色外完全相同)，它是红球的概率是 ，若从盒子中一次性摸出 2 球，且摸到的是 2 个13相同颜色的球，即为中奖.（）求实数 的值；a（）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.【答案】 （） ;（）顾
12、客在甲商场中奖的可能性大.2【解析】试题分析：（）根据随机事件的概率公式,即可求出 的值；（）设顾客a去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件 ，利用几何概型求出顾客去甲商场中A奖的概率；设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件 ，利用等可能事件概B率计算公式求出顾客去乙商场中奖的概率，由此能求出顾客在甲商场中奖的可能性大试题解析：（）根据随机事件的概率公式， ，解得 .123a2a（）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件 ，试验的全部结果构成A的区域为圆盘，面积为 （ 为圆盘的半径） ，阴影区域的面积为 .2r 2214Sr故由几何概型，得 .214rPA设顾客去乙商场一次摸出
13、两个相同颜色的球为事件 ，记 2 个白球为白 1，白 2；2 个B红球为红 1、红 2；2 个蓝球为蓝 1、蓝 2.则从盒子中一次性摸出 2 球，一切可能的结果有（白 1、白 2） ， （白 1、红 1） 、 （白1、红 2） ， （白 1、蓝 1） ， （白 1、蓝 2） ；（白 2、红 1） ， （白 2、红 2） ， （白 2、蓝 1） ，（白 2、蓝 2） ；（红 1、蓝 1） ， （红 1、蓝 2） ， （红 2、蓝 1） ， （红 2、蓝 2） ；（蓝 1、蓝 2）等共 15 种；其中摸到的是 2 个相同颜色的球有（白 1、白 2） ， （红 1、红 2） ， （蓝 1、蓝 2）等
14、共 3种；故由古典概型，得 .35PB因为 ，所以顾客在甲商场中奖的可能性大.A19如图，几何体 中， 平面 ， 是正方形， EFCDEABCDEF为直角梯形， ， ， 的腰长为 的等腰直角BCD/B2三角形（）求证： ；BCAF（）求几何体 的体积.ED【答案】 （）证明过程见解析；（） .163【解析】试题分析：（）证明 ，然后证明 平面 ，推出ACBDEABC平面 ，利用直线与平面垂直的性质定理证明 ；（）利用几何BCAFF体的体积 ，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥EBCDAEFVV的体积公式计算试题解析：（）证明：因为 是腰长为 的等腰直角三角形，所以B2.A因为 平面 ，所
15、以 .EEC又 ，所以 ./DCF又 ，所以 平面 .AF所以 .B（）因为 是腰长为 的等腰直角三角形，ABC2所以 ，2, 4ABC所以.sin2sin5,cos42cos52DDABC所以 ，EFC由勾股定理得 ，22AE因为 平面 ，所以 .BA又 ，所以 平面 .,DDCDEF所以 EFABCACEFABVV几 何 体 几 何 体 几 何 体11=33BDSS四 边 形 22.16320已知抛物线 ，过点 的直线 交抛物线于 两点，坐2(0)ypx2,0Cl,AB标原点为 ，且 12OAB（）求抛物线的方程；（）当以 为直径的圆的面积为 时，求 的面积 的值16AOBS【答案】 （I
16、） ；（） 的面积为 4.24yxAOB【解析】试题分析：（I）将 代入 ，利用韦达定理可得， 2my2px，利用 ，可得 ，代入即可得1212,ypy112y到 的值；（）根据（I）中 的值，将 化为p2480y，可得到 的式子，由直径 ，解方程可求出 的值，12124,8ymyABABm进而可求出 的面积 的值.AOBS试题解析：（I）设 ，代入 ，得:lxy2ypx240,*ypx设点 ，则 ，则 ，12,xy1212,4m21y因为 ，OAB所以 ，即 ，解得 .12xy412pp所以抛物线的方程为 .2x（）由（I） 化为 ，则 .*80ym12124,8ymy又 ，22163AB因
17、为以 为直径的圆的面积为 ，所以圆的半径为 4，直径 .8AB则 ，得 ，得 ，2163m21634m4260m得 ，得 （舍去）或 ，解得 .0223当 时，直线 的方程为 ，原点 到直线l30xy,0O的距离为 ，且 ，所以 的面积:320lxy221d8ABB为 ；1814SAB当 时，直线 的方程为 ，原点 到直线3ml320xy,0O的距离为 ，且 ，所以 的面积:20lxy2211d8ABB为 .18142SABd综上， 的面积为 4.O【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得到根与系数的关系，焦点弦长公式，弦长公式，点到直线的距离公式，数
18、量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，合理的利用根与系数的关系和弦长公式是解决问题的关键.21已知函数 .lnfxaR（）讨论函数 的单调性；（）记函数 的两个零点分别为 ，且 .已知 ，若不等式fx12,x12x0恒成立，求 的取值范围.12lnl【答案】 （）函数 在 上单调递增；在 上单调递减; （）fx0,a,a.1【解析】试题分析：（）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数 的单调区间即可; （）分离参数得： ,从而可得 恒成立；再12ax122lnxa令 ,从而可得不等式 在 上恒成立，再令12,0xtlntt0,t，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可1lntht试题解析：（）依题意，函数 的定义域为 ，fx0,，1axfx当 时， 恒成立，故函数 在 上单调递增；0a0ffx,当 时，令 ，得 ；令 ，得 ；x1a01xa故函数 在 上单调递增；在 上单调递减，f10,a,（）由（I）可知 分别为方程 的两个根，即 ， 12,xln0xa1lnxa，2lnx所以原式等价于 .1212axx
