1、第一讲：因式分解一提公因式法【知识要点】 2016.11.211、分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式 。2、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是 的恒等变形。3分解因式的一些注意点（1）结果应该是 的形式；（2）必须分解到每个因式都不能 为止；（3）如果结果有相同的因式，必须写成 的形式。4公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的 .5.提公因式法如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.6.确定公因式的方法(1)系数公因式: 应取多项式中各项
2、系数为 ;(2)字母公因式: 应取多项式中各项字母为 .【学堂练习】1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?(1) ; (2)1(22xx 1)5(2aba(3) (4)2)(nmn 24xx(5) (6)3(32yy 3)1(32把下列各式分解因式（1） （2）ab692 43246xyyx例 1、把下列各式分解因式（1） （2）)2(3)(2yxbyxa )2(4)2(3)( yxcybxa（3） （4）32)()( 32)(5)(15a（5） （6）432)(2)()( xyyx nmnmxbaxba)()()(11例 2利用分解因式计算（1） （2）5.12346.5
3、12347.52349. 91082例 3已知 ，求代数式 的值。,ab22abba例 4、利用因式分解说明： 能被 140 整除。12763【随堂练习】1下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（ ）A、 B、2)(1aba )1(2yxyxC、 D、)(yxyx 24)(m2已知二次三项式 分解因式 ，则 的值为（ ）cb2 1)3(2xcb,A、 B、 C、 D、1,3cb,666,4cb3下列各式的公因式是 的是（ ）aA、 B、 C、 D、5yax 24maa1052ma24将 用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（ ）)()(bA、 B、 C、 D、3)(3yxyxb35把多项式
4、分解因式的结果为（ ）2)(2amaA、 B、 C、 D、)(2m)1(2ma)1(2ma6多项式 的公因式是 ；多项式是 的公因式是 。xy2 32396cb7分解因式： = 。 （ ） 。2 )()()( nn8已知： 。 的值为 。10,3ab2ab9把下列各式分解因式（1） （2）226abba 32232913bcabca（3） （4）)()(yx )()(yxy【课后强化】 1 分解因式为 ，则 的值为 。42mx)1(43xm2 （ ） 。yny963 )()()(axcabx3把下列各式分解因式（1） （2）xzx122 )(6)(32y（3） （4）3)(4)(y 2baba
5、第二讲：因式分解 公式法、分组分解法1乘法公式逆变形（1）平方差公式： )(2baba（2）完全平方公式： 2222 )(, ba2.常见的两个二项式幂的变号规律： ； （ 为正整数）22()()nnaba2121()()nnba3把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。【学堂练习】1、如果 是一个完全平方式，那么 的值是（ ）2592kxkA B C D 130302、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A、 B、 C、
6、D、42m2yx12yx22am3、把下列各式分解因式：（1） （2） （3） 2ba2916a162yx（4） （5） （6）364yx（7） （8）2xya 429xa【经典例题】例 1用公式法分解因式：（1） （2）224)(ba 22)3()(yx（3） （4）2ba 1682(5) (6)22)(5)1(6xx 9)()(22xx分组分解法掌握分组分解法中使用“二二” 、 “一三”分组的不同题型的解题方法分组后能运用公式（一三分组）a2b 2c 22bcyx2 12yx分组后能提公因式（二二分组） axaybxby abcbac 练习： 把下列多项式分解因式：1.（1） （2） a2
7、abacbc1ab2.（1） （2）273xyx 63cdb3.（1） （2）96ab 24xy4.（1）a 22abb 2c 2 （2） 91a课外延伸1用分组分解法把 abcbac 分解因式分组的方法有（ ） A1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种2. 用分组分解 a2b 2c 22bc 的因式，分组正确的是 （ ）3填空：（1）axaybx by=(axay) ( ) =( ) ( )（2）x 22y4y 2x= ( )( ) =( ) ( )（3）4a 2b 24c 24bc = ( )( ) =( ) ( )4用分组分解法分解因式（1） （2） xay229816ab()()C
8、2(.)2bcaD（3） （4） ba42 22abcdabc5 用合适的方法分解因式：（1） （2）42425m 2231mn（3） （4）)()(22nba )()(9226利用分解因式计算：（1） （2）43.19.22 22981607若 值。32, baab求【随堂练习】1对于多项式 有如下四种分组方法：其中分组合理的是（ ）5321x 53()()523()(1)x532()1x532(1)xA B C D2.ABC 的三边满足 a4+b2c2-a2c2-b4=0，则ABC 的形状是 _.3.已知 ，利用分解因式，求代数式 。ba 22ba4、分解下列因式：（1）3x 312x 2
9、36x （2） 224)1(x（3） （4） a22abb 2ab mn25、计算：（1） （2）204032 198452【课后强化】 （1） （2） （3）28x 2916baba2（4） （5）224)( 22yxyx第三讲 因式分解十字相乘法十字相乘法一、 型的二次三项式因式分解：qpx2（其中 ， ）pabq一、利用十字相乘法将下列各式因式分解（1） 、x 27x6 （2） 、x 25x6 （3） 、x 25x6（4） 、a 24a21 （5） 、t 22t 8 （6） 、m 24m12 （7） 、 （8） 、 （9）3x76x 13x（10） 、 （11） 、 （12） 、x 27
