1、必修 11.1.1 集合的含义与表示（一）引入课题今天我们学习高中数学的第一章集合与函数，初中我们就学习过函数，高中我们将在集合的背景下重新学习函数，所以我们从今天开始先学习集合， （板书）下面请咱班的全体同学把课本翻到第二页，在这里，咱班的全体同学就构成了一个集合。小学和初中我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，不等式解的集合，平面内到一条线段两个端点距离相等的点的集合。那么集合的含义是什么呢？阅读课本 P2-5 内容，附加（9）我国的小河流；（10）全班成绩好的学生其中（1）-（8）都是把一些确定的元素组成的总体叫集合，而（9） ， （10）其研究对象含糊不清，不明确，不能作为一个集
2、合二、新课教学1，集合的有关概念一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。比如说咱们班全体同学构成了一个集合，其元素是每一位同学。同学们举例-2，关于集合的元素的特征教室内帅气的男生能否构成一个集合？确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。今天上了哪些课程？今天数学是联排课，数学用不用说两遍？互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。咱班的同学按照姓氏笔画排列一遍，再按照年龄大小排列一遍，是不是同一个集合？无
3、序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。练习：判定是否是集合？（1）方程 x*2-2x+1=0 的解集（2）鲁迅，上海说明：其中前两个性质作为集合的判定定理3，元素与集合的关系；（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作：aA（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作：a A会不会有第三种关系，即不确定属于不属于？（确定性）例如，我们 A 表示“120 以内的所有质数”组成的集合，则有 3A，4 A，等等。4集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母 A，B，C表示；集合的元素用小写的拉丁字母 a,b,c,表示。5常用的数集及记法：非负整数集（
4、或自然数集） ，记作 N；（自然英文首字母）正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z；（zheng）有理数集，记作 Q；（QQ 交朋友）实数集，记作 R；（真实的英文首字母）区分有理数，无理数：有理数：整数，分数，小数，无限循环小数无理数：无限不循环小数，典型代表 ，e26,我们可以用自然语言来描述一个集合，比如说“四大洋” ，这个集合有几个元素？元素个数比较少，我们可以一一列举出来，这就是集合的表示方法之一，列举法，再比如 2，4，6，7 这四个数构成的集合，用自然语言描述不好描述，用列举法就很简单，下面我们看看列举法的一般的书写格式列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ”
5、括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；例 1 （课本例 1）用列举法表示下列集合：（1）小于 10 的所有自然数组成的集合；（2）方程 x2=x 的所有实数根组成的集合；（3）由 1 到 20 以内的所有质数组成的集合；（4）方程组 的解组成的集合20;.xy说明：1集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2各个元素之间要用逗号隔开；3元素不能重复；4集合中的元素可以数，点，代数式等；5对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号， 象自然数集用列举法表示为 1,2345,.
6、6，实数集，R也是错误的，这里的 已包含“所有”的意思。思考：你能用列举法表示不等式 x-72，(x,y)|y=x2+1，x直角三角形，；例 2 （课本例 2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程 x22=0 的所有实数根组成的集合；（2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合；（3）方程组 的解。3;1.xy描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2， x|y= x2+3x+2, y/3|y= x2+3x+2是不同的集合，探究：课本 P5 最后一段话；生活的的例子适合用自然语言，比如说我们班的全体同学，元素个数有限且较
