1、企业退休职工养老金制度问题的数学模型摘要 关键词一、问题的重述随着我国经济不断的发展，人民生活水平日渐提高，国家的各项保障制度也在不断的健全，针对企业退休职工的生活保障问题，国家出台了企业退休职工养老金制度。养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，其中社会统筹部分由职工工资总额按一定比例（20%）构成，个人账户由职工个人工资按一定比例（8%）构成。两者合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之
2、比（缴费指数） ，并结合退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金） ，加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金） ，作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为 3%。养老金的发放因职工在职工资及社会平均工资而改变；工资又与国家经济相关。目前我国仍是发展中国家，工资增长率较高；相较而言，发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在 21 世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等
3、发达国家水平。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率低，生活水准低，收支平衡易维持；替代率高，生活水准高，收支平衡难维持，可能出现缺口。为进一步保障企业退休职工的日常生活质量，当前急需对企业退休职工的养老金制度进行改革，现有问题如下：问题一：参考附件 1，对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设并预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件 2 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值
4、，考虑该企业职工自 2000年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65岁） ，计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二、模型的假设2.1 模型的假设与说明1、同年每月养老金一定（2）
5、2、某职工 2000 年年初 30 岁开始缴费，直至 2025 年年初退休，到 2045 年年初死亡；3、利息计算按照单利计算；4、养老金的涨幅受政府调控影响，是一定值；三、符号的设定及文字说明y(x-33)=1.9345*x3-50.016*x2+533.15*x-555.55;1、X ：年份2、Y ：山东省职工历年平均工资3、P1: 系数4、P2: 系数5、P3: 常数四、问题的分析4.1 问题（1）的分析我国是一个新兴的社会主义国家，同时又是全世界最大的发展中国家，自改革开放以来，我国走上了具有中国特色的社会主义道路。为了使全国各族人民尽快过上富足的日子，党和国家坚持走社会主义市场经济的
6、经济道路，从此我国的经济飞速发展，尤其在 2001 年加入世贸组织之后，我国的经济面貌更是呈现出繁荣的景象。近 30 年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；根据国际形势的不断发展，发达国家的经济和工资增长率都渐渐变的较低，而我国经济发展的战略目标，是要在 21 世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，所以随着我国国民生产总值的不断提高，我国也会从一个社会主义国家发展成为发达国家，未来我国的经济发展和工资增长形势也必将会由快变慢。自改革开放以来，在我们伟大执政党的正确领导下，通过一代代领导人的不懈努力，国家的繁荣、经济的发展、人民生活水平的日益提高举世共睹，作为一个发展中国家，我国
7、的经济呈现飞速发展的趋势，国家经济与人民工资水平增长迅速，越来越多的家庭过上了小康生活。但是，我们同时也要清醒的认识到，我们是世界上最大的发展中国家，随着国力的不断增强，国家经济形势逐渐趋于稳定，经济增长率与人民工资增长率逐渐降低。假设在不发生战争和政治动荡等影响经济发展的重大事件情况下，经济继续保持平稳较快的增长，人民工资收入随着国家经济的发展持续增长。根据我国的宏伟目标，为了使我国在 21 世纪中叶能赶上中等发达国家经济水平，在此之前，我国的经济增长率必须处于一个较快的增长态势。附件 1 是山东省职工 1978-2010 年 33 年间的平均工资数据，根据其所给出的数据，我们借助 MATL
8、AB 软件进行绘图，并利用拟合的方法构造出以年份为自变量，平均工资为应变量的函数，最后通过年份推算出 2011 年-2035 年的山东省平均工资水平；.4.2 问题（2）的分析根据附件（2）的 2009 年山东省某企业各年龄段工资分布表所给出的八个年龄段的职工数和月收入范围，计算出 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，列表格（2）如下：年龄段 职工平均工资 公司平均工资 比值20-24 岁职工数 1729.66 2582.229 0.69925-29 岁职工数 2078.911 2582.229 0.80530-34 岁职工数 2537.372 2582.229 0.983
9、35-39 岁职工数 2754.15 2582.229 1.06740-44 岁职工数 3027.946 2582.229 1.17345-49 岁职工数 3269.51 2582.229 1.26650-54 岁职工数 3120.141 2582.229 1.20855-59 岁职工数 2981.678 2582.229 1.155表格（2）由题意可知，这些比值可被看做成职工缴费指数的参考值，并考虑到该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，计算这六种情况下的养老金替代率。题中给出养老金替代率是指职工刚退休时的养老
10、金占退休前工资的比例。其具体解法如下所示：根据附件（3）养老金计算办法可得：职 工 退 休 时 的 养 老 金 由 两 部 分 组 成 ： 养 老 金 =基 础 养 老 金 +个 人 账 户 养 老 金个 人 账 户 养 老 金 =个 人 账 户 储 存 额 计 发 月 数 （ 数 据 见 表 一 ）基 础 养 老 金 =（ 全 省 上 年 度 在 岗 职 工 月 平 均 工 资 +本 人 指 数 化 月 平 均 缴费 工 资 ） 2缴 费 年 限 1%本 人 指 数 化 月 平 均 缴 费 工 资 =全 省 上 年 度 在 岗 职 工 月 平 均 工 资 本 人 平均 缴 费 指 数 能 够
11、 正 确 反 映 “本 人 指 数 化 月 平 均 缴 费 工 资 (Average Indexed Monthly Earnings)”指 标 的 计 算 公 式 为 ： (1)1112mccxxSn公 式 (1)中 ， 为 参 保 人 员 退 休 前 1 年 、 2 年 、 、 m 年 本 人12,mx缴 费 工 资 额 ； 为 参 保 人 员 退 休 前 1 年 、 2 年 、 、 m 年 全 国 /省c/地 市 “职 工 平 均 工 资 ”或 称 “社 会 平 均 工 资 ”； n 为 企 业 和 职 工 实 际 缴 纳 基本 养 老 保 险 费 的 月 数 合 计 （ 可 以 简 单
