1、第10章 结构动力学Structural dynamics,10-1 概述 10-2 体系的动力自由度 10-3 单自由度体系运动方程的建立 10-4 单自由度体系的自由振动 10-5 单自由度体系的强迫振动 10-6 多自由度体系的自由振动 10-7 振型的正交型 10-8 多自由度体系的强迫振动 10-9 无限自由度体系的自由振动 10-10 自振频率的近似计算,2019/7/26,结构力学,10-1 概述,1.结构动力学简介,结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。,结构动力
2、学与结构静力学的主要区别在于它要考虑结构因振动而产生的惯性力和阻尼力。,结构动力学与刚体动力学的主要区别在于它要考虑结构因变形而产生的弹性力。,结构动力学发展简况,任何结构所受的载荷都具有不同程度的动载荷性质，有不少结构主要在振动环境下工作。因此，结构动力学的内容十分丰富，涉及面很广，其研究对象遍及土木、机械、运输、航空和航天等工程领域，而研究方法又同材料学、数学和力学密切相关。,2019/7/26,结构力学,10-1 概述,结构动力学发展简况,早在18世纪后半叶，瑞士的丹尼尔伯努利（ Daniel Bernoulli ，17001782）首先研究了棱柱杆侧向振动的微分方程。瑞士的L.欧拉（
3、Leonhard Euler ，17071783）求解了这个方程并建立了计算棱柱杆侧向振动的固有频率的公式。 18771878年间， 英国的瑞利（ Baron Rayleigh ，18421919）发表了两卷声学理论，书中具体地讨论了诸如杆、梁、轴、板等弹性体的振动理论，并提出了著名的瑞利方法。1908年瑞士的W.里兹（ Walter Ritz，18781909）提出了一个求解变分问题的近似方法，后来被称作瑞利里兹法,这个方法实际上推广了瑞利方法，在很多学科中（包括结构动力学）发挥了巨大的作用。 1928年，S.P.铁木辛柯（ Stephen Prokofievitch Timoshenko
4、， 18781972 ）发表了工程中的振动问题一书，总结了弹性体振动理论及其在工程中应用的情况。 近几十年来，由于工程实践的需要和科学探索的兴趣，人们进行了大量的实验和理论研究工作，使这门学科在实践和理论分析上都获得了高度的发展。,2019/7/26,结构力学,10-1 概述,2.动力荷载及其分类,荷载有三个要素，即大小、方向和作用点。如果这些因素随着时间缓慢变化，则在求解结构的响应时，可把荷载作为静载荷处理以简化计算。如果三要素随着时间变化较快，作用结果使受荷物体产生的质量加速度不可忽略，那么该荷载就称为动力荷载。,严格地讲，几乎所有荷载都属于动荷载。重力除外。,荷载变化是否 “缓慢”， 只
5、是一个相对的概念。如果荷载的变化周期在结构自由振动周期的五、六倍以上，把它当作静载荷将不会带来多少误差。若载荷的变化周期接近于结构的自由振动周期，即使载荷很小，结构也会因共振而产生很大的响应，因而必须视为动力荷载，用结构动力学的方法加以分析。,静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。,2019/7/26,结构力学,10-1 概述,2.动力荷载及其分类,动力荷载分类方法有很多种，常见的是按动力作用随时间的变化规律来分。,周期性荷载：其特点是在多次循环中荷载相继呈现相同的时间历程。如旋转机械装置因质量偏心而引起的离心力。周期性荷载又可分为简谐荷载和非简谐周期荷载，所有非简谐周期荷载均可
6、借助Fourier级数分解成一系列简谐荷载之和。,冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型的突加荷载。,随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相应的荷载时间历程（荷载谱）。,前两种荷载属于确定性荷载，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一步求出应力的时间历程。随机荷载属于非确定性荷载，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确定的时间历程，因而须作专门分析才能求出应力响应的统计信息。,2019/7/26,结构力学,10-1
