关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用.doc

1、关 于 “一 线 三 垂 直 ”模 型 及 其 在 平 面 几 何 中 的 应 用“一 线 三 垂 直 ”模 型 是 “一 线 三 等 角 ”模 型 的 特 殊 情 况 ， （ 关 于 “一 线 三 等 角 ”模 型 详 见比 例 与 相 似 高 级 教 程 （ 六 ） ： 相 似 三 角 形 的 “一 线 三 等 角 ”模 型 ） ， 即 三 个 等 角 角 度 为90， 于 是 有 三 组 边 相 互 垂 直 ， 所 以 称 为 “一 线 三 垂 直 ”模 型 。 “一 线 三 垂 直 ”的 性 质 ：1， 模 型 中 必 定 存 在 至 少 两 个 三 角 形 相 似 ， 三 对 等 角

2、 ， 三 对 成 比 例 的 边 长 ；2， 当 模 型 中 有 一 组 对 应 边 长 相 等 时 ， 则 模 型 中 必 定 存 在 全 等 三 角 形 。“一 线 三 垂 直 ”模 型 在 平 面 几 何 中 有 着 及 其 重 要 的 地 位 ， 常 出 现 的 图 例 有 以 下 几 种 ：其 中 ， 在 “变 形 2”模 型 下 ， 根 据 相 似 原 理 ， 推 理 出 了 著 名 的 “射 影 定 理 ”这 里 主 要 讨 论有 一 对 对 应 边 相 等 的 情 况 。【 例 1】 如 图 ， 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 ， ACB=Rt ， AC=BC， A

3、E CE 于 点E， BD CE 于 点 D， AE=5cm， BD=2cm， 则 DE 的 长 为 多 少 ？【 提 示 】 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 的 性 质 ， ACE CBD， 于 是CD=AE=5cm， CE=BD=2cm， DE=5-2=3（ cm）【 例 2】 如 图 ， 在 ABC 中 ， CA=CB， 点 D 为 BC 中 点 ， CE AD 于 点 E， 交 AB于 点 F， 连 接 DF。 求 证 ： AD=CF+DF.【 解 析 】 此 题 乍 一 看 起 来 和 【 例 1】 相 同 ， 却 不 能 照 搬 照 抄 。从 要 证 明 的 结 论 来 看

4、 ， 需 要 把 AD 这 条 线 段 “转 化 ”到 直 线 CF 上 。 如 图 ， 过 点 B 作BG CB， 交 CF 的 延 长 线 于 点 G。则 易 证 ACD CBG， 于 是 AD=CG=CF+FG；BG=CD=BD， BF=BF， DBF= GBF=45，故 BDF BGF， 于 是 FD=FG， 所 以 AD=CF+DF。关 于 “一 线 三 垂 直 ”模 型 及 其 在 平 面 几 何 中 的 应 用 （ 二 ）“一 线 三 垂 直 ”的 性 质 ：1， 模 型 中 必 定 存 在 至 少 两 个 三 角 形 相 似 ， 三 对 等 角 ， 三 对 成 比 例 的 边

5、长 ；2， 当 模 型 中 有 一 组 对 应 边 长 相 等 时 ， 则 模 型 中 必 定 存 在 全 等 三 角 形 。【 例 3】 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB=AC， BAC=90， 分 别 过 B， C 向 过 A 点 的 直 线作 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 E， F。（ 1） 如 图 1， 过 点 A 的 直 线 与 斜 边 BC 不 相 交 时 ， 求 证 ： EF=EB+CF；（ 2） 如 图 2， 过 点 A 的 直 线 与 斜 边 BC 相 交 时 ， 其 他 条 件 不 变 ， 若 BE=10， CF=3.求 EF 的 长 。【 提 示 】 （ 1） 图