7、少更适合列举法，元素个数多或则无法一一列举适合但共同属性很容易概括适用于描述法归纳小结：1-6提升：集合是高中数学的一个重要平台，学好集合基本知识，为我们在这个平台上施展抱负做好准备。1.1.2 集合间的基本关系一、复习回顾：1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？（1）10 以内 3 的倍数； （2）1000 以内 3 的倍数2.用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5 R。思考 1：类比实数的大小关系，如 55； x|x6 x|x5 ； x|x3 x2同学们两个实数之间有四则运算，两个集合之间是否也有类似运算吗？二、新课教学思考：考察下列集合，说出集合 C 与集合
8、 A，B 之间的关系：（1 ） ， ；,35A2,461,2345,6B（2 ） ， ；由学生通过观察得结论。x是 有 理 数 xCx是 无 理 数 是 实 数1并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集（union set） 。记作：A B （读作：“A 并 B”） ，即,x或用 Venn 图表示：这样，在问题（1） （2）中，集合 A，B 的并集是 C，即= C说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。课本例 4，例 5例 5，数轴求并集 1）画线高低错落，2）空心实心毫不含糊，3）求并有线就行讨论：AB 与集合 A、B
9、 有什么特殊的关系？AA , A , AB BAAB A , ABB .引入：1， （2 ，4 ，6，8，10） （3，5 ，8，12） （8）2，女同学，高一学生，高一女同学2交集的定义：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫作集合 A、B 的交集（intersection set） ，记作 AB （读 “A 交 B”）即：AB x|x A，且 xB用 Venn 图表示：（阴影部分即为 A 与 B 的交集）巩固练习（口答）：A3,5,6,8，B 4,5,7,8 ，则 AB ;A等腰三角形，B直角三角形，则 AB ; Ax|x3，Bx|x0 时，值域 ；当 a02ya
10、xbc24acbBy时，值域 。24B（3）反比例函数 的定义域是 ，值域是 。(0)kyx0x0y（二）区间及写法：设 a、b 是两个实数，且 a5、x|x -1 、x|x0 时， ；根式是能表示成分数指数幂的形式 ，当被开方的1510255aa12?a指数不能被根指数整除时根式是否也能表示成分数指数幂的形式？ .这样规3232)(aa?定的合理性？使得理论体系得以推广健全。定义分数指数幂：规定 ；*(0,1)mnanN*1(0,1)mnnmaanN随堂练习：A. 将下列根式写成分数指数幂形式： ； ；(,)2534B. 求值 ； ； ； .237543652a讨论：0 的正分数指数幂？ 0
11、 的负分数指数幂？指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂指数幂的运算性质： 0,abrsQ ； ； rsrra)( srab)(教学例题：（1 ） 、 （P 51，例 2）解： ， 3238()41112()25()55 ，5151(5)()2334()367()818总结：有两种思路：1）直接将分数指数幂转化成根式。但这样做有时比较麻烦，如。2 ）把底数先写成分数指数幂的形式，这样新老幂之间可能约分化简，较好！（2 ） 、 （P 51，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（ 0）a解： ， 173322
12、.aa28333a34213()（3 ） （P 52 例 5）计算下列各式（1 ） （ 2） 0）4(21)23(.a无理指数幂的教学的结果？定义：无理指数幂. （结合教材 P58 利用逼近的思想理解无理指数幂意义）23无理数指数幂 是一个确定的实数实数指数幂的运算性质？),0(是 无 理 数a归纳小结：1根式的概念：若 n1 且 ，则*Nn,xaxan是 的 次 方 根 ,为 奇 数 时 ,=为偶数时， ；nxa2 掌握两个公式： (0),|nna为 奇 数 时 ,()为 偶 数 时 ,3 根式和分数指数幂的转化。提升：指数幂的推广完善：整数（初中）有理数实数，理论体系就像一颗种子一样慢慢的
13、生根发芽开花结果！2.1.2 指数函数及其性质一、复习准备：1. 提问：分数指数幂是怎样定义的？2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？讲新课之前我想提一个一直困扰我的拉面问题，21=2,22=4,23=8,24=16,25=32-实际上就是一个函数关系 ，大约拉 4，5 次就可以了，正是这个函数把我从人生的困惑中解脱出来，这就是我们今天指数2xy函数。2、 讲授新课：举例：生活中其它指数模型？A细胞分裂时，第一次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数 x 的
