1、第 7 课时 课题：解斜三角形【教学目标】（1）掌握正余弦定理的应用；（2）掌握解三角形的题型。【教学重难点】理解并熟练掌握正余弦定理、应用题型【知识点归纳】一、正弦定理1、三角形面积公式：S= absinC= bcsinA= acsinB2122、正弦定理= = =2R（R 为 ABC 的外接圆的直径）AasinBbiCcsin3、 正弦定理的几种常见变形应用（1）asinB=bsinA，bsinC=csinB ，asinC= csinA；（2）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；（3）sinA= ，sinB= ，sinC= ；R2R（4）a：b：c=sinA：sinB ：
2、sinC【例题精讲】【例 1】已知 中， ，求 .ABC24,3,60bacCB,【练习】已知在 中， 求 （结果保留两位小数）.ABC,58,30acb、 BC【例 2】已知 中， ,外接圆半径 ,求ABC41S1R.abc【练习】已知 中， ,ABCCB222sin3isin,求1)co(3s2co.:cba【基础练习】1在ABC 中，已知 a=8， B=60，C=75，则 b= 。2已知在ABC 中，c=10 ， A=45，C=30 ，求 a、b 和 B。3在ABC 中，已知 a= ，b= ，B=45 ，求 A，C 和 c 的长。32二、余弦定理1、a =b +c 2bccosA， b
3、=c +a 2accosB， c =a +b 2abcosC2222、 余弦定理的变形公式cosA= ，cosB= ，cosC=cab22cab22abc22【例题精讲】【例 3】已知在 中， ，求ABC6,45,30B.CA、【练习】已知 中， ,且最大边长和最小边长恰好是方程 的两ABC06 0172x根，求第三边.【例 4】在 中， ，三条边长 ，求实数 的取值范ABC091,52cxbax围？【练习】钝角三角形的三边分别是 ，且最大内角不超过 ，求实数21a、 012的取值范围？a【例 5】已知 中， ，边 BC 上的中线 ，求边长ABC7,4bc27AD.a【练习】 （1）设 P 是
4、正方形 ABCD 内一点，点 P 到顶点 A、B、C 的距离分别是求正方形的面积？,37、（2）设 P 是正方形 ABCD 内一点， 求 的大小？,3:21:PCBAAPB【基础练习】1、在ABC 中，a =b +c +bc，则 A= 。222、在ABC 中，已知：a=2 ， b=2 ，C=15 ，求角 B 和边 c。3、已知ABC 中，a ：b：c=2： ：（ +1） ，求 ABC 各角的弧度数。63三、解三角形在实际问题中的应用1、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：2、利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：3、三角形的面积公式总结：4、三角形内切圆的半径：5、三角形
5、中的射影定理：6、两内角与其正弦值:7、三内角与三角函数值得关系：【例题精讲】【例 6】已知 是 内的一点，它到两边的距离分别是 2 和 11，求QMON,60ONOQ 的长？【练习】 （1）在 中，已知 分别是内角 A，B,C 所对的三边；ABCcba,求证： .)(21cos2sba（2）在 中，已知 和 ，求 （用 表示）.ABCB2ba,cba,【例 7】在三角形 ABC 中，若 ,试判断三角形BbacAacb2222 sin)(sin)( 的形状，并说明理由？【练习】判断下列三角形的形状：（1） ;tan2BAb（2） ；CBC222sinisi,co（3） ；1tanA（4) .0
6、)2cos(2Ab【例 8】已知在 中， ， ，BC=1 ，试证明：过边 BC 上的任意一点ABC0903AD，可以作出以 D 为顶点的内接正三角形（三顶点分别在三边上的正三角形） ，并求内接正三角形的周长的最小值？【练习】 （1）已知 中， ，求 的最大值?ABC8,)(22cbaSS(2)已知 中， ，求 的周长的最小值及面积的最大值？ABC06,4baABC【课后练习 1】1、隔河看两地 A 与 B 但不能到达，在岸边选取相距 千米 C、D 两点，测得ACB=75，3BCD=45，ADC=30，ADB=45 （A 、B 、C、D 在同一平面内） ，求两目标 A、B之间的距离。2、在山脚测
7、得山顶仰角CAB=45，沿坡度为 30的斜坡走 1 000m 至 D 点，又测得山顶仰角BDE=75，求山高 BC。3、在海岸处，发现北偏东 45方向，距离（ 1）海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处3北偏西 75方向，距离 A 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船。此时，走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【课后练习 2】1在ABC 中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，求 C。2已知，在ABC 中，满足 acosA=bcosB，试判定ABC 的形状。3要使 a，a+1，
8、a+2 为钝角三角形的三边，求 a 的取值范围。【拓展讲解】注意：正弦定理可以解决的两类问题：1已知两角和任一边，求其他的角和边2已知两边和其中一边的对角，求另一边和另一边的对角余弦定理可以解决的两类问题1已知三边，求三个角2已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角求三角形外接圆半径的常用方法1直角三角形2正弦定理解三角形常用关系式1三角形内角和等于 1802三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3三角形中大边对大角，小边对小角4两角和与差的三角比值在三角形中的变式 sin（A+B）=sinC，cos （A+B）=cosC，tan（A+B）=tanCsin =cos ，cos =si