7、 概述,3.结构动力学的研究内容,结构动力学的研究内容包括实验研究和理论分析两个方面。,实验研究,目前材料和结构阻尼特性的测定、振动环境试验等工作，主要依靠实验研究。,理论分析：研究动荷载作用下结构动力响应的规律。,动力响应包括动内力、动位移、结构振动的速度和加速度等。,动力响应除了与动荷载有关外，还与结构所固有的动力特征有关。,结构动力特征包括自振频率、振型和阻尼参数。,按计算分析特征，结构动力分析可分为以下四类问题。,反应分析,输入 （动力荷载）,结构 （系统）,输出 （动力反应）,参数识别,输入 （动力荷载）,结构 （系统）,输出 （动力反应）,荷载识别,输入 （动力荷载）,结构 （系统
8、）,输出 （动力反应）,正问题,控制问题,10-1 概述,结构振动控制的应用现状,土木工程中结构控制的概念是美国学者J.T.P. Yao在1972年首先提出来的。,结构振动控制分为被动控制、主动控制、混合控制和智能控制等。,被动控制是无外加能源的控制，其控制力因控制装置本身随结构一起振动变形而被动产生。被动装置简单易行，但控制效果受到限制。,主动控制需要外加能源，又称有源控制。主动控制效果显著，但有时由于控制力过大或成本太高而无法实现。,混合控制就是将两种以上的控制系统结合起来控制结构的振动反应。混合控制可以利用两种系统各自的优点，拓宽了控制系统的应用范围、既保证了控制效果又降低了控制力。,智
9、能控制近年来刚开始研究和利用。结构智能控制系统以智能材料和器件的应用为突出标志。可用于制作控制装置的智能驱动材料主要有电(磁)流变液体、形状记忆合金、压电材料、磁滞伸缩材料、可收缩膨胀聚合胶体等。,10-1 概述,结构振动控制的工程应用实例,世界上最大最重的TMD 第一个外露并可供观赏的TMD 阻尼器最大摆幅150cm 降低大楼摆动幅度最高达40%,TMD又称为固体阻尼器，液体阻尼器TLD（ Tuned Liquid Damper ）工程中也有应用。,调质阻尼器按启动机制可分为被动式调质阻尼器（Passive Tuned Mass Damper）和主动式调质阻尼器（Active Tuned M
10、ass Damper）。台北101所采用的是被动式调质阻尼器。,世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。,10-1 概述,结构振动控制的工程应用实例,台湾高雄的东帝士85摩天大楼、日本大阪的Hankyu Chayamachi Building是设有主动式调质阻尼器的建筑物。,地面、大楼装有侦测器（sensor） 中央控制室的电脑可以计算位移，并调整阻尼系统的运作。 顶
11、部的anemometer是风速计，相关风速资讯亦传至电脑。,智能控制中目前代表性的智能阻尼器主要有磁流变液阻尼器和压电变摩擦阻尼器。磁流变液阻尼器已经应用于日本Keio University（(庆应义塾大学）的一栋居住建筑中。,世界上第一幢采用AMD系统的建筑物是1989年口本Kajima建筑公司建造的11层办公大楼Kyobasi Seiwa京桥成和大厦。 该建筑物顶层设置两个AMD系统，顶层中部的AMD系统质量为4000kg，用于控制结构的侧向振动，顶层侧部的AMD系统质量为1000kg，用于控制结构的扭转振动。,2019/7/26,结构力学,10-1 概述,4.本课程的内容 基于杆系结构的
12、动力学基础,研究的问题,自由振动：外部起振后，再没有外力的振动。,强迫振动：振动过程中，有外部干扰力作用。,计算内容,确定结构的动力特征，即结构的自振频率、振型和阻尼参数等。,计算结构的动力反应，即结构在动荷载作用下的动内力、动位移等。,5.与其它课程之间的关系,结构动力学以结构力学和数学为基础。,要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。,结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。,2019/7/26,结构力学,10-2 体系的动力自由度,1.动力自由度的定义,动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（DAlembert Jean Le Rond）原理，惯性力与
