关于鸽巢原理地分析研究.doc

1、鸽巢原理及其他第一节 鸽巢原理关 于 鸽 巢 原 理 的 阐 释 ， 粗 略 地 说 就 是 如 果 有 许 多 鸽 子 飞 进 不 够 多的 鸽 巢 内 ， 那 么 至 少 要 有 一 个 鸽 巢 被 两 个 或 多 个 鸽 子 占 据 。一 、 鸽 巢 原 理 的 简 单 形 式1、 定 理 1： 如 果 要 把 n+1个 物 体 放 进 n个 盒 子 ， 那 么 至 少 有 一 个 盒子 包 含 两 个 或 更 多 的 物 体 。 证 明 ： 用 反 证 法 进 行 证 明 。 如 果 这 n个 盒 子 中 的 每 一 个 都 至 多 含 有 一个 物 体 ， 那 么 物 体 的 总 数

2、 最 多 是 n， 这 与 有 n+1个 物 体 矛 盾 。 所 以 某个 盒 子 至 少 有 两 个 物 体 。2、 定 理 1的 说 明 ： 无 论 是 鸽 巢 原 理 还 是 它 的 证 明 ， 都 不 能 具 体 找 出含 有 两 个 或 更 多 物 体 的 盒 子 。 它 只 是 证 明 这 样 的 盒 子 存 在 ， 即 如 果人 们 检 査 每 一 个 盒 子 .那 么 他 们 会 发 现 有 的 盒 子 里 面 放 有 多 个 物 体 。另 外 ， 当 只 有 n个 （ 或 更 少 ） 物 体 时 ， 是 无 法 保 证 鸽 巢 原 理 的 结 论 的。 这 是 因 为 可 以

3、 在 n个 盒 子 的 每 一 个 里 面 放 进 一 个 物 体 。 所 以 鸽 巢 原理成 立 的 条 件 是 至 少 为 n+1个 物 体 。 3、 鸽 巢 原 理 的 两 个 简 单 应 用应 用 1： 在 13个 人 中 存 在 两 个 人 ， 他 们 的 生 日 在 同 一 个 月 份 里 。应 用 2： 设 有 n对 己 婚 大 妇 。 至 少 要 从 这 2n个 人 中 选 出 多 少 人 才 能 保证 能 够 选 出 一 对 夫 妇 ？ 为 了 在 这 种 情 形 下 应 用 鸽 巢 原 理 ， 考 虑 n个 房 间 ， 其 中 一 个 房 间对 应 一 对 夫 妇 。 如

4、果 选 择 n十 1个 人 并 把 他 们 中 的 每 一 个 人 放 到 他 们夫 妻 所 对 应 的 那 个 房 间 中 去 ， 那 么 就 有 一 个 房 间 含 有 两 个 人 ； 也 就是 说 ， 已 经 选 择 了 一 对 已 婚 夫 妇 。 选 择 n个 人 使 他 们 当 中 一 对 夫 妻 也没 有 的 两 种 方 法 是 选 择 所 有 的 丈 夫 和 选 择 所 有 的 妻 子 ， 因 此 ， n+1是保证 能 有 一 对 夫 妇 被 选 中 的 最 小 的 人 数 。4、 从 应 用 2得 出 的 两 个 推 论推 论 1： 如 果 将 n个 物 体 放 入 n个 盒

5、子 并 且 没 有 一 个 盒 子 是 空 的 ， 那 么每 个 盒 子 恰 好 有 一 个 物 体 。 说 明 ： 以 应 用 2为 例 ， 选 择 n个 人 ， 如 果 其 中 有 一 对 夫 妻 ， 那 么 必 然有 一 个 房 间 是 空 的 ， 为 了 保 证 没 有 空 房 间 ， 则 必 须 从 每 对 夫 妻 中 选一 个 人 ， 即 恰 好 从 每 对 夫 妻 中 选 一 个 人 。推 论 2:如 果 将 n个 物 体 放 入 n个 盒 子 并 且 没 有 盒 子 被 放 入 多 于 一 个 的物 体 ， 那 么 每 个 盒 子 里 恰 好 有 一 个 物 体 。说 明 ：

