1、20162017 学年度第一学期期末考试高三数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 03|2xA，集合 1|xB，则 )(BCAU等于（ ）A 1,( B 1,( C )3, D 3,2.若 iz2，则复数 z在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知 21sinco，则 cosin等于（ ）A 83 B C 43 D 23 4. dx2sin的值为（ ）A B C. 21 D15. 已知 ,是两个不同平面，直线 l，则“ /”是“ /l”
2、的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件6.设 tnm,都是正数，则 mtn4,三个数（ ）A都大于 4 B都小于 4 C. 至少有一个大于 4 D至少有一个不小于 47.已知圆 C方程 022ayx，圆 C与直线 02yx相交于 BA,两点，且 OB（O为坐标原点） ，则实数 的值为（ ）A 54 B 1 C. 58 D 518.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（ ）A 31 B 32 C. 52 D 549.设实数 yx,满足约束条件 06yx，则 2xy的最小值是（ ）A 81 B 81 C. 0 D
3、110.若函数 )(xfy的图象上存在两个点 BA,关于原点对称，则称点对 ,BA为 )(xfy的“友情点对” ，点对 ,与 ,A可看作同一个“友情点对” ，若函数 0,960,2)(23axxf恰好由两个“友情点对” ，则实数 a的值为（ ）A 2 B2 C. 1 D0第卷二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11.已知向量 )3,(a， ),0(xb，若 |ab，则实数 x 12.等差数列 n的前 项和为 nS，且 4,63，则公差 d 13.执行如图的程序框图，则输出的 i 14.若函数 xysin能够在某个长度为 1 的闭区间上至少两次获得最大值 1，且在区间
4、15,6上为增函数，则正整数 的值为 15.已知 O为原点，双曲线 )0(2ay上有一点 P，过 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 BA,，平行四边形 OBPA的面积为 1，则双曲线的离心率为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.已知定义在 R上的偶函数 )(xf，当 0时， 32)(xf.（1）求 )(xf的解析式；（2）若 7a，求实数 a的值.17.在锐角 ABC中， cb,是角 CBA,的对边， )cos(sin3CABC.（1）求角 的度数；（2）若 3a，且 的面积是 ，求 cb.18.如图，在三棱柱 1C
5、BA中， 1底面 ABC， 4,2,1CAB， M是棱1C上一点.（1）求证： AMBC；（2）若 25，求二面角 CB1的大小.19.对于数列 na， b， nS为数列 na是前 项和，且 naSnSn)1(， 1b，Nbn,31. （1）求数列 n， 的通项公式；（2）令 )1(nbac，求数列 nc的前 项和 nT.20.已知椭圆 1C: )0(2bayx的离心率为 21e，且与 y轴的正半轴的交点为 )32,0(，抛物线 2的顶点在原点且焦点为椭圆 1C的左焦点.（1）求椭圆 1与抛物线 2的标准方程；（2）过 )0,(的两条相互垂直直线与抛物线 2有四个交点，求这四个点围成四边形的面
6、积的最小值 . 21.已知函数 )ln(2axxg，其中 为常数.（1）讨论函数 )(的单调性； （2）若 xg垂直两个极值点 21,x，求证：无论实数 a取什么值都有 )2(2)(11xgxg.试卷答案一、选择题1-5: CDADA 6-10:DCCAB 二、填空题11.2 12.2 13.4 14.7 15. 25 三、解答题16.解：（1）设 0x，则 x， 32)(xf，又 )(xf为偶函数， )(xff，)(32)(xf，故 0,)(f.（2）当 0a时， 2732af ；当 时， )(a.故 .17.解：（1）在 ABC中， ，那么由 )cos(sin3CABC，可得Ai2)co(
7、)cs(o)cs(in3 ，得 23in，则在锐角中， 3.（2）由（1）知 A，且 3sin21bcSABC，得 12bc，由余弦定理得bcaos2，那么 bcAa 3)(os22 ，则483)(2cb，可得 4c.18.解：（1）三棱柱 1CBA中， 1平面 BC， 1. 2,BCA， 22，即 A.又 C1， B平面1， M平面 1， M.（2）以 为原点， ,CA分别为 zyx,轴建立空间直角坐标系 xyz.因为 25M，所以 )250()4()0,2(),(1BC， )3,0(),250(1BA.设平面 1AM的一个法向量 ),(zyxn，则 ,1Mn，即 0),(23,0(,5,z
8、yx，令5x，则 4,3zy，即 )4,35(，又平面 CB1的一个法向量 ),A，2|,cosCAn，由图可知二面角 A1为锐角，二面角 CMB1的大小为4.19.解：（1） ）因为 ，所以 ，1()nnSSa12na所以 221()()naa2)3(12n，所以数列 na的通项公式为 ，2na由 ，可得 ，132nb13()b所以数列 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，所以123nnb，2所以数列 n的通项公式为 1n（2 ）由（1 ）可得 ，21()3nnc所以 0122143nnT，01322n n， 得 ，22126(1)33n nT1152363nn所以 154nn20.解：（1
9、）设半焦距为 )0(c，由题意得32,1bace， 2,3,4cba，椭圆1C的标准方程为 126yx.设抛物线 2的标准方程为 )0(2pxy，则2c， 4p，抛物线 2C的标准方程为xy82.（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为 0，设其中一条直线 1l的斜率为 k，直线 1l方程为)1(xky，则另一条直线 2l的方程为)(1xky，联立 xy8)(2得082k， 06432，设直线 1l与抛物线 2C的交点为 BA,，则244|AB，同理设直线 2l与抛物线 2的交点为 D,，则41)1(| 222 kkCD，四边形的面积241| 22 kkCDABS24280)1(8k )25)
10、(12(16)25)(6 244 kkk ，令 221kt，则t（当且仅当 1k时等号成立） ， 964tS.当两直线的斜率分别为 和 时，四边形的面积最小，最小值为 96.21.解：（1）函数的定义域为 ),(a.xaxg122)(，记 12(axxh，判别式 842a.当 084即 时， 0)恒成立， 0)(g，所以 )(xg在区间 ),(a上单调递增.当 2a或 时，方程 12ax有两个不同的实数根 21,，记 21，22ax，显然 21x（）若 ， )(ah图象的对称轴 02ax， 01)(h.两根 21,x在区间 ,0a上，可知当 x时函数 )(h单调递增， )(ax，所以 )(xg
11、，所以 )(g在区间 )(上递增.（）若 ，则 12axxh图象的对称轴 02ax， 01)(h.，所以21xa，当 1时， 0)(，所以 )(g，所以 )(xg在 ,21上单调递减.当或 2时， x，所以 x，所以 在 ),a上单调递增.综上，当 a时， )(g在区间 ),(a上单调递增；当 时， (x在2,2(a上单调递减，在 ),2(),2, aa上单调递增.（2 ）由（1 ）知当 a时， )(xg没有极值点，当 时， xg有两个极值点 21,x，且21,xx. 2ln1)ln()ln()( 22121 axg，2ax又 l41 ag，2lnl4)2(2)( 211 agg.记 2ln1l)(2h， a，则0)( axh，所以 )(h在 时单调递增， 02ll4)( ，所以0a，所以 22)(11xgxg.