14、函数关系式是什么？B一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84，那么以时间 x 年为自变量，残留量 y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？定义：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function） ，其中 x 是自变量，函数的(0,1)xa且定义域为 R.讨论：为什么规定 0 且 1 呢？否则会出现什么情况呢？讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象（有图有真相） ，结合图象研究函数的性质 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶
15、性如何做出一个新函数的图像？描点法或者图像变换作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： （师生共作小结作法）2xy1()x函数 与 的图象有什么关系？如何由 的图象画出 的图象？根据两2xy1()x x1()2xy函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为 3 或 1/3 等后？根据图象归纳：指数函数的性质 (书 P56)01定义域值域单调性奇偶性定点图像位置关系3、例题讲解例 1：（P 56 例 6）已知指数函数 （ 0 且 1）的图象过点（3，） ，求()xfa(0),(3)ff的 值 .例 2：（P 56 例 7）比较下列各题中的个值的大小（1 ） 1.72.5 与 1.73
16、( 2 ) 与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.10.180.2总结：比较大小的常见方法：做差，做商，单调性，中间量-教学指数函数的应用模型： 出示例 1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育着 22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题2000 年第五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为1%为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策()按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000 年起，x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍？()从 2000 年起到 2020 年我国的人口将达到多少？（师生共同读题摘要 讨论
17、方法 师生共练 小结：从特殊到一般的归纳法） 练习： 2005 年某镇工业总产值为 100 亿，计划今后每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后的总产值为原来的多少倍？ 变式：多少年后产值能达到 120 亿？ 小结指数函数增长模型：原有量 N，平均最长率 p，则经过时间 x 后的总量 y=？ 一般形式：涉及到指数型函数的应用，形如 （a 0 且 1）.xyk归纳小结1、指数函数的定义2、指数函数图像和性质提升：思想方法：分类讨论，数形结合，这是高中数学较比重要的思想希望同学们能有所体会！而且展示了研究一个新学函数方法，这位我们以后的学习起到了示范作用。2.2.1 对数与对数运算 复习准备：今天
18、我们学习 2.2，在 2.1 中我们学习了哪些内容？根式与分数指数幂。指数函数对于这两节内容我们简单复习一下：问题 1.X2=4,X=2？.X2=5，X= 5？为什么 X=5？这个方程的根 X 真实存在，但在有理数范围内是无解的，于是我们规定了 n 次方根的定义，从而就可以把这两个解书写出来，可以说就是为了解方程的需要人为发明的一个符号标记。问题 2。对于指数函数 ，Y=8,X=?, Y=30,X=?, X 存在吗？唯一确定吗？你能估测其所在区间吗？2xy虽然方程的根唯一确定但我们现在是无法说出 x 等于什么，怎么办？人为标记一个符号，怎么标记？同学们尝试发明创造-，大家的创造能力很强，和合理
19、，但生不逢时，这个已经被数学前辈发明了，16 世纪苏格兰数学家纳皮尔，发明了对数，对数的发明是数学历史上的重大事件，天文学家，航海家为之欣喜若狂，恩格斯把对数的发明，解析几何，微积分并称 17 世纪数学的 3 大创造，伽利略说过，给我空间时间和对数我就能创造一个宇宙！定义 ： 一 般地，如果 ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm）.xaN(0,1)a记作 ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 奎 屯王 新 敞新 疆 用定义说明： =30,X=?, logax 2xy定义：我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数（common logarithm） ，并把常用对数