6、以 应 用 2为 例 ， 选 择 n个 人 ， 每 个 房 间 只 能 是 夫 妻 中 的 一 个 人， 2n个 人 ， 恰 好 每 个 从 每 对 夫 妻 当 中 选 择 一 个 人 。5、 例 题例 1： 给 定 m个 整 数 a1， a2， ， am， 存 在 满 足 0 k l m的 整数 k和 l， 使 得 ak+1+ ak+2+ al能 够 被 m整 除 。分 析 ： 题 目 通 俗 化 ， 即 给 定 m个 整 数 的 序 列 ， 其 中 连 续 几 个 的 和 能 被m整 除 。 所 以 考 虑 序 列 中 连 续 和 的 情 况 。 如 果 其 中 任 何 一 个 能 被 m

7、整除 ， 那 么 结 论 就 成 立 了 。 对 此 ， 只 能 先 假 设 连 续 和 不 能 被 整 除 ， 即有 余 数 。解 ： 找 出 鸽 子 ： m个 正 整 数 连 续 和 ， 即 a1， a1+a2， a1+a2+a3， ， al+a2+a3+ am共 m个 和构 造 鸽 巢 ： 连 续 和 不 能 被 整 除 ， 那 么 余 数 必 然 为 1,2， ， m-1共m-1个 。 如 果 余 数 为 0或 m， 则 已 经 整 除 结 论 成 立 ， 所 以 只 能 是 m-1个 。鸽 巢 原 理 ： m个 和 ， m-1个 余 数 ， 那 么 必 然 有 两 个 余 数 是 相

8、 同 的 。 因 此 存 在 整 数 k和 l， 0 k l m， 使 得 al+a2+a3+ ak及 al+a2+a3+ al除 以 m有 相 同 的 余 数 ， 不 妨 设al+a2+a3+ ak=cm+ral+a2+a3+ al=dm+r ， 其 中 c， d， r为 正 整 数 。 - 可 得ak+1+ ak+2+ + al=(d-c)m从 而 可 得 ak+1+ ak+2+ + al能 够 被 m整 除 。特 例 如 下设 m=7,且 整 数 为 2, 4, 6, 3, 5, 5, 6。 计 算 上 面 的 和 得 到 2, 6, 12， 15, 20, 25, 31， 这 些 整

9、数 被 7除 时 余 数 分 别 为 2, 6, 5， 1， 6, 4, 3。 有 两 个 等 于 6的 余 数 ， 这 意 味 着 结 论 ： 6 + 3 + 5 = 14可 被 7整 除 。例 2： 一 位 国 际 象 棋 大 师 有 11周 的 时 间 备 战 一 场 锦 标 赛 ， 他 决 定 每 天 至 少下 一 盘 棋 ， 但 为 了 不 使 自 己 过 于 疲 劳 他 还 决 定 每 周 不 能 下 超 过 12盘棋 。 证 明 存 在 连 续 若 干 天 ， 期 间 这 位 大 师 恰 好 下 了 21盘 棋 。分 析 ： 问 题 通 俗 化 即 连 续 若 干 个 正 整 数

10、 的 和 恰 好 为 21。 实 际 问 题 转化 为 数 学 模 型 ， 即 构 造 一 个 用 来 表 示 若 干 天 下 棋 总 盘 数 的 数 列 。 然后 用 鸽 巢 原 理 证 明 。证 明 ： 找 出 鸽 子 ： 设 a1是 在 第 一 天 所 下 的 盘 数 ， a2是 在 第 一 天 和 第二 天 所 下 的 总 盘 数 ， a3是 在 第 一 天 、 第 二 天 和 第 三 天 所 下 的 总 盘 数 ，11周 总 共 77天 ， 以 此 类 推 ， a77表 示 77天 下 的 总 盘 数 。 因 为 每 天 至 少要 下 一 盘 棋 ， 故 a1 1， ,因 为 在 任

