1、14.1.2 极坐标系1了解极坐标系2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置3体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别基础初探1极坐标系(1)在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴(2)设 M 是平面上任一点， 表示 OM 的长度， 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角那么，每一个有序实数对( ， )确定一个点的位置 称为点 M 的极径， 称为点 M 的极角有序实数对( ， )称为点 M 的极坐标约定 0 时，极角 可取任意
2、角(3)如果( ， )是点 M 的极坐标，那么( ， 2 k)或( ， (2 k1)(kZ)都可以看成点 M 的极坐标2极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图 413 所示)，平面内任一点 M 的直角坐标( x， y)与极坐标( ， )可以互化，公式是：Error!或Error!图 413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取 0,0 2.思考探究1建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位2和它的正方向，四者缺一不可2为什么点的极坐标不
3、惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2 的整数倍，所以点( ， )还可以写成( ， 2 k)( kZ)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点( ， )的坐标还可以写成( ， 2 k)( kZ)3将直角坐标化为极坐标时如何确定 和 的值？【提示】 由 2 x2 y2求 时， 不取负值；由 tan (x0)确定 时，根yx据点( x， y)所在的象限取得最小正角当 x0 时， 角才能由 tan 按上述方法确yx定当 x0 时，tan 没有意义，这时又分三种情况： (1)当 x0， y0 时， 可取任何值；(2)当 x0， y0 时，可取
4、 ；(3)当 x0， y0 时，可取 . 2 32质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_极坐标系中点的坐标写出图 414 中 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G 各点的极坐标 ( 0,0 2)3图 414【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为 A ， B ， C ， D ， E ， F(3，)， G .(7， 6) (4， 34) (5， 76) (6， 74) (9， 0) (9， 32)再练一题1已知边长为 a 的正六边形 ABCDEF，建立适当的极坐标系，写
5、出各点的极坐标【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心 O 为极点， OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系由正六边形性质得：C(a,0)， D(a， )， E(a， )， F(a，)， A(a， )， B(a， ) 3 23 43 53或 C(a,0)， D(a， )， 3E(a， )， F(a，)， A(a， )， B(a， ).23 23 3极坐标的对称性在极坐标系中，求与点 M(3， )关于极轴所在的直线对称的点的极坐标 3【自主解答】 极坐标系中点 M( ， )关于极轴对称的点的极坐标为M( ，2 k )(kZ)，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2 k )(kZ)
6、3再练一题42在极坐标系中，点 A 的极坐标为 (限定 0，0 2)(3， 6)(1)点 A 关于极轴对称的点的极坐标是_；(2)点 A 关于极点对称的点的极坐标是_(3)点 A 关于直线 对称的点的极坐标是_ 2【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3， ) (2)(3， ) (3)(3， )116 76 56极坐标与直角坐标的互化(1) 把点 M 的极坐标 化成直角坐标；(8，23)(2)把点 P 的直角坐标( ， )化成极坐标( 0，0 2)6 2【自主解答】 (1) x8cos 4， y8sin 4 ，因此，点 M 的直角坐标是23 23 3(4,4 )3(2) 2 ， 6
7、2 2 2 2tan ， 26 33又因为点 P 在第四象限且 0 2，得 .因此，点 P 的极坐标为(2 ，116 2)116再练一题3(1)把点 A 的极坐标(2， )化成直角坐标；76(2)把点 P 的直角坐标(1， )化成极坐标( 0,0 2)3【解】 (1) x2cos ，76 3y2sin 1，76故点 A 的直角坐标为( ，1)3(2) 2， tan .12 3 2 31 35又因为点 P 在第四象限且 0 2，得 .53因此点 P 的极坐标是(2， )53极坐标系的应用在极坐标系中，已知 A ， B ，求 A、 B 两点之间的距离(3， 3) (1， 23)【思路探究】 将点的
8、极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解【自主解答】 对于 A(3， )， 3x3cos( ) ； y3sin( ) ， 3 32 3 332 A( ， )32 332对于 B(1， )， x1cos ， y1sin ， B( ， )23 23 12 23 32 12 32 AB 4， 32 12 2 332 32 2 4 12 A、 B 两点之间的距离为 4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了再练一题4在极坐标系中，
9、已知三点： A(4,0)、 B 、 C .(4，32) ( ， 6)(1)求直线 AB 与极轴所成的角；(2)若 A、 B、 C 三点在一条直线上，求 的值【解】 (1)点 A 的直角坐标为(4,0)，点 B 的直角坐标为(0，4)，直线 AB 在直角坐标系中的方程为 x y4.故直线 AB 与 x 轴所成角为 . 4(2)点 C 的直角坐标为 ，(32 ， 12 )代入直线方程得6 4，32 12解得 4( 1)83 1 3真题链接赏析(教材第 17 页习题 4.1 第 6 题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：， ， ，(5，)， ，(2， 4) (6， 3) ( 2， 116 ) (4，
10、32).( 42，34)已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标(1)A(3， )；(2) B(2，2 )；3 3(3)C(0，2)；(4) D(3,0)【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题【解】 (1)由题意可知： 2 ，tan ，所以 ，32 3 2 333 6所以点 A 的极坐标为(2 ， )3 6(2) 4，tan ，又由于 为第三象限角， 2 2 23 2 23 2 3故 ，所以 B 点的极坐标为(4， )43 43(3) 2. 为 ， 在 y 轴负半轴上，所以点 C 的极坐标为(2，02 2 232)32(4) 3，tan 0，故 0.32 0203所以 D 点
11、的极坐标为(3,0)1点 P(2,2)的极坐标( 0,2)为_【解析】 由 2 ，x2 y2 2 2 22 2tan 1，2 2 P 点在第二象限内，7 ，34 的极坐标为(2 ， )234【答案】 (2 ， )2342在极坐标系中，与( ， )关于极轴对称的点是_【导学号：98990004】【解析】 极径为 ，极角为 ， 关于极轴对称的角为负角 ，故所求的点为( ， )【答案】 ( ， )3将极坐标 化为直角坐标为_(2，32)【解析】 x cos 2cos 0， y sin 2sin 2，32 32故直角坐标为(0，2)【答案】 (0，2)4已知 A， B 的极坐标分别是 和 ，则 A 和 B 之间的距离等于(3， 4) ( 3， 12)_【解析】 由余弦定理得AB 12 22 2 1 2cos 1 2 32 3 2 23 3 cos 4 12 9 9 93 18 93 .36 322【答案】 36 322我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
