1、- 1 -鹤岗一中 20172018 学年度下学期期末考试高一数学（文科）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，且 ， （）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】A【解析】【详解】分析：如果 ，则 或者 与 异面；如果 ，则 或者 ，故 C、D 都是错误的. 如果 ，则 或者 与 异面或者 与 相交，排除 B.详解：如图，在正方体 中，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，但 ，故 B 错.另外， 平面 ， 平面 ，但是平面 平面 ，故 C
2、错.又平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，但是 与是异面的，故 错.根据面面垂直的判定定理可知 A 正确.综上，选 A.- 2 -，点睛：通常在正方体模型中选择合适的点、线、面进行不同位置关系的判断.2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为 1 的半圆，高为 2，因此表面积为,选 D.视频3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. B. C. D. - 3 -【答案】D【解析】原平面图形是直角梯形,高为 2,上底为 1,下底为
3、 , 面积是 ,选 D.4. 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：体积最大的球是其内切球，即球半径为 1，所以表面积为 .考点：球的表面积.5. 用与球心距离为 的平面去截球所得的截面面积为 ，则球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：截面面积 球的半径 球的表面积，故选 C.考点：球的结构特征.6. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么圆柱的体积等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：圆柱的轴截面为正方形，故圆柱的底面直径等于高即 h=2r，又圆柱的侧
4、面积为, ,r=1,h=2,圆柱的体积等于 ，故选 B考点：本题考查了圆柱的性质点评：熟练掌握圆柱的定义及性质是解决此类问题的关键7. 已知两异面直线 ， 所成的角为 80，过空间一点 作直线，使得 与 ， 的夹角均为50，那么这样的直线有（）条A. 1 B. 2 C. 3 D. 4- 4 -【答案】C【解析】【详解】分析：如图所示，把 平移到点 处，则与 所成的角都为 的直线有 3 条.详解：过 作与 平行的直线 ，如图， ， 直线 过点 且 ，这样的直线有两条.又 ，直线 为 的平分线，则 ，综上，满足条件的直线的条数为 3.点睛：一般地，如果两条异面直线所成的角为 ，过空间一点 作直线
5、与 所成的均为 ， 即直线 的条数为 ，则（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；（3）若 ，则 ；（4）若 ，则 ；（5）若 ，则（6）若 ，则 .8. 已知圆锥的母线长为 ，圆锥的侧面展开图如图所示，且 ，上只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A.则蚂蚁爬行的最短路程长为（）- 5 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：在侧面展开图中， 的长度为蚂蚁在圆锥表面爬行的最短路程.详解：在侧面展开图中，蚂蚁从 在圆锥表面爬行一周又回到 的最短路程就是 的长度，因 ， ，故 ，故选 B.点睛：空间几何体的表面路径最短问题，需要展开几何体的表面，把空间中的
6、最值问题转化为平面上两点之间的距离问题.9. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A. 1：2：3 B. 1：3：5 C. 1：2：4 D. 1：3：9【答案】B【解析】如图，令 ， ，由侧面积公式 ，得分成三个圆锤的侧面积 ，则分成的三部分面积比为 ，故选 B。10. 如图，正四棱锥 的所有棱长相等， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）A. B. C. D. - 6 -【答案】D【解析】试题分析：由于正四棱锥 的所有棱长相等，设为 2，BE= ,EO=1，OB= ,E 为 PC 的中点，那么可知连接 AC,BD 的交点 O，则将 B
7、E 平移到 PA,则在三角形 EOB 中，利用三边长度可知异面直线 BE 与 PA 所成角的余弦值是 ，故选 D.考点：异面直线所成的角的求解点评：求解异面直线的所成的角，一般采用平移法，放在一个三角形中来求解运算，属于基础题。11. 如图，正方体的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ；则下列结论错误的是（）.A. B. C. 三棱锥 的体积为定值 D. 的面积与 的面积相等【答案】D【解析】【详解】分析：在正方体中，点 到 的距离为 ，而 到 的距离为 ，因此可以判断D 是错误的.详解：在正方体 中， 平面 ，而 平面 ，故 ，故 A 正确.又 平面 ，因此 平面 ，故 B 正确.当 变化
8、时，三角形 的面积不变，点 到平面 的距离就是 到平面 的距离，它是一个定值，故三棱锥 的体积为定值（此时可看成三棱锥 的体积） ，故 C正确. - 7 -在正方体中，点 到 的距离为 ，而 到 的距离为 ， D 是错误的.综上，选 D.点睛：在三棱锥的体积的计算过程中，我们要选择合适的顶点和底面，使得顶点到底面的距离容易求得.12. 三棱锥 的四个顶点都在体积为 的球的表面上，底面 所在的小圆面积为 ，则该三棱锥的高的最大值为（）A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9【答案】C【解析】设球的半径为 R，由球的体积公式得： 4/3R 3= 500/3，R=5。又设小圆半径为 r，则 r 2
9、=16，r=4显然，当三棱锥的高过球心 O 时，取得最大值；由 OO12= 52-42，得 OO1=3，所以高 PO1=PO+OO1=5+3=8。故选 C。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上）13. 若 则 两点间的距离为_.【答案】5【解析】【详解】分析：利用空间中两点之间的距离计算.详解： ，故填 .点睛：一般地，空间中两点 之间的距离为.14. 如图，三棱柱 的体积为 ，四棱锥 的体积为 则 _- 8 -【答案】【解析】试题分析：不妨设三棱柱是正三棱柱，设地面边长 a 和侧棱长 h 均为 1，则 ，,.考点：几何体的体积.15. 如图所示
