1、1课时分层作业(十七) 单调性(建议用时：45 分钟)基础达标练一、填空题1在下列命题： 若 f(x)在( a， b)内是增函数，则对任意 x( a， b)都有 f( x)0；若在( a， b)内对任意 x 都有 f( x)0，则 f(x)在( a， b)内是增函数；若在( a， b)内 f(x)为单调函数，则 f( x)也为单调函数；若可导函数在( a， b)内有 f( x)0，则在( a， b)内有 f(x)0.其中正确的是_(填序号)【解析】 由函数的单调性以及与其导数的关系知正确【答案】 2函数 f(x)( x1)e x的单调递增区间是_. 【导学号：95902222】【解析】 f(
2、x)( x1)e x( x1)(e x) xex，令 f( x)0，解得 x0，所以 f(x)的单调递增区间是(0，)【答案】 (0，)3函数 f(x)ln(1 x) 的单调递增区间是_2xx 2【解析】 f( x) (1 x)11 x 2x x 2 2x x 2 x 2 2 .11 x 2 x 2 2x x 2 2 x2 x 1 x 2 2在定义域(1，)内， f( x)0 恒成立，所以函数的单调递增区间是(1，)【答案】 (1，)4. y x(k0)的单调减区间是_k2x【解析】 因为 y 1 ，所以 y0 x( k,0)或(0， k)k2x2 x2 k2x2【答案】 ( k,0)，(0，
3、 k)5使 ysin x ax 为 R 上的增函数的 a 的范围是_【解析】 ycos x a0， acos x， a1.【答案】 a(1，)26函数 f(x) x2sin x 在(0，)上的单调递增区间为_. 【导学号：95902223】【解析】 令 f( x)12cos x0，则 cos x ，又 x(0，)，解得12 x， 3所以函数在(0，)上的单调递增区间为 .( 3， )【答案】 ( 3， )7函数 f(x)2 x3 ax21( a 为常数)在区间(，0)和(2，)上都递增，且在区间(0,2)上递减，则 a_.【解析】 f( x)6 x22 ax.若函数 f(x)在(，0)，(2，
4、)上递增，(0,2)上递减，则 f( x)0 的解集是(，0)(2，)， f( x)0 的解集是(0,2)，0,2 是 f( x)0 的两根，解得 a6.【答案】 68已知函数 y f(x)， y g(x)的导函数的图象如图 335，那么 y f(x)， y g(x)的图象可能是_(填序号)图 335【解析】 由图象可获得如下信息：(1)函数 y f(x)与 y g(x)两个函数在 x x0处的导数相同，故两函数在 x x0处的切线平行或重合(2)通过导数的正负及大小可以知道函数 y f(x)和 y g(x)为增函数，且 y f(x)增长的越来越慢，而 y g(x)增长的越来越快综合以上信息可
5、以知道选.【答案】 二、解答题39求下列函数的单调区间：(1)f(x) x2e x xex；(2) f(x) ln x.12 1x【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(，)， f( x) xe x(e x xex) x(1e x)若 x0， f( x)0，则 1e x0， f( x)0；若 x0，则f( x)0. f(x)在(，)上为减函数，即 f(x)的单调减区间为(，)，无单调增区间(2)因为 f( x) ，1x2 1x x 1x2又 f(x)的定义域为(0，)，由 f( x)0 得 x1，由 f( x)0 及定义域得 0 x1， f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1
6、)10已知函数 f(x) x3 ax2 bx，且 f(1)0( a1)13(1)试用含 a 的代数式表示 b；(2)试确定函数 f(x)的单调区间. 【导学号：95902224】【解】 (1)依题意，得 f( x) x22 ax b，由 f(1)12 a b0，得b2 a1.(2)由(1)得 f(x) x3 ax2(2 a1) x，13 f( x) x22 ax2 a1( x1)( x2 a1)当 a1 时，12 a1，由 f( x)0 得增区间为(，12 a)，(1，)，由 f( x)0 得减区间为(12 a，1)当 a1 时，12 a1，由 f( x)0 得增区间为(，1)，(12 a，)
7、，由 f( x)0 得减区间为(1,12 a)能力提升练1 f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足 0.对任意f x xf xf2 x正数 a， b，若 a b，则 与 的大小关系是_af a bf b【解析】 设函数 y ，可得 y ，xf x f x xf xf2 x 0，f x xf xf2 x4函数 y 在(0，)上是减函数，对任意正数 a， b，若 a b，必有：xf x .af a bf b【答案】 af a bf b2若 f(x) x2 bln(x2)在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是12_【解析】 由题意可知， f( x) x 0 在 x(1，)上恒成立，bx
8、 2即 b x(x2)在 x(1，)上恒成立，由于 x1， b1.【答案】 (，13若函数 f(x)的定义域为 R， f( x)2 恒成立， f(1)2，则 f(x)2 x4 解集为_. 【导学号：95902225】【解析】 令 g(x) f(x)(2 x4)，要求 f(x)2 x4，就是求 g(x)0，g( x) f( x)20，所以函数 g(x)在 R 上单调递增，而 g(1) f(1)20，g(x)0 g(1)，即 x1，即不等式的解集为(1，)【答案】 (1，)4已知函数 f(x) ax2 bxln x， a， bR.(1)当 a b1 时，求曲线 y f(x)在 x1 处的切线方程；
9、(2)当 b2 a1 时，讨论函数 f(x)的单调性；【解】 (1)因为 a b1，所以 f(x) x2 xln x，从而 f( x)2 x1 .1x因为 f(1)0， f(1)2，所以曲线 y f(x)在 x1 处的切线方程为 y02( x1)，即 2x y20.(2)因为 b2 a1，所以 f(x) ax2(2 a1) xln x，从而 f( x)2 ax(2 a1) ， x0.1x 2ax2 2a 1 x 1x 2ax 1 x 1x当 a0 时，若 x(0,1)，则 f( x)0；若 x(1，)，则 f( x)0，所以 f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当 0 a 时，由 f( x)0 得 0 x1 或 x ；由 f( x)0 得 1 x ，所以12 12a 12af(x)在区间(0,1)和 上单调递增，在区间 上单调递减(12a， ) (1， 12a)5当 a 时，因为 f( x)0(当且仅当 x1 时取等号)，所以 f(x)在区间(0，)上12单调递增当 a 时，由 f( x)0 得 0 x 或 x1；由 f( x)0 得 x1，所以 f(x)12 12a 12a在区间 和(1，)上单调递增，在区间 上单调递减(0，12a) (12a， 1)