12、 认 为 等 于 12m， m 为 企 业 和 职 工 实 际 缴纳 基 本 养 老 保 险 费 的 年 限 ） 。 称为退 休 前 第 i 年 的 缴 费 指 数 ， i=1,m.ixc参保人员 i 年度的本人缴费工资 通过工资指数 得到指数化缴费工资i 1ic，从而使各年度不可比的 换算为相当于参保人员退休前 1 年社会平均1icxix工资 水平的、可比的各年度指数化缴费工资 ，各年度指数化缴费工资1 1icx加总再除以参保人员实际缴费月数和 n，进而得到本人指数化月平均缴费1icx工资 S。由此，该指标能够反映参保人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。表一：个人账户养老金计发月数表退休年
13、龄 计发月数 退休年龄 计发月数40 233 56 16441 230 57 15842 226 58 15243 223 59 14544 220 60 13945 216 61 13246 212 62 12547 208 63 11748 204 64 10949 199 65 10150 195 66 9351 190 67 8452 185 68 7553 180 69 6554 175 70 5655 170我 们 根 据 2009 年 该 企 业 各 年 龄 段 职 工 工 资 与 该 企 业 平 均 工 资 的 比 值 ，4.3 问题（3）的分析五、模型的建立与求解5.1 问题
14、（1）的模型建立与求解根据对问题（1）的分析，得出以下假设：未来我国经济发展和工资增长的形势将会呈现出良好的势态，在二十一世纪中叶之前，将会继续保持现在的良好势头，经济和工资增长率都将稳步提高，上升到一个很高的水平，然后随着国力的逐渐增强，到了二十一世纪中叶左右，基本实现国民生产总值达到中等发达国家水平，经济发展速度将会逐渐减慢，工资增长率也将会不断降低。然后再过一个阶段，经济发展速度将会慢下来，工资增长率也将变低，呈现出稳步前进的态势。根据附件 1 山东省职工历年平均工资统计表，利用 1978-2010 年平均工资与各年份的函数关系，我们采用拟合方法并线性回归，列出它的函数关系式，并绘出了其
15、函数图形。t=1:33;y=566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074;plot(t,y,o)= p1*x + p2 Coefficients:p1 = 825.12p2 = -6059.3Norm of residuals = 24056在进行图形和数据分析之后，对其采用线性回归的方法，得到平均工资关于年
16、份的函数关系式，如下所示：format long for x=34:59y(x-33)=1.9345*x3-50.016*x2+533.15*x-555.55;end yy =1.0e+005 *Columns 1 through 50.357866420000000 0.397767875000000 0.440731460000000 0.486873245000000 0.536309300000000Columns 6 through 100.589155695000000 0.645528500000000 0.705543785000000 0.769317620000000 0.
17、836966075000000Columns 11 through 150.908605220000000 0.984351125000000 1.064319860000000 1.148627495000000 1.237390100000000Columns 16 through 201.330723745000000 1.428744500000000 1.531568435000001 1.639311620000000 1.752090125000000Columns 21 through 251.870020020000000 1.993217375000000 2.121798
18、260000000 2.255878745000000 2.395574900000001由此得出山东省职工 2011-2035 这二十五年间的平均工资，详见表格（1）：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 平均工资 35787 39777 44073 48687 53631 58916 64553 70554 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 76932 83697 90861 98435 106432 114863 123739 133072 142874 2028 2029 2030
19、2031 2032 2033 2034 2035 153157 163931 175209 187002 199322 212180 225588 239557 表格（1）y(x-33)=1.9345*x3-50.016*x2+533.15*x-555.55;图 1我们利用 MATLAB 软件进行数据处理（线性回归模型拟合）绘制出图像，并利用构造的数学模型预测了 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资如下：综上所述。山东省 1978-2035 年职工的年平均工资处于一直发展的态势，特别是在中后期，发展速度非常快，这也正好符合我们对未来中国经济发展和工资增长的形势的假设。5.2 问
20、题（2）的模型建立与求解根据附件（2）的 2009 年山东省某企业各年龄段工资分布表所给出的八个年龄段的职工数和月收入范围，计算出 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，列表格（2）如下：年龄段 职工平均工资 公司平均工资 比值20-24 岁职工数 1729.66 2582.229 0.69925-29 岁职工数 2078.911 2582.229 0.80530-34 岁职工数 2537.372 2582.229 0.98335-39 岁职工数 2754.15 2582.229 1.06740-44 岁职工数 3027.946 2582.229 1.17345-49 岁职工
21、数 3269.51 2582.229 1.26650-54 岁职工数 3120.141 2582.229 1.20855-59 岁职工数 2981.678 2582.229 1.155表格（2）由题意可知，这些比值可被看做成职工缴费指数的参考值，并考虑到该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60 岁，65 岁） ，计算这六种情况下的养老金替代率。题中给出养老金替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例 y = p1*x2 + p2*x +p3 Coefficients:p1 = -48.492p2 = 632.05p3 = 1078y = -48.492*x2 + 632.05*x +1078for x=9y = -48.492*x2 + 632.05*x +1078;end yy =2.8386e+0035.3 问题（3）的模型建立与求解六、模型的优缺点及改进方向6.1 模型的优缺点1.模型的优点2.模型的缺点6.2 模型的改进方向参考文献