20、简记为 lgN 奎 屯王 新 敞新 疆 在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828为底的对数，以 e 为底的对10l数叫自然对数，并把自然对数 简记作 lnN 奎 屯王 新 敞新 疆 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3loge练习课本例 1.互化，添加两题（7）lg（-1）= (8)lg0= (9)lg1= (10)lg10= 结论：负数与零没有有对数？（原因：在指数式中 N 0 ）， log1?alog?a例 2-指数有哪些运算律？对数也应当有自己的运算律，如果我们发现将是对对数体系是重大完善！ 引例： 由 ，如何探讨 和 、 奎 屯王 新 敞新 疆之间的关系？pqalo
21、gaMNlalogaN设 , ，由对数的定义可得：M= ，N= 奎 屯王 新 敞新 疆loglogaNpqMN= =pqp MN=p+q，即得 MN= M + N 奎 屯王 新 敞新 疆al alalogal 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a 0，a 1，M 0， N 0 ，则; ； alog(N)llogaaallog-lN()naalog=lMR性质的证明思路？（对数定义，用定义证明是证明的根本，学过了哪些？证明单调性，奇偶性）自然语言如何叙述三条性质？ 例 1. 判断下列式子是否正确， （ 0 且 1， 0 且 1， 0， ） ，axaxy（1） （2）loglog()a
22、xyxylogllog()aay（3） （4）lllaaalllaaax（5） （6）(log)lnaaxx1loglaa（7） 1例 2（ P65 例 3 例 4）：用 ， ， 表示出（1） （2）小题，并求出（3） 、 （4）logaxlaylaz小题的值.（1） （2） （3） （4）logaxyz23l8a 75log()z5lg10对数在生活中的应用是很强的，看课本 P66，我国人口问题达到 18 亿的年份，如何求，这里是非特殊值需要计算机，但问题来了，计算器上都是以 10，e,为底的，所以我们需要把这个结果转化成以 10 或 e,为底的。换底公式，查计算机算出本题。从计算器求对数这
23、个角度可以看出换底公式的重要性。换底公式的推论： ；loglmnaab1loglab接下来继续见证对数的神奇：长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原始量的 76.7%，试推算古墓的年代？归纳小结：对数的定义： 0 且 1） log(bNaa对数的性质公式：提升：同学们本节课大家见证了对数的发明与发展，这个过程神奇但也入情入理，希望同学们在数学上投入兴趣多做研究，将来也能成为一名伟大的数学家！2.2.2 对数函数及其性质一、复习准备：对数的定义和运算，对数是 17 世纪数学史的重大发明，恩格斯把对数的发明，解析几何，微积分并称 17世纪数学的 3 大创造，伽利略说过，给我空间时间和对数我就
24、能创造一个宇宙。比如教材 P73 例，对每一个碳 14 的含量 P 的取值，通过对应关系 ，生物死亡年数 t 都有唯一的值与573012logtP之对应，从而 t 是关于 P 的函数，这个函数在考古年代断定上有无以伦比的作用，这个函数就是今天要学习的对数函数。二、讲授新课：定义：一般地，当 a0 且 a1 时，函数 叫做对数函数(logarithmic function).自变量是 x； 函数的ay=logx定义域是（0，+）探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大
25、（小）值、奇偶性如何做出一个新函数的图像？描点法，图像变换同一坐标系中画出下列对数函数的图象 ； （可以通过将 得到关于 X 轴xy2log0.5logyxxy2log对称）根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 01定义域值域单调性奇偶性定点图像位置关系例 1：（P71 例 7）求下列函数的定义域（1 ） （2 ） （ 0 且 1 ）2logayxlog(4)ayxa例 2. （P72 例 8）比较下列各组数中的两个值大小（1 ） （2 ）22l3.4,l.50.30.3l18,l27（3 ） （ 0 ，且 1）og9aaa例 3. （P72 例 9）：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度 p
26、H 的计算公式 ，其中 表示lgpHH溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？（）纯净水 摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.710H总结：用函数思想解决实际应用问题的步骤：第一步:抽象出的函数模型。 （建函数） （本题是直接给出函数） 第二步：如何应用函数模型解决问题？（用函数） （单调性，由 X 求 Y） 第三步：汇报实际结论。 （跳出函数）过度：PH 值分别是 8，9，10 求对应的氢离子的浓度，分别将函数值代入 8，9，10 再指对互化分别求出自变量，但这样运算有重复的嫌疑，指对互化了 3 次，我们可以先指对互化得到一个新函数，对于这个新函数的自