13、质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。,确定体系中全部质量位置所需要的独立几何参数数目，成为体系的动力自由度。,2.动力自由度简化方法,严格意义上讲，实际结构都是具有分布质量的弹性体，是无限自由度体系。,实际结构动力自由度简化方法有：,应用中存在的问题：（1）计算复杂，有时甚至无法求解析解；（2）从工程角度没有必要。 故，实际结构通常简化成有限自由度体系。,集中质量法 广义坐标法 有限单元法,2019/7/26,结构力学,10-2 体系的动力自由度,集中质量法：将分布质量按力系等效原则集聚于有限个离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性
14、性能的无质量系统。,2019/7/26,结构力学,10-2 体系的动力自由度,广义坐标法：以图示简支梁无限自由度体系为例说明。,设梁上任一点的位移可分离变量，即,简化系统的自由度就是广义坐标数。,基函数要求： 满足位移边界条件； 线性无关。本例简支梁可取正弦级数为基函数。,对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。,2019/7/26,结构力学,10-2 体系的动力自由度,有限单元法： 可以看作是分区的广义坐标法，其要点与静力问题一样，是先把结构划分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行广义坐标法。详见有限单元法参考资料，这里不再赘述。,本课程主要讨论集
15、中质量法。对集中质量而言，自由度并不难理解，但如果错误判断了自由度个数，象超静定问题基本未知量数量一样，由于它的错误，后面再算是无意义的。因此，必须熟练地掌握自由度的确定。,一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。,2019/7/26,结构力学,10-2 体系的动力自由度,确定动力自由度注意的问题：动力自由度与体系是静定还是超静定无关。,动力自由度与集中质量的数量有关，但无确切关系。,1个质量，2个自由度,3个质量，4个自由度,4个质量，2个自由度,2
16、019/7/26,结构力学,10-2 体系的动力自由度,【练习】试确定图示体系的动力自由度。,2个动力自由度,2个动力自由度,1个动力自由度,2个动力自由度,【课堂练习】 Text Book P.151,习题10-5,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,1.体系振动的衰减、阻尼力,振动衰减现象: 结构自由振动时，振幅随时间逐渐减小，直至为零（在平衡位置静止）。,问题的本质: 振幅位置势能最大；平衡位置动能最大；动、势能转化过程中有能量损耗。,引起能量损耗的原因: 结构材料的非弹性变形：局部塑性变形、内部摩擦力等周围介质对振动的阻力支承、结点等构件连接处的摩擦力地
17、基土的内摩擦阻力，等等。以上因素统称为阻尼。结构阻尼是描述振动系统在振动时能量损耗的总称。,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,1.体系振动的衰减、阻尼力,阻尼理论：,明确了阻尼的本质，还需要寻求合理的表达方法。经过近百年的研究，已经提出了各种各样的阻尼表达方法，主要分为两大类：粘滞阻尼和滞回阻尼(复阻尼)。本课程采用粘滞阻尼理论。,粘滞阻尼,无论对简谐振动还是非简谐振动得到的振动方程均是线性方程，不仅求解方便，而且能够方便地表达阻尼对频率、共振等的影响。所以粘滞阻尼是目前应用最为广泛的阻尼模型。 通过将阻尼系数与结构体系的质量、刚度相联系，可以方便地构造出具体
18、的阻尼系数。这是目前最常用的粘滞阻尼表达方法。,粘滞阻尼假定阻尼力与速度成正比，方向与运动方向相反，即,滞回阻尼假定应力应变间存在一个相位差，从而振动一周有耗能发生。 前人已经提出了各种各样的滞回阻尼模型，可以得到不随频率改变的振型阻尼比，能较好地反映上部结构阻尼。 该模型在理论上只适用于简谐振动或有限频段内的振动分析，推广为无限宽频带上的定常阻尼力，会遇到了有悖于物理事实的困难。 滞回阻尼将导致复数形式的刚度(故又称为复阻尼)，这对于一般时程分析而言，计算将比较复杂，因而复阻尼实际应用并不多。,滞回阻尼,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,2.运动方程的建立,
