1、 结 课 论 文报告课程名称 统计学前沿专题 年 级 2011 级 专 业 统计 111 学 生 姓 名 赵 应 国 学 号 1107010270 指 导 老 师 戴 老 师 理 学 院统计学中的几种统计推断方法数理统计的基本问题是根据样本所提供的信息，对总体的分布以及分布的数字特征作出统计推断。统计推断的主要内容分为两大类：一是参数估计问题，另一类是假设检验问题。本篇文章主要讨论总体参数的点估计、区间估计和假设检验。一、点估计、矩估计首先讲“矩”的概念，定义：设 X 是随机变量，k 是一正整数，若 存在，则称 为随机变量 X 的kEXkEXk 阶原点矩，记为 ；若存在，则称它为 X 的 k
2、阶中心矩，记为 。ka kb显然，数学期望 EX 就是阶原点矩，方差 DX 就是阶中心矩。简单的说就是用样本矩去估计相应的总体矩，用样本矩的连续函数去估计相应的总体矩的连续函数。矩估计法的理论基础是大数定理。因为大数定理告诉我们样本矩依概率收敛于总体的相应矩，样本矩的连续函数依概率收敛于相应总体矩的连续函数。我们通常样本的均值 去估计总体的均值 ：即总体为 X 时，我们从中取出 nXE个样本 ，我们认为总体的均值就是 ， （当然这只是对总体均值12,nX 1niiX的一种估计，当然会有误差）当 存在的时候，我们通常用 作为总体 X 的 的估计2E21nii2E一般地，我们用 作为总体 X 的
3、的估计，用 作为总体的1nkiikE1()nkiiX的估计。()kEX例：设总体 X 在 上服从均匀分布，参数 未知， 是一个样本，,ab,ab12,n求 的矩估计量。,ab解：由矩估计法知道： 2abEX由于 ，因此2()D 222()()()14babDXE用矩估计法，也即用 作为 的估计，用 作为 的估计，1niiX21niiX2E为了计算方便，我们记 ，记 ，1niiA221niiA即有 ，12ab22 2()()4babEX解得， 21()A再联立解关于 的方程组得 的矩估计量分别为,ab,ab2 211133()()niiaAXX2 2111()()niib2、极大似然估计 对于连
4、续型总体 X，设它的密度函数为 ，其中 是需12(;,)mfx 12,m要估计的未知参数。设 是来自总体 X 的一个样本，则 的联合密度函数为：12,nX 12,nX121(;,)imifx对于给定的一组样本值 ，记联合密度12,nx1212121(,;,)(;,)nmimiLxf 则称 L 为样本的似然函数 若 X 为离散型总体，它的概率分布为：12(;,)mPxp对于给定的一组样本观测值 ，记联合密度12,nx1212121(,;,)(;,)nmimiLxp 则称 L 为样本的似然函数 具体求法对于已经给定的样本观测值 来说，似然函数 L 是关于待估计的参数12,nx的函数，因此我们应该想
5、办法通过似然函数 L 求出参数 值。12,m 12,m这里我们求法的思想来源于多元函数求极大值：也即，我们把 看作关于 的多元函数，我们要1212(,;,)nmLx 12,m求得适当的 的值，使得 取最大值。12,m (,;)nLx 解释：实际上 表示随机变量 取得样本值1212(,;,)nmx 12,nX时的联合概率，我们在一次试验中事件 已经发生，12,nx 12(,)(,)nx 我们就有理由认为，参数必须保证此时的概率最大，也即：参数 的值应该12,m是使得 最大的点。1212(,;,)nmLx 这样我们的方法就是多元函数求极大值的方法。极大似然估计的具体步骤为： 求出似然函数 ；121
6、2(,;,)nmLx 计算关于 的函数 的极大值点，12(,)m 12(,;,)nmLx 我们由微积分的知识知道，实际问题中的极大值点就是函数的驻点，也就是每个偏导数都为 0 的点，即（一般称该方程组为似然方程组） 120nLL但是在实际计算中，由于 都是乘积，因此以上方程组1212(,;,)nmLx 求解不太容易，这时候我们由微积分的知识知道到函数 和1212(,;,)nmLx 它的对数函数 有相同的极大值点，因此我把问题转化1212ln(,;,)nmLx 为求 的极大值点，这样把乘积问题转化为了和差问题，12l(,;)n 在某些复杂问题中可以大大减轻计算！（一般称该方程组为对数似然方程组）
7、12ln0ln0mLL求解这个方程组即得到 上个步骤求出的 就是参数 的估计值。A12(,)m 12(,)m二、区间估计由于总体的未知参数 的估计量 是随机变量，无论这个估计量的性12(,)nX质有多好，通过一个样本值 所得到的估计值，只能是未知参数 的近似值，12(,)nx 而不是 的真值。并且样本值不同所得到的估计值也不同。那么 的真值在什么范围内呢？能不能通过样本，寻找一个区间，以一定的把握包含总体未知参数 呢？这就是总体未知参数的区间估计问题。区间估计严格的定义为：定义：设总体 X 的分布函数 含有一个未知参数 ，对于给定值 ，若(,)Fx(01)由样本 确定的两个的两个统计量 和 满
8、足12(,)n 12(,)nX 12,nX1 22(,)nPX 则称随机区间 是参数 的置信度为 的置信区间， 分别趁称为置信度2(,)12和为 的双侧置信区间的置信下限和置信上限， 称为置信度。1 1单个正态总体的的数学期望和方差的区间估计是我们重点要求掌握的知识点，大家可以好好阅读教材第 189198 面，实际上课本把这种区间估计分各种情形的结论总结成了第 209 面的表格。大家在理解这些区间估计的实质后，应该把表格的结论和公式记住，往往在实际解题的时候我们只需要套用这些结论就可以了！三、假设检验所谓假设检验，顾名思义就是先假设再检验，实际上有点类似于反证法，在实际问题中我们往往需要对未知
9、总体提出某中假设或推断，但是我们的假设可能是错的，也可能是正确的，这时候我们就需要利用一个抽样的样本 ，通过一定的方12(,)nx法，检验这个假设是否合理，从而作出接受或者拒绝这个假设的结论。假设检验的基本原理是小概率事件原理，也即：我们认为小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，如果我们在抽取的样本观测值 下，居然使得小概12(,)nx率事件发生了，我们就有理由否定原假设。在明确一个假设检验问题的性质与基本前提（包括分布类型是否已知，如果类型已知，分布中包含哪些未知参数等等）之后，假设检验的一般步骤如下： 充分考虑和利用已知的背景知识提出原假设 以及对立假设 ；0H1 给定样本，确定合适的检验
10、统计量，并在 为真下导出统计量的分布（要求此分布不依赖与任何未知参数） ； 确定拒绝域：即依直观分析先确定拒绝域的形式，然后根据给定的显著性水平和以上统计量的分布由条件概率 确定拒绝域的临界值，从而0|PH拒 绝 为 真确定拒绝域； 作出判断：由一次具体抽样的样本值计算统计量的值，若统计量的值落入以上拒绝域，则拒绝 ；否则接受 。0H0我们重点研究单个正态总体数学期望和方差的假设，两个正态总体均值差和方差比的假设检验，教材分别给出了每种不同类型所用的统计量以及基本步骤（见教材第221250 面） 。对不同类型的问题，大家现在应该模仿教材的解法套出一些题目。在实际解题的时候我们需要注意以下问题： 不同类型所用的统计量； 用到的统计量中的自由度，以便于查表。