6、1 是 “一 线 三 垂 直 ”的 基 础 模 型 ， ABE CAF；（ 2） 图 2 是 “一 线 三 垂 直 ”的 变 形 4， 和 【 例 1】 相 同 。【 例 4】 如 图 ， 已 知 AEB 中 ， AEB=90， 以 AB 为 边 向 外 作 正 方 形 ABCD， 连 接AC、 BD， 交 于 点 O， 连 接 EO。 若 BE=2， EO=32， 求 五 边 形 AEBCD 的 面 积 。【 解 析 】 因 为 ABC= AEB=90， 故 构 造 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， 如 图 。过 点 C 作 CP EB， 交 EB 延 长 线 于 点 P， 连 接 OP。

7、则 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 的 性 质 ， AEB BPC， BP=AE； AOB= AEB=90， A、 E、 B、 O 四 点 共 圆 （ 详 见 “四 点 共 圆 ”在 解 题 中 的 妙 用 （ 一 ） ） ， BEO= BAO=45；同 理 BPO= BCO=45， 故 EOP 为 等 腰 直 角 三 角 形 ； EO=32， EP=6， BP=4，根 据 勾 股 定 理 ， AB=16+4=20， 即 S 正 方 形 ABCD=20，S AEB=422=4， S 五 边 形 AEBCD=20+4=24.关 于 “一 线 三 垂 直 ”模 型 及 其 在 平 面 几

8、何 中 的 应 用 （ 三 ）【 例 5】 已 知 ABC 中 ， ACB=90， AC=BC， CD 为 AB 边 上 的 中 线 ， 点 E 为 BC边 上 任 意 一 点 （ 不 与 A、 D、 B 重 合 ） ， BF CE 于 点 F， 交 CD 于 点 G， AH CE，交 CE 延 长 线 于 点 H， 交 CD 延 长 线 于 点 M。求 证 ： （ 1） CG=AE； （ 2） DE=DM。【 提 示 】 （ 1） 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， ACH CBF， ACE= CBG， 又 CAE= BCG=45， AC=BC， ACE BCG；（ 2） 由 “一

9、线 三 垂 直 ”模 型 可 知 ， ACE= CBG， BF=CH， HCM= FBE， 又 BFE= CHM=90， CHM BFE， BE=CM， 从 而 DE=DM。同 时 我 们 也 应 该 注 意 到 ： ACM CBE； ADM CDE BDG； AHE CFG；DM=DG=DE； GEM 为 等 腰 直 角 三 角 形 等 。构 造 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， 是 作 辅 助 线 常 用 的 一 种 手 段 。【 例 6】 如 图 ， 直 线 l1 l2 l3， 且 l1 到 l2 的 距 离 为 3， l2 到 l3 的 距 离 为 4， 等 腰 直角 ABC 的 直

10、 角 顶 点 C 在 l2 上 ， 点 A、 B 分 别 在 l1、 l3 上 。 求 ABC 的 面 积 。【 提 示 】 过 点 C 作 l2 的 垂 线 ， 分 别 交 l1 和 l3 于 点 D、 E， 构 造 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ，则 CD=3， AD=CE=4， AC=5.关 于 “一 线 三 垂 直 ”模 型 及 其 在 平 面 几 何 中 的 应 用 （ 四 ）【 例 7】 （ 2018 初 二 希 望 杯 练 习 题 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 ，AD BC， BCD=90， AB=BC+AD， DAC=45 ， E 为 CD 上 一

11、 点 ， 且 BAE=45 ， 若 CD=4， 求 ABE 的 面 积 。【 解 析 】 如 图 ， 过 点 E 作 EG AE， 交 AB 延 长 线 于 点 G， 过 点 G 作 GH DC， 交DC 延 长 线 于 点 H， 构 造 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ； 过 点 G 作 GK BC 于 点 K， 过 点 B 作BF AD 于 点 F。则 ADE EHG， DE=GH； AD=EH=CD， DE=CH， 故 四 边 形 CKGH 为 正 方 形 。AF=4-BC， AB=4+BC， BF=4， （ 4+BC） =（ 4-BC） +4，解 得 ： BC=1， 所 以 AB=5；