27、变量分别代入 8，9，10 这样会简单些。原函数：PH 值关于氢离子浓度的函数，新函数：氢离子浓度关于 PH 值的函数这两个函数有什么变化？自变量和因变量颠倒。这就是我们下面要学习的反函数当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）如何由 求出 它的反函数 ？ y=2x-1?2xy函数 由 解出，是把指数函数 中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通logx 2xy常用 x 表示自变量， y 表示函数，即写为 .那么我们就说指数函数 与对数函数log2xy
28、互为反函数。y2l在同一平面直角坐标系中，画出上面两对互为反函数的图象，发现什么性质？关于 y=x 对称。为什么？例 1、求下列函数的反函数（1 ） （2）5xy0.5logyx（师生共练 小结步骤：解 x ；交换 x,y；定义域）类比：原函数（汉献帝掌权）反解 x （曹操挟天子以令诸侯） ；交换 x,y（曹操称帝，当然曹操自己没有称帝）例 2、己知函数 的图象过点（1 ，3）其反函数的图象过（2，0 ）点，求 的表达式.()xfak fx归纳小结：对数函数的概念、图象和性质; 反函数的含义提升：指对函数是高中最先学的两个基本初等函数，它们关于 Y=X 对称， （画门形图） ，走进这扇门将正式
29、进入高中函数的学习！2.3 幂函数新课引入：（1）边长为 的正方形面积 ，这里 是 的函数；a2aSSa（2）面积为 的正方形边长 ，这里 是 的函数；S1（3）边长为 的立方体体积 ，这里 是 的函数；3V（4）某人 内骑车行进了 1 ，则他骑车的平均速度 ，这里 是 的函数；tskmskmtv/1vt（5）购买每本 1 元的练习本 本，则需支付 元，这里 是 的函数. wwpp观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）给出定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.xy)(Ra幂函数和我们学习过的什么函数相似度较高？指数函数。区别是什么？指数：底定指变，幂：指定底变。练：判
30、断在函数 y=x3（是）,y=3x（不是）,y=3x2（不是）,y=x2+x3（不是） ，y=1/x（是）,y=x0（是）,y=1（不是）中，哪几个函数是幂函数？用定义严格判断。只要形如这种形式的就是幂函数，参数 a 可以取任何值。在这里我们也可以看出幂函数的多样性，y=1/x,y=x,y=x2,图像差别较大。如何研究幂函数？可类比指对函数研究的方式：函数定义有了，下一步有图有真相，通过描点法出图像，但由于图像的多样性，每个幂函数的类比性不强，借鉴意义不算大，每个幂函数都要描点，今天我们用“超级描点法”比如：y=x1/2:定义域【0，正无穷）值域【0，正无穷）图像就锁定第一象限且过原点，单调性
31、【0，正无穷）单增，这样就把图像就有了大致轮廓，再描点就不会很盲目！（类比：作画，警察破案）练习：分小组做出下列幂函数的大致图像 a=3，-3，2/3,3/2,-2/3,-3/2引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（）所有的幂函数在（0， +）都有定义，并且图象都过点（1，1 ） ；（） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数的 ),01图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；0（） 时，幂函数的图象在区间 上是减函),0(数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限xyyxx地逼近
32、轴正半轴。过度：这就是我们今天研究的幂函数，体会了超级描点法，就是先通过函数解析式，可以很容易得到函数的一些性质，定义域，值域，单调性，奇偶性，特殊点-这样就可以勾勒出图像大致轮廓，再描点，就可以把图像快速画出！比如 单调性不通过严谨证明，很容易判定出来，是增函数，当然()0,fx在如果你要想严谨证明也可以证出来。例 1（P78 例 1） 证明幂函数 上是增函数(),f在证：任取 则21,0,xx且 211()ff= 212()()xx= 12x因 0， 012x12所以 ，即 上是增函数.()ffx(),fx在例 2. 比较大小： 与 ； 与 ； 与 . 5.1a.23()a21.2190归
33、纳小结：1， 定义。2 ，作图。3 ，性质提升：通过作图可以了解幂函数性质，而通过性质我们也可以帮助我们作图，体现了数形结合思想，数形相辅相成。3.1.1 方程的根与函数的零点引入：在第二章我们学习了函数的概念，性质，指对幂函数，函数是高中数学最重要的内容，而函数在实际生活中应用非常广泛，比如上一章我们研究的人口的增长问题就是指数型函数模型，考古中年代断定就是对数型函数，不举高大上的就比如一个一直困扰我的拉面问题，21=2,22=4,23=8,24=16,25=32-实际上就是一个指数函数 ，大约拉 4，5 次就可以了，正是这个函数把我从人生的困惑中解脱出来。第2xy三章我们就重点研究函数的应
