1、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分 a0、a0、a2时分 a0、a0 和 a0 且 a1，plog (a a1)，qlog (a a1)，则 p、q 的大小关系是32
2、_。A. pq B. pq D.当 a1 时，pq；当 00、a0、a1、00、x0 且 a1，比较|log (1x)|与|log (1x)|的大小。aa【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数 a 有关，所以对底数 a 分两类情况进行讨论。【解】 01 当 00，log (1x)0;a aa2 当 a1 时，log (1x)0，所以aa|log (1x)|log (1x)|log (1x) log (1x)log (1x )a aa20；由、可知，|log (1x)|log (1x)|。aa【注】本题要求对对数函数 ylog x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当 a1 时
3、其是增函数，当 00，使得lgSn2n1lg（S c）成立？并证明结论。(95 年全国理)l()l()ccn2n1【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前 n 项和的公式时，由于公式的要求，分 q1 和 q1 两种情况。【解】 设a 的公比 q，则 a 0，q0 1当 q1 时，S na ，从而 S S S na (n2)a (n1) a ann2n1212110, 使得 lg（S c）成立。lg()l()Sccnn2n1【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明log S ，和理科第一问类似，只是所利用的是底
4、数是 0.5 时，logl05052Snn05.n1对数函数为单调递减。例 1、例 2、例 3 属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。例 4. 设函数 f(x)ax 2x2，对于满足 10，求实数 a的取值范围。【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。【解】当 a0 时，f(x)a（x ） 21a 或120fa ()4120fa()或146820fa () a1 或 ；12当 a 。12【
5、注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数 a 分 a0、a0 时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。例 5. 解不等式 0 (a 为常数，a )()xa462112【分析】 含参数的不等式，参数 a 决定了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情况 a0、a0、 0 时，a ； 4a0 。 所以分以下四种情况讨论：21 4 x1 4 x当 a0 时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当 a0 时，x 0，解得：x0；2当 0，解得: x4a；1当 a 时，
6、(x4a)(x6a)0 时，x6a；当 a0 时，x0；当 4a；当 a 时，6a0)， y 2ya 解得：y1 2 1（0a1）由上可得，z(1 )或(1 )1a1【注】本题用标准解法（设 zxy再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对 z 分两类讨论则简化了数学问题。【另解】 设 zxy，代入得 x y 2 2xya； xy2 a220当 y0 时，x 2|x|a，解得 x(1 )，所以 z(1 )；2 aa当 x0 时，y 2|y|a，解得 y(1 )，所以(1 )。由上可得，z(1 )或(1 )【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住 2x
7、y0 而分x0 和 y0 两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。例 7. 在 xoy 平面上给定曲线 y 2x，设点 A(a,0)，aR，曲线上的点到点 A 的距离2的最小值为 f(a)，求 f(a)的函数表达式。 （本题难度 0.40）【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件 x0 下的最小值问题，而引起对参数 a 的取值讨论。【解】 设 M(x,y)为曲线 y 2x 上任意一点，则2|MA| (xa) y (xa) 2xx 2(a1)xa x(a1) (2a1)22 222由于 y 2x 限定 x0，所以分
8、以下情况讨论：当 a10 时，xa1 取最小值，即|MA 2a1；2min当 a1log (x a) (a0 且 a1)a2a211.设首项为 1，公比为 q (q0)的等比数列的前 n 项和为 S ，又设 T ，求nnS1T 。limn 12. 若复数 z、z 、z 在复平面上所对应三点 A、B、C 组成直角三角形，且|z|2，23求 z 。13. 有卡片 9 张，将 0、1、2、8 这 9 个数字分别写在每张卡片上。现从中任取 3张排成三位数，若 6 可以当作 9 用，问可组成多少个不同的三位数。14. 函数 f(x)(|m|1)x 2(m1)x1 的图像与 x 轴只有一个公共点，求参数 m的值及交点坐标。
