1、一、谐波分析 三角函数系的正交性,二、傅里叶级数,三、奇函数与偶函数的傅里叶级数,四、函数 f(x) 在 0 , 上展开为正弦级数与余弦级数,第六节 傅里叶(Fourier)级数,第六模块 无穷级数,一、谐波分析 三角函数系的正交性,由,组成的函数序列叫做三角函数系，,三角函数系的正交性是指 :,如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，,在区间 , 上的定积分，,其值都为零 .,这实际上只需证明以下五个等式成立 :,以上结果，这里就不证明了 .,二、傅里叶级数,如下形式的函数项级数,称为三角级数 .,假定,且可逐项积分 ，,注 意到三角函数系的正交性，,即有,于是有,所以,为了求出系数 an
2、 ，,我们用 cos kx 乘级数 ，,然后在逐项积分,由三角函数的正交性可知，等式右端各项中，,当 k = n 时，,有,其余各项均为零 .,因此,用类似的方法，,可得到,注意到在求系数 an 的公式中，令 n = 0 就得到 a0 的表达式，,因此求系数 an , bn 的公式可以 归并为,由傅里叶系数 组成的 三角级数称为傅里叶级数.,an , bn 称为傅里叶系数.,收敛定理 (狄利克雷 (Dirichlet) 定理 ),设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ，,如果它满 足条件 :,在一个周期内连续或只有有限个第一类 间断点，,并且至多只有有限个极值点，,则 f(x) 的 傅里
3、叶级数收敛，,并且,级数收敛于,(2) 当 x 是 f(x) 的间断点时，,级数收敛于 f(x) ;,(1) 当 x 是 f(x) 的连续点时，,其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限，,f(x+0) 表示 f(x) 在 x 处的右极限 .,它在 , ) 上的表达式为,试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 .,设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函,例 2,数 ，,这是一个矩形波，,它显然满足收敛定理的条件 ，,由式 (12.6.4),因为在计算,又,根据收敛定理可知，,当 x k (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，,傅里叶级数收敛于 f(x) ，,即,所求傅里叶级数和函
4、数的图形如图所示 .,图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各点处与例 2 不同.,当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 时，,级数收敛于,例 3 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ，,它在 , ) 上的表达式为,试将其展开成傅里叶级数.,解 计算傅里叶系数,所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ，,即,级数收敛 于 ,当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , ) 时，,当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，,级数收敛于 0 .,图中给出了它的和函数的图形.,展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，,称为 正弦
5、函数，,只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数.,假设以 2 为周期的周期函数 f(x),在 , 内 是奇函数，,那么傅里叶级数一定是正弦级数.,即,此时傅氏系数,三、奇函数与偶函数的傅里叶级数,于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，,而奇函数在对称区间上的积分为零 ，,所以,又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，,故有,同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其展开式为余弦级数，,即,此时傅里叶系数为,试将其展开成傅里叶级数 .,解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，,因此我们应 根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.,由图形的对称性可知 f(x
6、) 是偶函数，,即,故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)，,又因为 f(x) 处处连续 ，, (x) 称为f(x) 的周期延拓函数.,且以 2 为 周期的函数，,如果 (x) 满足收敛定理的条件，,我们设想有一 个函数 (x)，,设函数 f(x) 定义在 0 , 上，,它是定义在 ( ) 上,而在 0 , 上，, (x) = f(x).,那么 (x) 在 ( ) 上就可展开为傅里叶级数，,取其 0 , 上一段，,即为 f(x) 在 0 , 上的傅里叶级数，,四、函数 f(x) 在 0 , 上展开为正弦级数与余弦级数,在理论上或实际工作中，,下面的周期延拓是 最为常用:,将 f(x) 先延拓到
7、( , 0) ，,使延拓后 的函数成为奇函数 ，,然后再延拓为以 2 为周期 的函数 .,这种延拓称为周期奇延拓;,这种延拓称为周期偶延拓.,将 f(x) 先延拓到( , 0)，,使延拓后的函数为偶函数，,然后再延拓为以 2 为周期的函数，,显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，,其傅 里叶系数按公式 (12.6.5) 计算.,即,( 因在 0 , 上， (x) = f(x) ).,周期偶延拓的结果为余弦级数，,其傅里叶系 数公式为,例 5 试将,解 按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，,且延拓的函数在 x = 0， 处连续，,因此,(0 x ) .,展开成正弦级数 .,例 6 试将函数,0 x , ,解 按公式(12.6.7),当 x = 时，收敛于 0.,所以,
