1、2018 届山西省太原市高三上学期期末考试数学理试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 |320Ax， |(1)30Bx，则 AB（ ）A (,1) B (,) C 2,(,) D 2(1,)32.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ）A93 B123 C137 D1673.已知 a， b都是实数，那么“ 2ab”是“ 2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必
2、要条件4.对于复数 z，定义映射 :fzi.若复数 z在映射 f作用下对应复数 2+3i，则复数 z在复平面内对应的点位于（ ）A第四象限 B第三象限 C.第二象限 D第一象限5.等差数列 na的前 项和为 nS， 39， 6S，则 8a（ ）A21 B15 C.12 D96.已知 1(,)2x， lx， 2lb， 3lncx，那么（ ）A abc B ca C.bac D bca7.已知 sin()3，那么 os()3（ ）A 59 B 23 C. 23 D 598.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的 x， 2n，依次输入的 a为 2,2,5，则输出的s（ ）A10 B12 C.6
3、0 D659. 51()x展开式中的常数项为（ ）A1 B21 C.31 D5110.已知函数 39yx的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为（ ）A 4 B 12 C. 3 D 2311.已知一个几何体是由半径为 2 的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形） ，则该三棱锥的体积为（ ）A 23 B 43 C. 8 D 16312.已知函数 ()ln1)fx， (gxk（ *N） ，若对任意的 (0,)xt（ ） ，恒有2|()|fg，那么 k的取值集合是（ ）A 1 B 2 C.1,2 D 1,23第卷（共 90 分）二、填空题
4、（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 1()xf， 2,，则 ()fx的最大值是 14.不共线的三个平面向量 a， b， c两两所成的角相等，且 |1ab， |3c，则 |=abc 15.已知 2(log)70fx，那么 ()1(6)ff 16.已知三棱柱 1ABC所有棱长均相等，且 110BAC，那么异面直线 1AB与 C所成的角的余弦值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和为 nS，且 1(2)na， 416， *nN.（1）求 1及数列 的通项公式；（2）设2nba，求
5、数列 nb的最大项.18. ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，已知 tant3tanABAB.（1）求角 ；（2）若 3c， 的面积为 32，求 ABC的周长.19. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 3 个红球和 7 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 3 个球.（1）设 表示摸出的红球的个数，求 的分布列和数学期望；（2）为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可摸球两次，每次摸球后放回，若规定两次共摸出红球的个数不少于 n，且中奖概率大于 60%时，即中奖，求 n的最大值.20. 如图，在四棱锥 PABCD中， AB， PDC
6、， 23ABD， 30BA.（1）证明： ；（2）若 ， ， 60，求二面角 的余弦值.21. 已知函数 ()xmfe（ 0）有极小值.（1）求实数 的取值范围；（2）若函数 2()(ln1)xha在 x时有唯一零点，求实数 a的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，写清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 C的极坐标方程 2cosin.以极点为原点，极轴为 x轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线 l的参数方程为 3,6ty（ t为参数）.（1）写出曲线 的参数方程和直线 l的普通方程；（2）过
7、曲线 C上任意一点 M作与直线 相交的直线，该直线与直线 l所成的锐角为 30，设交点为 A，求 |MA的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点 M的坐标.23.选修 4-5：不等式选讲设函数 ()|1|2|fxx2()54gx.（1）求不等式 5f的解集 M；（2）设不等式 ()0gx的解集为 N，当 x时，证明： ()3fxg.试卷答案一、选择题1-5:BCDAB 6-10:CADDB 11、12：CA二、填空题13.3 14.4 15.2017 16. 6三、解答题17.由题得 43186aSa，解得 12a，故 12n，则 时， 12nn，令 ， 1成立，所以数列 a的通项公式为
8、 na.（2）2nb，22111()nnnnb.当 1时， 20，则 1nb，当 3n时， 1n，则 ，故数列 b前 3 项依次递增，从第 3 项开始依次递减，所以数列 n的最大项为 398b.18.（1）由 tattanABAB得 3tn()tn1t，又 0，则 23，故 ()C.另解：由已知得 siisincocoABAB，则 sin()3()0B，即 ta()3，又 0，则 23，故 C.（2）由余弦定理及（1） ，得 2cos3cb，则 29ab，又 sin4ABCSaba，则 6a，则 22()927b，即 3b，所以 的周长为 3.19. 0,123710()24CP，12370(
9、)4CP，21370()4CP，310()，则 的分布列为0 1 2 3P724240740120的数学期望为 79()0131E.（2）设两次共摸出红球的个数为 ，则 ,2,561(6)02P， 4(5)10P， 7(4)02P， 2716(3)0P，5439， 2， 1，则有 6739() 6.8%，则 2n.20.（1）由 PDAB， C， AB，得 PD平面 ABC，从而 .又在 中，又余弦定理得 22 21cos30，则有 22AB，所以 90ADB，即 B，又 PD，则有 ，则有 A平面 B，故 AP.（2）以 为原点建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz，设 3D，则 (,0)，
10、(,3)， (0,1)B， 31(,0)2C，设平面 APB的一个法向量为 ,mxyz，则30,mxyz令 1，则 3y， 1z，故 (,31)m，设平面 PBC的一个法向量为 (,)nxyz，则有310,2nBCxyPzA令 1x，则有 3y， 1z，故 (,31)，所以 cos,|5mnA，由图知，二面角 PBC的余弦值为 3.21.（1）函数定义域为 R， (1)xfe，令 ()0fx，得 1，当 0m时，若 1x，则 (0；若 ，则 ，故 ()0fx在 处取得极小值，当 时，若 ，则 )fx；若 1，则 ()fx，故 在 处取得极大值.所以实数 的取值范围是 (,.（2）函数 2()l
11、n)xhea在 0x时有唯一零点，即方程 ln1xae在 0x时有唯一实根，由（1）知函数 ()xpe在 1处取得最小值 1e，设 ln1()xga， 2ln()g，令 ()0gx，有 ，列表如下 x(0,1)1 (1,)()g正 0 负x增函数 极大值 减函数故 1时， max()(1)ga，又 0x时， ； 时， ()0px， ()gxa，所以方程 lnxe有唯一实根， 1ae或 ，此时 的取值范围为 1|ae或a.22.（1）曲线 C 的直角坐标方程为 220xyxy，表示圆心为 (2,1)C，半径为 3r的圆，化为参数方程为 cosinxy（ 为参数）直线 l的普通方程为 230.（2
12、）由题知点 M到直线 l的距离 1|2dMA，设点 (3cos,1in).则有点 到直线 l的距离 |43si6cos|43sin()|d，其中 3cos， 6sin，当 in()1，即 2时， max73d， max143|MA，此时 6cosi3， sinco， (2,0)；当 in()1即 2时， min3d， min3|A，此时 6cosi3， sicos， (0,2)M.综上，点 M坐标为 (2,0)时， max143|A，点 的坐标为 (,)时， min23|MA.23.（1） )5|1|2|5fx，则有 ,240或 ,x或 ,60x解得 1x，解得 2，解得 3，则不等式的解集为 |3Mx.（2） 2()0540gx，解得 14，则 |14Nx，所以 |1Nx.当 1x时， ()3f， 2259()3()4fgxx，由 35122x，有 259()04x，则 ()3fxg成立.综上， ()3fg成立.注：以上各题，其他正确解法相应得分.