11、 意 一 周 最 多 下 12盘 棋 ， 所 以 a7712x11=132， 则 有 序 列 1 al a2 a3 a77 =132， 为 一 个 严 格 递 增 序 列 。 根 据 若 +干 个 正 整 数 的 和 为 21这 一 提 示， 构 造 数 序 列 al+21 a2+21 a3+21 a77+21， 此 序 列 也 是严 格 递 增 序 列 ， 由 此 可 得 al， a2， a3， ， a77 ， al+21， a2+21， a3+21， ， a77+21共 77+77=154个 数 。构 造 鸽 巢 ： 由 1 al a2 a3 a77 =132， 则 有 ， 1+21 al

12、+21 a2+21 a3+21 a77+21=132+21=153。 由 此 可 得 al， a2， a3， ， a77 ， al+21， a2+21， a3+21， ， a77+21是 从 1到 153的 正 整 数 。鸽 巢 原 理 ： al， a2， a3， ， a77 ， al+21， a2+21， a3+21， ， a77+21共 154个 数 ， 而 这 些 数 是从 1到 153的 正 整 数 ， 从 而 可 知 其 中 必 然 存 在 两 个 数 是 相 等 的 。 而 al， a2， a3， ， a77严 格 递 增 ， 各 不 相 等 。 al+21， a2+21， a3+

13、21， ， a77+21也 严 格 递 增 且 各 不 相 等 ， 那 么 必 然 有 如 下 相 等 的 情 况存 在 一 个 正 整 数 i和 一 个 正 整 数 j， 使 得 ai=aj+21。 ai为 大 师 在 前 i天 所 下 的 盘 数 之 和 ， aj为 大 师 在 前 j天 所 下 的 盘 数 之 和 ， ai-aj=21即 为 大 师 从 第 j+1天 ， 第 j+2天 到 第 i天 ， 下 了 21盘 棋 。例 3： 从 整 数 1, 2,， 200中 选 出 101个 整 数 。 证 明 ： 在 所 选 的 这些 整 数 之 间 存 在 两 个 这 样 的 整 数 ，

14、其 中 一 个 可 被 另 一 个 整 除 。证 明 之 前 ， 先 介 绍 一 种 正 整 数 的 表 示 方 法 。 正 整 数 有 奇 数 有 偶 数 ，而 任 何 一 个 偶 数 ， 都 可 以 通 过 提 取 因 数 2， 变 为 奇 数 与 若 干 个 2乘 积的 形 式 ， 例 如 8=1x2x2x2,24=3x2x2x2， 写 成 一 般 形 式 即 奇 数 x2n（其 中 n=1,2,3） ， 而 这 个 奇 数 绝 不 会 超 过 这 个 偶 数 的 一 半 。 下 面来 证 明 例 3。证 明 ： 找 出 鸽 子 ： 1到 200中 任 意 选 出 的 101个 整 数

15、。构 造 鸽 巢 ： 用 奇 数 x2n的 形 式 ， 把 1到 200的 整 数 全 部 列 出 ，1， 1x21， 1x22， 1x273， 3x21， 3x22， 3x265， 5x21， 5x22， 5x2599， 99x21199这 样 ， 就 把 1到 200的 全 部 整 数 列 出 ， 共 100行 。鸽 巢 原 理 ： 101个 整 数 放 到 100行 内 ， 必 然 有 两 个 整 数 在 同 一 行 ， 这两 个 数 表 示 为 p=ax2m， q=ax2n,其 中 ， a为 奇 数 ， 1 a 199， m、 n为正 整 数 ， 不 妨 设 n mq/p=(ax2n)

16、/(q=ax2m)= 2n-m。二 、 鸽 巢 原 理 的 加 强 形 式1、 定 理 2： 如 果 要 把 多 于 mxn（ 比 如 mxn+1） 个 物 体 放 进 n个 盒 子 ，那 么 至 少 有 一 个 盒 子 包 含 m+1个 或 m+1个 以 上 的 物 体 。例 4： 空 间 有 六 个 点 ， 其 中 任 何 三 点 都 不 共 线 ， 任 何 四 点 都 不 共 面 ，在 每 两 点 之 间 连 接 直 线 段 后 涂 色 ， 将 每 一 条 这 样 的 线 段 图 成 红 色 或蓝 色 ， 求 证 ： 不 论 如 何 涂 色 ， 一 定 存 在 一 个 三 角 形 ， 它