19、运动方程可用以下三种等价但形式不同的方法建立： 利用达朗贝尔原理引进惯性力，根据体系或微元体的力的平衡条件直接写出动力平衡方程，或根据几何条件直接写出运动方程。 利用广义坐标写出系统的动能、势能、阻尼耗散函数及广义力表达式，根据哈密顿(Hamilton)原理或其等价形式的拉格朗日(Lagrange)方程导出以广义坐标表示的运动方程； 根据虚功原理导出运动方程。 对于复杂系统，应用最广的是第二种方法。 本课程从强调物理概念的角度出发，只介绍第一、三两种方法。,达朗贝尔原理: 在质体受力运动的任何时刻，作用于质体上的主动力、约束力和惯性力互相平衡。,因达朗贝尔（ DAlembert Jean Le
20、 Rond ）于1743年提出而得名。,本质：将动力学问题化为静力学问题来求解，故又称为动静法或惯性力法。,哈密顿原理是力学中应用最广泛和最重要的积分形式的变分原理。它提供了从所有可能运动中找出真实运动的一个准则。 哈密顿原理：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零，即 ，式中L=TV为拉格朗日函数，T为系统的动能，V为系统的势函数。 适用范围：受理想约束的完整保守系统。 优点：数学形式紧凑，适用范围广。,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,2.运动方程的建立,根据力的平衡条件建立动力平衡方程（刚度法）,以图示单自由度体系为例。,取质量体为研究对象。
21、,注意：假定力的方向与位移方向相同为正,作用在质量体上的力包括： 动力荷载 惯性力 弹性恢复力,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,2.运动方程的建立,根据几何（位移）条件建立运动方程（柔度法）,图示单自由度体系，取结构（梁）为研究对象。,根据叠加原理，有,将上述方程变形，得,上式的本质是结构体系在质量点的位移条件，故称为运动方程。 考虑到刚度系数与柔度系数互为倒数，运动方程与动力平衡方程在数学表达形式上是一致的。,作用在梁上的力包括： 动力荷载 惯性力,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,理论上，刚度法和柔度法的适用范围没有区别
22、，也就是讲，能用刚度法建立动力平衡方程的体系，也可以用柔度法建立运动方程，反之亦然。但两种方法用于特定的体系，有简单和复杂之分。 一般情况下，静定结构计算柔度系数比较方便，宜选用柔度法；超静定结构计算刚度系数比较方便，宜选用刚度法。,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,柔度法运动方程：,整理后的运动方程为：,刚度法动力平衡方程：,属于静定结构位移计算的范畴,刚度系数 的计算：,柔度系数 的计算：,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,刚度法动力平衡方程：,刚度系数 的计算：,（与柔度法建立的运动方程相同）,整理后的动力平衡方程为：,
23、可求，,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,刚度法动力平衡方程：,整理后的动力平衡方程为：,可求，,刚度系数 的计算：,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,柔度法运动方程：,属于超静定结构位移计算的范畴,整理后的运动方程为：,柔度系数 的计算：,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,2.运动方程的建立,利用虚功原理建立动力平衡方程,【例】试建立图示体系的动力平衡方程。,特点： 质量分布（惯性力）较为复杂。虚位移简单。 具有分布质量的刚杆体系最适合于用虚功原理建立平衡方程。,整理，得动力平衡方程,虚功方
24、程,取AC杆绕A点转角 为广义位移，并设顺转为正。,2019/7/26,结构力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,3.单自由度体系动力平衡（运动）方程的一般形式,实际工程中单自由度体系很多，如： 支承在梁上的电机，当电机重梁重时；支承在弹性地基上的块式基础；等等。 一切单自由度体系均可用“弹簧质量粘壶”模型比拟。,取质量体为研究对象，其上的力有,运动方向力的平衡,不管什麽单自由度结构，运动方程的最终形式都是一样的。,重力 干扰力 弹性恢复力 阻尼力 惯性力,而， 与时间无关，即 ， ；同时考虑到静力平衡条件 。代入上式，有,所以，,其中， 为动位移； 为静位移。,2019/7/26,结构