34、用。1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？2先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程 与函数 方程 与函数032x32y012x12xy方程 与函数x生：这三个二次方程的根就是二次函数图形与 X 轴交点的横坐标师：上述结论推广到一般二次方程和二次函数又怎样？可推广为更一般的函数与方程吗？方程 的根就是函数 与 X 轴交点的横坐标0)(xf )(Dxfy就叫做函数 的零点问上面三个函数的零点（纠错零点不是点是横坐标，名字有很强的)(xfy迷惑性）方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数
35、 有零点)(xfy)(xfy过度：函数一定有零点吗？过度：二次函数的零点存在性可以通过判别式断定，其它函数的零点存在性如何判定？零点存在性的探索：（）观察二次函数 的图象：32)(xf 在区间 上有零点_ ；1,2_， _,)(f)(f _0（或） (f 在区间 上有零点_；4,2 _0（或） )(ff（）观察下面函数 的图象)(xfy 在区间 上_(有/无)零点；,ba _0（或） )(ff 在区间 上_(有/无)零点；,c _0（或） )(bff 在区间 上_(有/无)零点；,dc _0（或） )(ff1，由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？区间端点函数值异号，那么在该区间上存在零点。
36、2，这个结论对不对？连续函数区间端点函数值异号，那么在该区间上存在零点。3，存在几个确定不？生：单调函数肯定存在一个，不单调一定存在奇数个。4，这个结论正确吗？不单调也可能存在偶数个零点5，端点值同号一定不存在零点吗？不一定6，存在零点端点值一定异号吗？不 一定从上面的问题中我们也可以看出零点存在性定理不能随意推广发散，遇到和定理不一样的描述一定认真判定其正确与否。例 1，求函数 f(x)= 的零点个数。32x例 2求函数 ，并画出它的大致图象3y例 3.（课本例 1）求函数 f(x)=lnx+2x-6 零点的个数，解法 1，课本给出的有零点存在性定理可知零点位于（2，3）又由于函数在定义域上
37、单调递增解法 2，函数 有零点 方程 有实数根 两个函数交点的横坐标)(xfy0)(xf总结：1，零点的定义；2，零点存在性定理。提升：涉及到哪些思想方法？等价转化思想。等价转化思想是无比重要的数学思想，俄罗斯著名数学家雅洁卡娅在什么是解题中说过这样一句话：解题就是把要解的题转化成已经解过的题，这句话体现了转化思想的重要性！3.1.2 用二分法求方程的近似解引入：小学课本上有这样的一个问题有一个整数位于 1 到 80，我现在就把这个数写在这张纸的背面，你可以问我形如这样的问题：这个数20 吗？我只会答是或不是，你如何找到这个数？生：这个数40 吗？不是。这个数20 吗？是，这个数30 吗？-可
38、以不断取中点从而确定这个数。下面我们用这个理念解决上节课的问题， （课本例 1）求函数 f(x)=lnx+2x-6 零点的个数，课本给出的有零点存在性定理可知零点位于（2，3） ，我想把这个零点的范围继续缩小，如何处理呢？我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。 取区间（2，3）的中点 2.5，用计算器算得 f(2.5)0.084,因为f(2.5)*f(3)0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点 2.75，用计算器算得 f(2.75)0.512,因为 f(2.75)*f(2.5)0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3） ， （2.5，3） ， （2
39、.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为 0.01 时， （解释：近似值和准确值之间的差距小于 0.01）由于2.53906252.53125=0.00781250.01，所以我们可以将该区间上任何一个值都可以作为函数 f(x)=x2x6 零点的近似值，即方程x2x6=0 近似值。这种求零点近似值的方法叫做二分法。为什么由a b 便可判断零点的近似值为【 a,b】中的任意值？设函数
40、零点为 x0，则 ax 0b，则：0x 0aba，abx 0b0；由于a b ，所以x 0 a ba ,x 0 b ab ,即 a 或 b 作为零点 x0的近似值都达到了给定的精确度。总结二分法的一般步骤例 2借助计算器用二分法求方程 2x3x7 的近似解（精确到 0.01）问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为 f(x),则原方程的解就是 f（x）的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解总结：二分法的作用原理和步骤。提升：二分法对于研究不可解的方程的根有重大意义。而且二分法可以计算机编程，通过程序，把函数和精度输入，就可以得到零点的近似值。 （必修 2 中继续学习）