17、 的 三 边 有 相同 的 颜 色 。证 明 ： 找 出 鸽 子 ： 从 一 点 出 发 ， 连 接 的 空 间 直 线 段 有 5条 ， 即 2x2+1条 。 构 造 鸽 巢 ： 红 色 和 蓝 色 。 鸽 巢 原 理 ： 根 据 定 理 2， 则 至 少 有 三 条线 段 的 颜 色 是 相 同 的 。 如 图 ： 三 条 实 线 段 颜 色 相 同 ， 虚 线 连 接 三 条线段 的 端 点 。 三 条 虚 线 段 颜 色 不 同 时 ， 则 与实 现 三 条 实 线 段 构 成 颜 色 三 边 颜 色 相 同的 三 角 形 。 三 条 虚 线 段 颜 色 相 同 ， 但 与 三条 实

18、线 段 颜 色 不 同 时 ， 由 虚 线 段 构 成 的 三角 形 就 已 经 符 合 结 论 了 。2、 定 理 3： 设 ql， q2， q3， ， qn 是 正 整 数 ， 如 果 将 ql+q2+qn-n+1个 物 体 体 放 进 n个 盒 子 内 ， 那 么 或 者 第 一 个 盒 子 至 少 包 含 ql个 物体 ， 或 者 第 二 个 盒 子 至 少 包 含 q2个 物 体 ， ， 或 者 第 n个 盒 子 至 少包 含 qn个 物 体 。证 明 ： ql+q2+qn-n+1=(ql-1)+(q2-1)+(qn-1)+1根 据 鸽 巢 原 理 ， 可 得 第 i个 盒 子 至

19、少 包 含 qi个 物 体 ， i=1,2， 反 正 法 ： 设 第 i个 盒 子 含 有 少 于 qi个 物 体 物 体 ， 那 么 物 体 的 总 数 为(ql-1)+(q2-1)+(qn-1)=ql+q2+qn-n， 比 物 体 总 数 少 1个 ， 与 题 设 矛 盾 ， 故 结 论 成 立 。说 明 ： 上 述 结 论 中 ， 当 物 体 总 数 为 ql+q2+qn-n时 ， 则 有 第 i个 盒 子 不 含 有 qi或 者 更 多 个 物 体 ， i=1,2， ， 只 需将 qi-1个 物 体 分 配 到 第 i个 盒 子 即 可 实 现 。例 5： 个 果 篮 装 有 苹 杲

20、、 香 蕉 和 橘 子 。 为 了 保 证 篮 子 中 或 者 至 少 有 8个 苹 果， 或 者 至 少 有 6个 香 蕉 ， 或 者 至 少 有 9个 橘 子 ， 则 放 人 篮 子 中 的 水 果 的 最 小 件 数是 多 少 ？解 ： 根 据 定 理 3可 得 ， 所 需 的 水 果 最 小 件 数 为 8+6+9-3+1=21件 。3、 从 定 理 3得 到 的 一 个 推 论推 论 3： 设 n和 r都 是 正 整 数 。 如 果 把 n(r-1)+1个 物 体 分 配 到 n个 盒 子 中 ， 那 么 至 少 有 一 个 盒 子 含 有 r或 更 多 个物 体 。证 明 ： n(

21、r-1)+1=nr-n+1， 令 定 理 3中 ql=q2=qn=r， 则 结 论 成 立 。4、 由 推 论 3得 到 的 3个 平 均 原 理平 均 原 理 1： 如 果 n个 非 负 整 数 ， ql， q2， q3， ， qn的 平 均 数大 于 r-1， 即 (ql+q2+qn)/n (r-1),那 么 那 么 这 n个 数 中 ， 至 少 有 一 个 整 数 大 于 r-1（ 即 大 于 或 等 于 r） 。分 析 ： 根 据 推 论 3， 如 果 n(r-1)+1个 物 体 平 均 分 配 到 n个 盒 子 中 ， 除 一 个 盒 子 为 r个 物 体 外 ， 其 余盒 子 均