25、力学,10-3 单自由度体系运动方程的建立,4.小结,刚度法建立动力平衡方程的一般步骤：1) 确定体系的自由度质量独立位移数；2) 确定未知位移；3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力；5) 取质量为隔离体并作受力图；6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方程，此方程就是运动（微分）方程。 柔度法建立运动方程的一般步骤：1) 确定体系的自由度质量独立位移数；2) 确定未知位移；3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力；5) 取结构为研究对象；6) 将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“外力”，按位移
26、计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。,2019/7/26,结构力学,10-4 单自由度体系自由振动,1.无阻尼自由振动,体系的固有特征,周期圆频率频率,上述运动方程的通解为或其中， ，,无阻尼自由振动时，干扰力和阻尼力均为零，运动方程改写为令 ，则,上一节已指出，不管什麽结构、用什麽方法建立方程，单自由度体系最终运动方程均可写为,2019/7/26,结构力学,10-4 单自由度体系自由振动,1.无阻尼自由振动,运动方程的通解为或其中， ，,自由振动分析主要用来计算体系的固有振动特征（频率、振型等）。,设初始条件为：初位移初速度可得，所以，,要完
27、全确定体系自振时的位移，需要根据初始条件确定 和 。,2019/7/26,结构力学,10-4 单自由度体系自由振动,【例1】悬臂梁长 ，自由端有质量 的机械。梁为10号工字钢，忽略梁重不计，求自振频率和周期。,注意单位的统一,【例2】图示门式刚架，横梁总重 ，柱子质量忽略不计，试求刚架的水平自振频率。,2019/7/26,结构力学,10-4 单自由度体系自由振动,【例3】试求习题10-10(a)所示结构的自振频率。,整理后，运动方程为,所以,2019/7/26,结构力学,10-4 单自由度体系自由振动,2.有阻尼自由振动,(1) （小阻尼情况）：特征方程有一对共轭复根运动方程通解为式中， 称为
28、有阻尼的自由振动圆频率；振幅 和初相位 是积分常数，与初始条件有关。可见，小阻尼自由振动的解是按指数规律衰减的简谐运动。衰减的速度随 、 增大而加快。 ，,由常系数常微分方程理论可设由此可得特征方程为方程的两个根为运动方程的解与 大小有关。,运动方程为上式可改为 其中， 称为阻尼比， 为固有频率。,（底数为欧拉数 e 的指数函数）,2019/7/26,结构力学,10-4 单自由度体系自由振动,2.有阻尼自由振动,由此可得，,(3) （临界阻尼情况）：特征方程有两个重实根运动方程通解为式中， 和 是积分常数，与初始条件有关。上式同样不含简谐振动因子，是非周期函数，说明这时体系不发生振动荡。这时的
29、阻尼系数称为临界阻尼系数。,(2) （大阻尼情况）：特征方程有两个实根运动方程通解为式中， ； 和 是积分常数，与初始条件有关。上式不含简谐振动因子，是非周期函数，说明这时体系不发生振荡，从工程角度没有意义。,（双曲函数）,2019/7/26,结构力学,10-4 单自由度体系自由振动,2.有阻尼自由振动,一般钢筋混凝土结构0.05，钢结构(0.020.03)。,外部激励起振后，体系做有阻尼自由振动，实验实测位移时程曲线如下：,所以，,通常阻尼比 很小， ，从而,两式相除，取自然对数，有,由此可量测得 时刻和 周后的振幅分别为 和 。（一般测峰值位移）,阻尼比 的实验确定法,2019/7/26,