12、设 DE=x， 则 BK=1-x， GK=x， AE=x+4 AEG 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AG=2AE，（ 5+BG） =2（ x+4） ， 将 BG 代 入 ， 化 简 得 ：（ 7x-4） =0， x=4/7， ABE 面 积 =梯 形 ABCD 面 积 - ADE 面 积 - BCE 面 积=（ 1+4） 42-44/72-1(4-4/7)2=50/7。在 直 角 坐 标 系 中 构 造 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， 是 解 决 坐 标 问 题 的 一 种 有 效 手 段 。【 例 8】 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A（ 1， 2） ， 点 B（

13、 0， -1） ， 已 知 ABC 为 等腰 直 角 三 角 形 ， 求 点 C 的 坐 标 。【 解 析 】 设 C（ m， p） 。（ 1） 当 BAC 为 直 角 时 ： 当 点 C 在 AB 右 侧 时 ， 如 图 1。 过 点 A 作 DE x 轴 ， 交 y 轴 于 点 D， 过 点 C 作CE DE 于 点 E。 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， ABD ACE， DB=AE， CE=DA， 即 ： m-1=3， 2-p=1，解 得 ： m=4， p=1， C（ 4， 1） ； 当 点 C 在 AB 左 侧 时 ， 如 图 2。 过 点 A 作 DE x 轴 ， 交 y

14、 轴 于 点 D， 过 点 C 作CE DE 于 点 E。 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， ABD ACE， DB=AE， CE=DA，即 ： 1-m=3， p -2=1， 解 得 ： m=-2， p=3， C（ -2， 3） ；（ 或 者 用 下 列 方 法 ： 此 时 ， 点 C 和 中 的 C 关 于 点 A 对 称 ， 故 m=21-4=-2， p=22 1=3.）（ 2） 当 ABC 为 直 角 时 ： 当 点 C 在 AB 右 侧 时 ， 如 图 3。 过 点 A 作 AE x 轴 ， 交 y 轴 于 点 E， 过 点 C 作CD y 轴 于 点 D。 根 据 “一 线

15、 三 垂 直 ”模 型 ， ABE BCD， DB=AE， BE=CD，即 ： -1-p=1， m=3， 解 得 ： m=3， p=-2， C（ 3， -2） ； 当 点 C 在 AB 左 侧 时 ， 如 图 4。过 点 B 作 DE x 轴 ， 过 点 C 作 CD DE 于 点 D， 过 点 A 作 AE DE 于 点 E。根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， ABE BCD， BE=CD， BD=AE， 即 ： 0-m=3， p -（ -1） =1，解 得 ： m=-3， p=0， C（ -3， 0） ；（ 或 者 用 下 列 方 法 ： 此 时 ， 点 C 和 中 的 C 关 于

16、 点 B 对 称 ， 故 m=20-3=-3， p=-12 （ -2） =0.）（ 3） 当 ACB 为 直 角 时 ： 当 点 C 在 AB 右 侧 时 ， 如 图 5。 过 点 C 作 CD x 轴 ， 过 点 A 作 AD CD 于 点D， CD 交 y 轴 于 点 E。根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， ACD CBE， BE=CD， CE=DA， 即 ： m=2-p， p-（ -1） =m-1，解 得 ： m=2， p=0， 即 CD 与 x 轴 重 合 ， 点 E 与 O 重 合 ， C（ 2， 0） ； 当 点 C 在 AB 左 侧 时 ， 如 图 6。 过 点 C 作