22、为 r-1个 。 反 过 来 ， 如 果 平 均 数 要 大 于 r-1， 那 个 必 然 一 个 盒 子 中 的 物 体 数 量 要 大 于 或 等 于 r。证 法 1： (ql+q2+qn)/n= n(r-1)+1/n=r-1+1/n (r-1),r N+,则 必 有 qi r， i=1,2， 证 法 2： 反 证 法 ， 不 妨 设 ql=q2=qn=r-1， 即 设 这 n个 整 数 全 部 比 r小 ， 则 有 (ql+q2+qn)/n=(r-1)， 与 题 设 r-1矛 盾 ， 所 以 这 n个 数 不 可 能 全 部 小 于 r， 则 必 至 少 有 一 个 大 于 或 等 于r

23、。平 均 原 理 2： 如 果 n个 非 负 整 数 ， ql， q2， q3， ， qn的 平 均 数小 于 r+1， 即 (ql+q2+qn)/n (r+1),那 么 那 么 这 n个 数 中 ， 至少 有 一 个 整 数 小 于 r+1。分 析 ： 根 据 推 论 3， 如 果 n(r+1)-1（ 因 为 平 均 数 小 于 r+1， 所 以 设 为 n(r+1)-1， 其 平 均 数 才 能 小 于 r+1） 个 物 体 平 均 分 配 到 n个 盒 子 中 ， 除 一 个 盒子 为 r个 物 体 外 ， 其 余 盒 子 均 为 r+1个 。 反 过 来 ， 如 果 平 均 数 要 小

24、 于 r+1， 那 个 必 然 一 个 盒 子 中 的 物 体 数 量 要 小 于 或 等 于 r。证 明 ： (ql+q2+qn)/n= n(r+1)-1/n=r+1-1/n (r+1),r N+。平 均 原 理 3： 如 果 n个 非 负 整 数 ， ql， q2， q3， ， qn的 平 均 数至 少 等 于 r， 即 (ql+q2+qn)/n r,那 么 这 n个 数 中 ， 至 少 有 一个 整 数 大 于 等 于 r。证 明 ： 令 平 均 原 理 中 的 r-1=u， 则 结 论 成 立 。例 5： 有 两 个 碟 子 ， 其 中 一 个 比 另 一 个 小 ， 它 们 都 被

25、分 成 200个 均 等的 扇 形 。 在 大 碟 子 中 ， 任 选 100个 扇 形 并 着 成 红 色 ， 而 其 余 的 100个扇 形 着 成 蓝 色 。 在 小 碟 子 中 ， 每 一 个 扇 形 或 者 着 成 红 色 ， 或 者 着 成蓝 色 ， 所 着 红 色 扇 形 和 蓝 色 扇 形 的 数 目 没 有 限 制 。 然 后 ， 将 小 碟 子放 到 大 碟 子 上 面 使 两 个 碟 子 的 中 心 重 合 。 证 明 ： 能 够 将 两 个 碟 子 的扇 形 对 齐 使 得 小 碟 子 和 大 碟 子 上 相 同 颜 色 重 合 的 扇 形 的 数 目 至 少 是 10

26、0个 。证 明 ： 设 小 碟 子 蓝 色 扇 形 的 数 量 为 x， 红 色 扇 形 的 数 量 为 y。 大 碟 子不 动 ， 转 动 小 碟 子 ， 每 转 2 /200角 度 ， 就 有 一 次 对 应 ， 于 是 共 有 200次 对 应 。 大 碟 子 的 红 色 扇 形 有 100个 ， 小 碟 子 的 红 色 扇 形 有 x个 ， 那么 转 动 一 周 ， 小 碟 子 每 个 红 色 扇 形 与 大 碟 子 对 应 100次 ， 所 以 红 色 扇形 对 应 的 次 数 共 有 100x次 ， 同 理 ， 蓝 色 对 应 的 次 数 为 100y 次 ， 颜 色 相 同 的

27、对 应 次 数 为 100x+100y=100(x+y)=100*200=20000次， 那 么 每 个 位 置 颜 色 相 同 的 平 均 次 数 为 20000/200=100， 根 据 平 均 原理 3，则 有 某 个 位 置 颜 色 相 同 的 扇 形 数 目 至 少 为 100个 。习 题1、 在 边 长 为 1的 正 方 形 内 任 意 放 置 5个 点 ， 求 证 其 中 必 有 两 个 点 ， 这两 个 点 之 间 的 距 离 不 大 于 。2/证 明 ： 如 图 将 正 方 形 等 分 成 4份 ， 根 据定 理 1可 知 ， 必 然 有 2个 点 落 在 正 方 形的 1/