30、结构力学,10-4 单自由度体系自由振动,3.单自由度体系自由振动小结,由于结构阻尼很小，因此可近似认为阻尼频率、周期和无阻尼的相等。,改变系统质量或刚度可改变固有频率。不管具体结构如何，在同样干扰下相同频率结构的反应相同。,结构固有频率 和阻尼频率 严格说不相等，阻尼使 减少，从而使周期 增长。,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,1.简谐荷载作用下无阻尼强迫振动,设 时， ， ，则,通解 ，其中 和 是积分常数，由初始条件决定。,特解可用待定系数法确定。设 ，代入方程，得到关于待定系数 的线性方程，可求,由微分方程理论可知，通解 。 为齐次方程通解（自由振动解）
31、，为非齐次方程的一个特解。可见关键在如何求得特解。,运动方程为 或 （线性非齐次微分方程）,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,1.简谐荷载作用下无阻尼强迫振动,运动方程解为,解答中的第一、二项为初始条件引起的自由振动。 第三项为荷载（干扰力）引起的自由振动（称作伴生自由振动）。 第四项是以干扰频率进行的等幅振动，称“纯受迫振动”。,为荷载幅值作用下的静位移， 称为位移放大系数（也称动力系数）。,稳态解可写为 ，其中 ，,前三项的频率都是结构自振频率 ，考虑阻尼后都按指数规律衰减。因此一段时间后，都将逐渐消失。自由振动消失前的运动称瞬态阶段。 第四项的频率是干扰力频率
32、 ，是稳态解（或稳态阶段），工程中只关心它。,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,1.简谐荷载作用下无阻尼强迫振动,共 振 区,的正负号： 当 时， 为正，表示动位移与动荷载指向一致；当 时， 为负，表示动位移与动荷载指向相反。 工程设计中， 只需取绝对值，不必考虑正负。,当 时， ， 。发生共振。工程实践中， 称为共振区，应避开。,动力放大系数反映了惯性力的影响， 取决于 （频率比 ）， 曲线如下图所示（纵坐标取 的绝对值）。,当 时， ，这时 。相当于静力作用。通常 时，可按静力计算振幅。,当 时， ，这时 为负值，并且趋近于零。表明高频简谐荷载作用下，振幅趋于零
33、，体系几乎处于静止状态。,共 振 前 区,共 振 后 区,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,1.简谐荷载作用下无阻尼强迫振动,动力放大系数反映了惯性力的影响， 取决于 （频率比 ）， 曲线如下图所示（纵坐标取 的绝对值）。,减小振幅的方法,(1)设置阻尼（后面讨论）。,共 振 区,(2)调整结构刚度。,时，称为共振后区，应设法降低 ，即减小结构刚度，这种方法称为柔性方案。,时，称为共振前区，应设法加大 ，即增加结构刚度，这种方法称为刚性方案。,共 振 前 区,共 振 后 区,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,【例1】悬臂梁长 ，梁为10号
34、工字钢， ， ，自由端机械总质量 。旋转部分 ，转速 转/min，偏心距 。求梁的最大挠度。,（3）求干扰力幅值,（4）求动力放大系数,（5）求最大挠度,（2）求干扰力频率,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,【例2】图示简支梁跨中有一集中质量 ，支座 处受动力矩 作用，不计梁的质量，试求质点的动位移；支座 处的动转角幅值；梁的最大动力弯矩图。,（1）求柔度系数图乘法可求：,质点动位移幅值为 ，其中 为动荷载幅值 所引起的质点静位移， 为质点位移的动力放大系数。,稳态解,（2）建立质点的动位移方程由叠加原理：,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振
35、动,【例2】图示简支梁跨中有一集中质量 ，支座 处受动力矩 作用，不计梁的质量，试求质点的动位移；支座 处的动转角幅值；梁的最大动力弯矩图。,（1）求柔度系数图乘法可求：,支座处的转角幅值为 ，其中 为动荷载幅值 所引起的支座静转角， 为支座转角的动力放大系数。,将（2）求出 代入上式，整理后，,（3）建立 处转角的动位移方程由叠加原理：,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,【例2】图示简支梁跨中有一集中质量 ，支座 处受动力矩 作用，不计梁的质量，试求质点的动位移；支座 处的动转角幅值；梁的最大动力弯矩图。,（4）求作最大动力弯矩图,可见，惯性力和动力荷载同频率、同