10、x6 102a1582（13） 、x 45x 26 （14） 、m 46m 28 （15） 、x 410x 29（16） 、 （17） 、 4)(3)(b 2)()(yx（18） 、 （19） 、25102xx 24122xx二、二次三项式 的分解：cba如果二次项系数 分解成 、 ，常数项 分解成 、 ；并且 等于一次项系数 ，121c2121cab那么二次三项式： )()( 212121212 cxacxcxacxacbxa 借助于画十字交叉线排列如下：二、利用十字相乘法将下列各式因式分解252x352x2032x752x3776766282 5223285x62x2xabxx)(2)(b
11、ax1把下列各式分解因式（4）9m 26m2nn 2 （5）4x 24xya 2y 2 （6）1m 2n 22mn（7） （8） （9） 43305x（10） （11） （12）x 2xy12y 2102x12（13）x 213xy36y 2 （14）a 2ab12b 2 （15） 361x（16） （17） （18）748yx224ba 因式分解的一般步骤：一提二代三分组、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
12、 因式分解几点注意与说明：、因式分解要进行到不能再分解为止；、结果中相同因式应写成幂的形式；、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。因式分解综合复习【考点分析】考点 1：分解因式的意义1、下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )A. (x+3)(x2)=x 2+x 6 B. axay+1=a(xy)+1C. x2 =(x+ )(x ) D. 3x2+3x=3x(x+1)y1y2 、若多项式 x2+ax+b 可分解为(x+1)(x 2),试求 a、b 的值。xyx15)( 143)(ab17)(考点 2：提
13、公因式法分解因式1多项式 6a3b23a 2b2 21a2b3 分解因式时，应提取的公因式是 ( )A. 3a2b B. 3ab2 C. 3a3b2 D. 3a2b22把多项式 2(x2) 2(2 x) 3 分解因式的结果是（ ）A. (x2) 2(4x) B. x (x2) 2 C.x (x2) 2 D. (x2) 2(2x)3下列各组代数式没有公因式的是（ ）A5a5b 和 ba Bax+1 和 1+ay C (ab) 2 和a + b Da 2b 2 和(a + b)(a + 1)4、分解下列因式（1）8x 2n+2 yn+2 + 12xn+1 y2n+3 （2）x 2y(xy) + 2
14、xy(yx) （3）16（xy） 224xy（yx） （4） xyx393722考点 3：运用公式法分解因式1如果 是一个完全平方式，那么 k 的值是（ ）2592kxA、 15 B、 5 C、 30 D 302. （2009 年北京）分解因式： = 。22491ba（2005 年上海市）分解因式： = 。46nm3、分解下列因式：（1） （2）23nm 4912ab（3） （4）22169ba692考点 4：分组分解法分解因式(1) (2) yx22 142mn（3） （4） 2(1)4aba 22ca考点 5：综合运用提公因式法、公式法分解因式1、 （1）分解因式：4m -m= ；3（2）
15、分解因式：8x y-8xy+2y= 。22、分解下列因式：（1）8a 42a 2 （2） mnyx229（3） （4）22()()abma 22(16)(16)abx考点 6：分解因式的应用1、利用因式分解方法计算：（1） (2) 4.53.740.894.50262280167982、已知 ，求 的值。6,ba2ab3、ABC 的三边满足 a2-2bc=c2-2ab，则ABC 是（ ）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、锐角三角形4、若 为整数，证明 能被 8 整除。a1)2(【随堂小测】1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）(A) (a+3)(a-3)=a2-9
16、 (B) x2+x-5=(x-2)(x+3)+1(C) a2b+ab2=ab(a+b) (D) x2+1=x(x+ )12、把多项式 m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）(A) (a-2)(m2+m) (B) (a-2)(m2-m) (C) m(a-2)(m-1) (D) m(a-2)(m+1)3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A) -a2+b2 (B) -x2-y2 (C) 49x2y2-z2 (D) 16m4-25n2p24、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）(A) (B) (C) (D)4122222491ba1392n5、把多项式 分解因式的结果
17、是（ ）ap12A、 B、 C、 D、a1p21pa1pa6、已知 （ ）yxyx则,0622A、2 B、2 C、4 D、47、若三角形的三边长分别为 、 、 ，满足 ，则这个三角形是（ ）abc0322bcabA、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、三角形的形状不确定6、已知 x+y=6，xy =4，则 x2y+xy2 的值为 。7、分解因式：m 3-4m= 。8、若 ax2+24x+b=(mx-3)2，则 a= ，b= ，m= 。9、16（xy） 224xy（yx）= 8（xy） （ ）10、分解下列因式：（1） （2）33441 224)1(a11、若 值。323,2, baab求 快乐体验一、选择题、填空题：1、 可以分解因式为652x2、已知 ，那么 ；19)8)(0(a 22)198()0(aa3、把代数式 分解因式， xa42二、分解因式：、 、 542x 1202n、 、2bca 4xyy3三、 （能力提升）把下列多项式分解因式：、 、222)()(a 12)5)(32(2xx、 、 （ 为正整数）633xx 17nnnaa、已知： ，求： 的值；2 201,9201,201xcxba acbcb22