28、4区 域 内 ， 这 两 点 的 距 离 小 于 1/4小 正 方 形 的 对 角 线 长 。/2、 在 边 长 为 1的 正 方 形 内 任 意 放 入 9个 点 ， 证 明 ： 以 这 些 点 为 顶 点 的许 许 多 多 三 角 形 中 ， 必 有 一 个 三 角 形 的 面 积 不 超 过 1/8。证 明 ： 如 图 ， 将 正 方 形用 平 行 于 边 的 平 行 线 等分 为 4分 ， 取 1/4。 由定 理 2可 知 ， 2x4+1=9个 点 放 入 4个 盒 子 内 ， 比 然 有 一 个 盒 子 内 有2+1=3个 点 ， 现 在 讨 论 这 三 个 点 构 成 的 三 角

29、形 的 面 积 。S ABC= S AAC +S AAB 1xhx1/2+1x(1/4-h)x1/2=1/8。3、 证 明 ： 每 个 由 n2 + 1个 实 数 构 成 的 数 列 ， a1， a2， ， an+1或 者 含 有 长 度 为 n + 1的 递 增 子 数 列 ， 或 者 含 有 长 度 为 n+l的 递 减 子 数 列 。分 析 ： 当 n=1时 ， n2 + 1=2， 即 该 数 列 的 长 度 为 2， n+1=2， 即 含 有 长 度 为 2的 单 调 子 数 列 。两 个 实 数 构 成 实 数 列 ， 必 然 是 单 调 的 。 当 n=2时 ， n2 + 1=5，

30、 即 该 数 列 的 长 度 为 5， n+1=3， 按 题 意 应 该 能 从 中 找 出 长 度 为 3的 单 调 子 数 列 。 这 就 是 题 目 所 要 表 达 的 意 思 。在 证 明 之 前 ， 补 充 一 下 与 数 列 相 关 的 定 义 。数 列 ： 按 照 一 定 顺 序 排 列 起 来 的 数 串 a1， a2， ， an ， an+1， ， 叫 数 列 。数 列 的 长 度 ： 数 列 项 数 的 数 量 成 为 数 量 的 长 度 。有 穷 数 列 ： 数 列 的 项 数 是 有 限 的 称 为 有 穷 数 列 。无 穷 数 列 ： 数 列 的 项 数 是 无 限

31、的 称 为 无 穷 数 列 。若 al a2 a3 an an+1 则 为 单 调 递 增 数 列 。若 al a2 a3 an an+1 则 为 单 调 递 减 数 列 。单 调 递 增 数 列 和 单 调 递 减 数 列 统 称 为 单 调 数 列 。由 相 等 的 数 构 成 的 数 列 也 可 称 为 单 调 数 列 。去 掉 上 述 单 增 和 单 减 数 列 中 的 等 号 ， 则 为 严 格 单 调 数 列 。从 原 数 列 中 抽 出 一 部 分 ， 但 不 改 变 它 们 在 原 数 列 中 的 先 后 顺 序 ， 这样 得 到 的 一 个 新 数 列 称 为 原 数 列 的

32、 子 数 列 。 子 数 列 用 ai1， ai2， ， ain ， ain+1， ， 表 示 ， 其 脚 标 必 须 满 足1 i1 i2 in in+1 原 数 列 本 身 也 是 其 子 数 列 。 原 数 列 中 抽 出 1项 构 成 的 数 列 也 是 其 子 数列 。下 面 证 明 例 3。证 明 ： 记 原 数 列 为 a1， a2， ， an ， an+1， an+1。 先 考 虑 递 减 的 情 况 。 设 以 ai为 首 项 的 最 长 递 减数 列 的 长 度 为 Ni。 下 面 看 一 个 特 例 ， 任 意 写 一 个 长 度 为 5的 数 列 如 ，5,9,88,2