36、相位，二者同事达到峰值。,单自由度体系，当动力荷载沿质量运动方向作用在质量点上时，体系各处的动位移和动内力均可看作是有质量位移引起的，因此具有相同的动力系数。当动力荷载不作用在质量体上，或作用方向与质量运动方向不一致时，不同点的动力系数是不同的。,最大动弯矩图,由 可求惯性力为,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,【思考题】试求图示体系质点的最大动位移；最大动力弯矩图。,任一时刻，质点上力的平衡可通过质点上附加约束的约束力等于零来表示（位移法的基本思路） 体系受到的外部作用包括 附加约束的位移惯性力 干扰力（动力荷载）,超静定结构，选择刚度法建立动力平衡方程。,基本结
37、构只发生附加约束的位移,基本结构只承受惯性力的作用,基本结构只承受干扰力的作用,从而得动力平衡方程为,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,2.一般动力荷载下的无阻尼强迫振动,运动方程为 或,线弹性体系的运动方程是线性的，故叠加原理适用。,将一般动力荷载分解成若干瞬时冲量。,设 时刻，速度、位移均为零。由冲量定理， 所以， （速度增量）,位移增量为,冲量 使体系在 时刻以后以 为初速度、 为初位移作自由振动，由于 是 的二阶微量，忽略后，根据上一节，由初速度引起的自由振动为,通常把单位冲量引起的位移称作单位脉冲函数 。则,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度
38、体系强迫振动,2.一般动力荷载下的无阻尼强迫振动,如有初始位移 和初始速度 ，则位移为,有了通解，对给定的荷载情况，代入并积分即可得到各种具体荷载下的解答。,突加荷载：,将荷载代入Duhamel积分，可得反应为,当 时， ，即 。,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,突加荷载：,突加短时荷载：,同突加荷载。,应用叠加原理，视为 时刻开始的突加荷载 和 时刻开始的反向突加荷载 共同作用。,显然， 与 有关。,当 时， 。,当 时， 。,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,地震作用：地面运动相当于支座动位移。,如图，记地面位移为 ，质量体相对位移
39、为 。,惯性力与绝对加速度有关，,弹性恢复力与相对位移有关，,动力平衡方程为,即，,由Duhamel 积分，可得,由于地震地面运动杂乱无章，上式一般无法求解析解，通常用数值积分求数值解。,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,3.任意荷载作用下的有阻尼强迫振动,运动方程为 或,把整个荷载作用看成无数个瞬时冲击荷载的连续作用之和。在极短的 时间内，由冲量 引起的质点位移为,对上式从 到 进行积分，即得任意荷载作用下的位移反应,上式为初始处于静止状态的单自由度体系位移反应计算式。称为考虑阻尼后的Duhamal积分。,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振
40、动,4.简谐荷载作用下的有阻尼强迫振动,运动方程为 或,通解 。 为齐次解（自由振动解）， 为特解。,齐次解,特解用待定系数法确定。设 ，代入方程，得到关于待定系数 、 的线性方程，可求,特解写成 ，则,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,4.简谐荷载作用下的有阻尼强迫振动,通解为,和 由初始条件确定。设 ， ，则,第 项：初始条件决定的自由振动。 第 项：伴生自由振动。 第项：纯强迫振动。,稳态强迫振动,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,4.简谐荷载作用下的有阻尼强迫振动,稳态解,动力放大系数, 时， ，动力特征不明显。 ，说明阻尼对振幅影响不大。,时， ，结构几乎静止。 中根号下第二项远小于第一项，可近似认为 与阻尼无关。, 时，共振。 阻尼比 对 有决定性的影响。,2019/7/26,结构力学,10-5 单自由度体系强迫振动,4.简谐荷载作用下的有阻尼强迫振动,稳态解,动力放大系数,由 得,可见， 发生在 略小于1的某一数值处。,由于 ，所以，可近似认为 时， 。,