17、CD x 轴 ， 过 点 A 作 AD CD 于 点D， CD 交 y 轴 于 点 E。根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 ， ACD CBE， BE=CD， CE=DA， 即 ： 1-m= p-（ -1） ， 2-p = 0-m，解 得 ： m=-1， p=1， C（ -1， 1） 。（ 或 者 用 下 列 方 法 ： 此 时 ， 点 C 和 中 的 C 关 于 AB 的 中 点 对 称 ， AB 的 中 点 坐 标 为（ 0.5， 0.5） ， 故 m=20.5-2=-1， p=0.52 0=1.）综 上 所 述 ： 符 合 条 件 的 点 C 的 坐 标 有 6 个 ：（ 4， 1）

18、 ； （ -2， 3） ； （ 3， -2） ；（ -3， 0） ； （ 2， 0） ； （ -1， 1） 。关 于 “一 线 三 垂 直 ”模 型 及 其 在 平 面 几 何 中 的 应 用 （ 五 ）前 面 讨 论 的 是 关 于 “一 线 三 垂 直 模 型 ”有 两 条 边 相 等 时 的 情 况 。 如 果 不 存 在 两 条 边相 等 ， 那 么 “一 线 三 垂 直 模 型 ”的 性 质 是 必 然 存 在 一 对 或 几 对 相 似 三 角 形 ， 这 个 性 质 在初 中 平 面 几 何 中 的 应 用 也 是 十 分 广 泛 ， 尤 其 在 直 角 坐 标 系 中 的 函

19、数 图 像 与 平 面 几 何 的 综合 应 用 题 或 压 轴 题 经 常 得 到 应 用 ， 也 是 作 辅 助 线 的 思 想 方 法 。经 常 出 现 的 图 例 跟 前 面 介 绍 的 一 样 （ 关 于 “一 线 三 垂 直 ”模 型 及 其 在 平 面 几 何 中 的 应 用（ 一 ） ） ， 只 是 直 角 的 两 条 边 不 一 定 相 等 。【 例 9】 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A（ 1， 3） ， 点 B（ 2， -1） ， 坐 标 轴 上 是 否 存 在点 C， 使 得 ACB 为 直 角 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 点 C 的 坐 标 ；

20、若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。【 解 析 】 （ 1） 当 点 C 在 y 轴 上 时 ：如 图 1， 设 C（ 0， c） ， 分 别 过 点 A、 B 作 x 轴 的 平 行 线 ， 交 y 轴 于 点 D、 E。则 根 据 “一 线 三 垂 直 模 型 ”， ACD CBE， AD CE=CD BE， 即 ： 1 (c+1)=(3-c) 2，解 得 ： c1=1+2， c2=1-2，故 C（ 0， 1+2） ； 或 C（ 0， 1-2） ；（ 2） 当 点 C 在 x 轴 上 时 ：如 图 2， 设 C（ c， 0） ， 分 别 过 点 A、 B 作 y 轴 的 平 行 线

21、， 交 x 轴 于 点 D、 E。则 根 据 “一 线 三 垂 直 模 型 ”， ACD CBE， AD CE=CD BE， 即 ： 3 （ 2-c） =（ 1-c） 2，或 3 （ c-2） =（ c-1） 2，综 上 所 述 ， 符 合 条 件 的 点 C 的 坐 标 有 4 个 ， 分 别 为 ：（ 0， 1+2） ； （ 0， 1-2） ；【 例 10】 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A（ 1， 3） ， 点 B（ 2， -1） ， 在 一 次 函 数y=x/2-1 的 图 像 上 是 否 存 在 点 C， 使 得 ACB 为 直 角 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 点 C 的 坐 标 ；若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。【 解 析 】 设 ACB 为 直 角 时 ， 点 C（ c， c/2-1） ，如 图 1， 过 点 C 作 y 轴 的 平 行 线 DE， 分 别 过 点 A、 B 作 DE 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为D、 E。由 “一 线 三 垂 直 模 型 ”可 知 ： ACD CBE， AD CE=CD BE， 即 ： (c-1) (c/2-1)+1)=(3-(c/2-1) (c-2)，化 简 得 ： 5c-20c+8=0， 解 得 ：