1、数列中不定方程问题的几种解题策略王海东（江苏省丹阳市第五中学，212300）数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜，本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助。题型一：二元不定方程 双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍 3种常用的方法。方法 1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨
2、论求解。题 1（2014浙江卷）已知等差数列 的公差 d0.设 的nana前 项和为 ， ， . (1)求 d及 Sn； (2)求nnS1a362Sm， k(m， kN *)的值，使得 .65.21kmma解析(1)略 (2)由(1)得 (nN *),Snkmma.21 21）（ )1(2(k所以 ，由 m， kN *知65)1(k k，故 所以513613k45点评 本题中将不定方程变形为 ,因为分解方式132k是唯一的，所以可以得到关于 的二元一次方程组求解。km,方法 2. 利用整除性质 在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决题 2.设数列 nb的通项公
3、式为 ，问：是否存在正整数 t，21nbt使得 12m， ， (3)N， 成等差数列？若存在，求出 t和 m的值；若不存在，请说明理由解析：要使得 成等差数列，则12,mb21mb即： 即：32tt43t ， 只能取 2，3，5 当 时， ；当 时，,mN 73t；当 时， 5t4点评 本题利用 表示 从而由 得到 是整数，于是tm431tt是 4的约数，从而估计出可能的所有取值，再逐一检验即可，当1t然，本题也可以利用 表示 来处理.t方法 3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解。如转化为 型，利用ngmf的上界或下界来估计 的范围，通过解不
4、等式得出 的范围，ngmf再一一验证即可。题 3：已知 ,试问是否存在正整数 (其中 )，使nb3qp, qp1成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组( p， q)；若qpb,1不存在，说明理由解析：假设存在正整数数组( p， q)，使成等比数列，则 23pq时， 0，故数列 ( )为递减数列，112()243pp23p，且数列 ( )为递减数列，213pq23p当 时， 成立；当 时， ，2419p323179p因此，由 得， ，此时32q点评：本题利用等式右边 的上界 来估算左边 的范围, 解31p3时，我们是构造函数 再由其单调性得出整数解。213ppf题型二 ：三元不定方程一个方程
5、中三个未知量，在高中通常判定此类不定方程是否有解，通常都是假设存在满足题意的三个变量，再用反证法证明不成立。反证法中如何找出矛盾，以下两种方法比较常用。1.等式两边的奇偶性分析法题 4.已知 ，是否存在互不相同的正整数 ，使得1(2)4nna ,rst成等比数列？若存在，给出 满足的条件；若不存在，说,rst ,rst明理由。解析：若存在 成等比数列，则,rsta 22(21)4(1)rtsrt由奇偶性知右边为奇数，当且仅当 时，左边也为偶数，0ts所以 ，即 ，这与 矛盾2(21)(1)rtrtrrt故不存在互不相同的正整数 ，使得 成等比数列,st,rsta点评：本题中等式 要是成立，左右
6、两边的22(2)4(1)rtr奇偶性要相同，右边为奇数，左边只有当等式 才为奇数，0rts所以用 进一步代入进行求解。20rts题 5.已知 , 证明 中任意三项不可能构成等差数列。nana解析：假设 n中存在三项 构成等差数列，,rstt则 , ,等式两边同除以 ,得trsa2trs2 r2rtrs21因为等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾 假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列题 6.已知 , 证明 中任意三项不可能构成等差数列。nna32na解析：假设 n中存在三项 构成等差数列，,rstt则 , ,等式两边同乘以 ,得trsa2ts3232 t3，等式两边再同除以 ,得trtsts3
7、1 r rtrtstrs 22-1因为等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾 假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列点评 题 5和题 6都是用反证法证明不存在满足题意的三项，考试中常见此题型，放在一起便于比较，题 5中化简 时,等式trs2两边同除以 ， 中的最小值，题 6中化简 时，r2ts, t33等式两边同乘以 中的最大值，将分数整数化，然后利用奇偶tsr3,性寻找矛盾二等式两边是有理数或无理数分析题 7.已知 ,求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为2nbnb等比数例。解析：假设数列 中存在三项 （ 为互不相等的npqr， ， r， ，正整数）成等比数列，则 2qrb即 2()()qp
8、r0r，pN， ，20qr， ， 22()0rprpr， ，与 矛盾pr所以数列 中任意不同的三项都不可能成等比数列nb点评 在反证法中利用有理数性质产生矛盾若 ,则等式02rpq化为 ，等式左边为无理数，右边为有理数，矛盾。rpq2题 8（选修 2-2教材 P84第 9题）证明：1， ，3 不可能是一个等差数列中的三项解析：假设 1， ，3 是某一公差为 的等差数列的三项，则有d。由上两式消去 ，得 ，易,2mdn）（ *,Nnm2见上式左边为有理数，右边为无理数，故等式不能成立。所以 1， 3不可能是等差数列的三项。点评：书本中的每个习题都要重视，是命题的来源，下面的这个高考题中就可以找到
9、题 7，题 8的影子。题 9（2008 江苏第 19题改编）求证：对于给定的正整数 ( )，n4存在一个各项及公差均不为零的等差数列 ，其中任意三项12b， ， ， n（按原来的顺序）都不能组成等比数列解析：假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d的 n项等差数列，其中 （ ）为任意三项成等比数nb,.2111,xyzb01xyzn列，则 ，即 ，化简得1yz21()()()db（*）221()()xzd由 知， 与 同时为 0或同时不为 010bxy当 与 同时为 0时，有 与题设矛盾2yzyxyz故 与 同时不为 0，所以由（*）得x2 21byxzd因为 ，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，01zn从而 为有理数1bd于是，对于任意的正整数 ，只要 为无理数，相应的数列就是)4(1bd满足题意要求的数列如题7中的数列 就是满足题意的数列。2nb上面给出了数列中不定方程的常见解题策略，这些策略有一个共同的特征，就是对等式两边适当的变形选择等式一边的特征进行解题，如整除的性质，范围上界或下界，因数分解的形式，是否为有理数，奇偶性等。数列与不定方程(函数或不等式)的交汇使得试题变化多样，精彩纷呈，解法也有很大的灵活性以上仅列举了几种常用的探求方法，具体问题还需具体分析，根据题设条件灵活处理