33、2,31， 以 5为 首 项 的 递 减 数 列 的 长 度 为 1， 以 9为 首 项 的 递 减数 列 的 长 度 为 1， 以 88为 首 项 的 递 减 数 列 的 长 度 为 3,由 此 可 知 ，Ni 1， 且 对 于 长度为n 2 + 1的 数 列 ， Ni为 n2 + 1个 正 整 数 。 如 果 原 数 列 中 没 有 长 度 为 n+1的 递 减 数 列 ， 则 Ni为 1到 n之 间 的 n2 + 1个 正 整 数 ， 根 据 定 理 2可 知 ， 其 中 必 然 有 n+1个 数 是 相 等 的 。 例 如 ，n=3时 ， n2 + 1=10， 10个 数 分 配 到

34、1、 2、 3三 个 盒 子 中 ， 必 然 有 4个 数 都 为 1， 或 者都 为 2， 或 者 都 为 3。 n+1个 数 相 等 记 为 Ni1= Ni2=Nin+1， 其 脚 标 适 合 1 i1 i2 in in+1 i n2 + 1。 这 就 是 说 ， 原 数 列 中 有 n+1个 递 减 子 数 列 的 长 度 是 相 等 的 。 任 意列 出 其 中 两 个 如 下 ：ai1， ai5， ， ain ， ain+1 ai2， ai6， ， ain+2 ， ain+8， 其 脚 标 适 合 1 i1 i2 in in+1 i n2 + 1比 较 ai1， ai2， 两 个 不

35、 同 的 实 数 比 较 ， 必 然 有 大 小 。 作 为 递 减 数 列， 当 ai1 ai2时 ， 必 然 有 数 列 比 数 列 多 一 项 。 当 ai1 ai2时 ，必 然 有 数 列 比 数 列 多 一 项 。 这 与 Ni1= Ni2=Nin+1是 矛 盾 的 。 所 以 对 于 ai1 ai2的 情 况 ， 必 然 有 ai1 ai2成 立 ， 以 此 类 推 ， n+1个 长 度 相 等 的 递 减 数 列 必 然 存 在 一 个 长 度 为n+1的 递 增 数 列 。 对 于 ai1 ai2的 情 况 也 是 如 此 。 如 果 设 原 数 列 中 没有 长 度 为 n+

36、1的 递 增 子 数 列 ， 同 理 可 证 必 然 存 在 一 个 长 度 为 n+1的 递减 子 数 列 。4、 一 个 国 际 社 团 的 成 员 来 自 6个 国 家 ， 共 有 1978人 ， 用 1,2， 1978编 号 ， 证 明 ： 该 社 团 至 少 有 一 个 成 员 的 编 号 与 他 的 同 胞 的 编 号 之和 相 等 或 是 其 一 个 同 胞 的 编 号 的 两 倍 。证 明 ： 该 题 目 与 下 面 的 叙 述 是 等 价 的 ， 即 把 1,2， 1978按 任 意 方式 分 成 6组 ， 则 必 有 一 组 具 备 这 样 的 性 质 ， 其 中 至 少

37、有 一 个 数 或 是 等于 同 一 组 中 其 它 两 数 的 和 ， 或 是 等 于 另 一 数 的 两 倍 。 题 目 改 写 是 简化 明 确 题 目 的 一 种 方 法 。反 证 法 ， 设 任 何 一 组 数 都 不 具 备 这 样 的 性 质 ， 那 么 应 该 具 备 下 列 性质 ：*同 一 组 中 任 何 两 个 数 之 差 必 不 在 这 个 组 中 ， 若 a， b和 b-a这 三 个 数 在 同 一 组 中 ， 则 有 a+(b-a)=b,就 具 备 欲 证 的 性 质 了 。 由 1978/6 329， 根 据 定 理 1可 知 ， 必 然 存 在 一 个 数 组