9、n ，tan =cot2BAC2BAC2BAC【练习一】1在ABC 中，已知 a= ，b=4，A=30，则 B= 。342在ABC 中，c=6 ，b= ，A=60，则 S = 。ABC3在ABC 中，已知 AB=3，BC=5，AC=7 ，则 B= 。4在ABC 中，已知 BC=12，A=60，B=45，则 AC= 。5在ABC 中，已知 a=2 ，c=2，C=30 ，则 S = 。3ABC6在ABC 中，已知 b=3，c=3 ，B=30 ，则 a= 。7已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是 （ ）（A）a=20，b=28 ，A=40（B）a=18，b=20，A=150（C）b=20 ，c=3
10、4，B=70（D）b=60，c=50 ，B=458 在ABC 中，若 = = ，则ABC 是 （ ）AacosBbCcosA 直角三角形 （B）等边三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰直角三角形9 解下列三角形：（1）在ABC 中，a=2 ，A=30 ，B=45 ，求 b，S ；ABC（2）在ABC 中，a=2 ， B=45，S =3+ ，求 A，C，b，c3AB310如图所示，在ABC 中，AC=2，BC=1，cosC= 4（1）求 AB 的值； （2）求 sin（2A+C）的值11在ABC 中，求证： + + =2CBAsincosicBACsinco12 在某点 B 处测得古塔 AE 的
11、顶端 A 的仰角为 ，延 BE 方向前进 30 m 到达点 C，在C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ，继续前进 10 m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为34 ，求 的大小及塔高 AE【知识点归纳】1、三角形面积公式2、正弦定理及其扩充3、余弦定理【例题讲解】例 1、设 中， ， ，则 的值是 （ ）ABC3cos5in13BcosCA B 5656C D 或例 2、在 中，已知 ，求 的大B(sinsin)(sin)3sinACABCABC小。例 3、在 中， ，外接圆的半径 ，求 的周长。ABC3015ABCaS， 17RABC例 4、在 中，已知 ， ，求 a 与 c 的长。248ba
12、c， ，例 5、根据下列条件，确定三角形的形状:（1） ；cosab（2） 且 ；inAi2sin（3） ；t1B（4） 且 。332cab3i4B例 6、在 中，已知 ，求证: 为直角三角形。ACsin()otcACABC例 7、在与水平方向成 角的斜坡 上有一座塔 AD，从 B、C 测得塔的张角分别为BCD与 ，若 ，求塔高 AD。BCa ACB D例 8、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 的扇形 AOB 小区的两个出入口设置120在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD 已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6
13、分钟 若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米)。 ADO BC 回顾反思1、 主要方法：正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解；两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式；余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量；余弦定理还有很多地方的应用，如立体几何中求球面距离2、 易错、易漏点:三角形的内角和定理检验增根；特别注意一些有关的术语，如坡度、仰角、俯角、方位角 其中以特定基准方向为起点(一般为北方)，依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，两者所夹的角度称之
14、为方位角，方位角 的取值范围是 036课后练习1、在锐角三角形 中，若 ， ，则 t 的取值范围是 （ ABCtan1Attan1Bt）A B 2, (,)C D 1, 1,2、在 中， ， ， ，则 的范围是 （ B3Ab3ABCSsinsinabcABC）A B 831293C D 2673、在 中B（1） ，则 _；230acA， ， C（2） ，则 的取值范围是_。1，4、在 中ABC（1）若 ，则 的形状为_；cosabABC（2）若 ，则 的形状为_。insi5、两条笔直的公路相交成 角，两辆汽车 P、Q 同时从角的顶点出发，分别沿两条公路60行驶，已知汽车 P 的速度是每小时 4
15、8 千米 若要使这两辆汽车在出发 1 小时后相距 43千米，那么汽车 Q 的行驶速度应为 _千米/小时。6、在 中，已知 ，求此三角形最大ABC(sin):(sin):(sin)4:56BCAB角的大小。7、在 中，已知 ， 外接圆半径 R 为 ，求边 c。ABC16425ab， ABC28、已知边长为 a 的正方形 ABCD，点 P、Q 分别在 BC、CD 边上，且 ，求四45PAQ边形 APCQ 面积的最大值。 DQCA PB9、如图，某园林单位准备绿化一块直径为 的半圆形空地， 外的地方种草，BCBC的内接正方形 为一水池，其余的地方种花，若 ，设ABCPQRS a，的面积为 ，正方形的
16、面积为 。12（1） 用 表示 、 ； （2）当 a 固定， 变化时，求 取最小值时的角 。a、 1S12SB CQRSPA【附加题】1、等腰三角形的顶角的正弦为 ，则底角的正弦大小为_7252、在 中，若 ，则 的取值范围是_ABC2bac1sincoB3、锐角三角形中，若 ，则 c 的取值范围是_，4、在 中，若 ，确定 的形sinsiscosin2AABABC状。5、在 中， ， ， 内有一点 D，使 ，ABC23BCA180ACB且 2D问当 为何值时， 与 的面积之差有最大值? 求出这个最大值。D6、在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 ，求角 22()tan3acbBcB 的取值范围。