38、A， 其 中 至 少含 有 330个 数 。 对 于 这 330个 数 ， 记 最 大 的 为 mA, mA减 去 其 它 329个 数 ， 所 得 的 差 是 既 为 正 整 数 又 小 于 1978的 329个 数， 根 据 性 质 *可 知 ， 这 329个 数 一 定 不 在 数 组 A中 ， 必 然 在 其 它 的 5个数 组 中 。 由 329/5 65， 根 据 定 理 1， 必 然 存 在 一 个 数 组 B， 其 中 至 少 含 有 上面 329个 数 中 的 66个 数 。 对 于 这 66个 数 ， 记 最 大 的 为 mB, mB减 去 其 它 65个 数 ， 所 得

39、的 差 是 既 为 正 整 数 又 小 于 1978的 65个 数 ，根 据 性 质 *可 知 ， 这 65个 数 一 定 不 在 数 组 B中 ， 同 时 也 不 在 数 组 A中 。假 若 其 中 一 个 数 (mB-b) A， 其 中 mB=mA- a1， b=mA- a2， 其 中 a1， a2 A， a2 a1， 令 a2-a1=(mA-b)-(mA-mB)= mB-b A， 这 与 性 质 *相 违 背 ， 所 以 这 65个 数 不 在 数 组 A、 B中 ， 必 然 属 于其 它 的 4个 数 组 。 由 65/4 16， 根 据 定 理 1， 必 然 存 在 一 个 数 组

40、C， 其 中 至 少 含 有 上面 65个 数 中 的 17个 数 。 对 于 这 17个 数 ， 记 最 大 的 为 mC, mC减 去 其 它 16个 数 ， 所 得 的 差 是 既 为 正 整 数 又 小 于 1978的 16个 数 ，根 据 性 质 *可 知 ， 这 16个 数 一 定 不 在 数 组 C中 ， 同 时 也 不 在 数 组 A、 B中 。 假 若 其 中 一 个 数 (mC-c) B， 其 中 mC=mB- b1， c=mB- b2， b1， b2 A， b2 b1， 令 b2-b1=(mB-c)-(mB-mC)= mC-c B， 这 与 性 质 *相 违 背 ， 所

41、以 这 16个 数 不 在 数 组 A、 B、 C中 ， 必 然属 于 其 它 的 3个 数 组 。 由 16/3 5， 根 据 定 理 1， 必 然 存 在 一 个 数 组 D， 其 中 至 少 含 有 上 面16个 数 中 的 6个 数 。 对 于 这 6个 数 ， 记 最 大 的 为 mD, mD减 去 其 它 5个 数 ， 所 得 的 差 是 既 为 正 整 数 又 小 于 1978的 5个 数 ， 根据 性 质 *可 知 ， 这 5个 数 一 定 不 在 数 组 D中 ， 同 理 也 不 在 数 组 A、 B、 C中 。 必 然 属 于 其 它 的 2个 数 组 。 由 5/2 2，

42、 根 据 定 理 1， 必 然 存 在 一 个 数 组 E， 其 中 至 少 含 有 上 面 5个 数 中 的 3个 数 。 对 于 这 3个 数 ， 记 最 大 的 为 mE, mE减 去 其 它 2个 数 ， 所 得 的 差 是 既 为 正 整 数 又 小 于 1978的 2个 数 ， 根据 性 质 *可 知 ， 这 2个 数 一 定 不 在 数 组 E中 ， 同 理 也 不 在 数 组 A、 B、 C、 D中 。 必 然 属 于 最 后 一 个 数 组 。 若 最 后 两 个 数 在 数 组 F中 ， 记 较 大 的 减 去 较 小 的 所 得 的 差 是 既 为 正整 数 又 小 于 1978， 根 据 性 质 *可 知 ， 这 个 数 一 定 不 在 数 组 F中 ， 同 理也 不 在 数 组 A、 B、 C、 D、 E中 。 这 显 然 是 一 个 矛 盾 。所 以 题 目 的 结 论 是 正 确 的 。总 结 ： 鸽 巢 原 理 的 关 键 是 找 到 鸽 子 和 构 造 鸽 巢 ， 这 要 求 具 备 代 数 、几 何 、 数 论 等 方 面 的 坚 实 知 识 基 础 ， 通 过 对 大 量 问 题 的 分 析 、 练 习、 总 结 ， 才 能 成 为 构 造 鸽 巢 的 能 工 巧 匠 。