10、，图中阴影部分绕 旋转一周所形成的几何体的体积为_.【答案】【解析】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为，半球的体积 ，则所求体积为 故本题答案为 16. 已知球面上有四点 满足 两两垂直， ，则该球的表面积是_.【答案】【解析】【详解】分析：因 两两垂直，故球是以 为长、宽、高的长方体的外接球，而外接球的半径就是长方体的体对角线，故可得球的表面积.详解：以 为长、宽、高构建长方体，则过 的外接球就是该长方体的外接- 9 -球，长方体的体对角线就是球的直径且为 ，故球的表面积为，故填 .点睛：几何体的外接球的表面积或体积的计算，关键在于球的半径的确定，如果球心的位
11、置可以确定，则可把半径置于可解的平面图形中即可；如果球心无法确定，则可通过补体把球看成是规则几何体的外接球，从而求出球的半径.三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，18 题22 题每小题 12 分，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 几何体的三视图如图:求这个几何体的表面积和体积【答案】【解析】【详解】分析：根据三视图还原几何体即可.详解：由已知的三视图可得:该几何体是正棱柱，底面是一个边长为 的等边三角形，故底面面积为 ，底面周长为 ，棱柱的高 ，故棱柱的表面积 ；体积 .点睛：本题考察三视图，要求从三视图还原几何体，注意还原前后点、线、面的对应
12、的关系.18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，过 的平面分别与交于点 .- 10 -（1）求证: 平面（2）求证:【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）由 平面 可得 ，结合 可证 平面 .（2）先由 证明 平面 ，从而得到 ，故 .详解：（1）证明:在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， ， ， ， 平面 .（2） ，过 的平面分别与 交于点 ，故平面 平面又 平面 ， 平面 ， 平面 ，而 平面 ， 点睛： （1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意
13、其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.19. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，且侧面 平面 ，点是 的中点- 11 -（1）求证:（2）若 ，求证:平面 平面【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）可根据 为等腰三角形得到 ，再根据平面 平面可以得到 平面 ，故 .（2）因 及 是中点，从而有 ，再根据 平面 得到 ，从而 平面 ，故平面 平面 .详解：（1）证明:因为 ，点 是棱 的中点，所以 ， 平面 .因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以
14、.（2）证明:因为 ，点 是 的中点，所以 .由（1）可得 ，又因为 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面点睛：线线垂直的证明，可归结为线面垂直，也可以转化到平面中的某两条直线的垂直问题，而面面垂直的证明，可转化为线面垂直问题，也转化为证明二面角为直二面角.20. 如图，直三棱柱 的底面是边长为 2 的正三角形， 分别是 的中点（1）证明:平面 平面（2）若直线 与平面 所成的角为 45，求点 到面 的距离【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【详解】分析：（1）可通过证明 平面 得到要求证的面面垂直.- 12 -（2）设 的中点为 ，连接 ，可证 ，利用 可得 ，从而 ，利用等积法
15、可求 到平面 的距离.详解：（1）如图，因为三棱柱 是直三棱柱，所以 ，又 是正三角形 的边 的中点，所以 ，因此 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .（2）设 的中点为 ，连接 ，因为 是正三角形，所以 ， ，又三棱柱 是直三棱柱，所以 ，而 ，因此 平面 ，于是 直线 与平面 所成的角.由题设知 ，所以 .在 中， ，所以 .由（1）知 为直角三角形，且 ，故 ，又 ，所以 .点睛：面面垂直，可转化为线面垂直问题，也转化为证明二面角为直二面角.点到平面- 13 -的距离，可以利用题设中已有的线面垂直计算，也可以利用面面垂直构建线面垂直，还可以利用等积法来计算.21. 如图，在直四棱柱 中
16、，底面 是边长为 2 的正方形， 分别为线段的中点（1）求证: |平面（2）四棱柱 的外接球的表面积为 ，求异面直线 与 所成的角的大小【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接 BD1，由中位线定理证明 EFD 1B，由线面平行的判定定理证明 EF平面 ABC1D1；（2）由（1）和异面直线所成角的定义，得异面直线 EF 与 BC 所成的角是D 1BC，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱 AA1的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出 BCCD 1，在 RTCC 1D1中求出 tanD 1BC，求出D 1BC 可得答案试题解析：（1）连接 ，
17、在 中， 分别为线段 的中点， 为中位线， ，而 面 ， 面 ， 平面 .（2）由（1）知 ，故 即为异面直线 与 所成的角.四棱柱 的外接球的表面积为 ，- 14 -四棱柱 的外接球的半径 ，设 ，则 ，解得 ，在直四棱柱 中， 平面 ， 平面 ， ，在 中， ， ，异面直线 与 所成的角为 .22. 如图 1，在直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点，是 与 的交点，将 沿 折起到图 2 中 的位置，得到四棱锥图 1 图 2（1）证明: 平面（2）当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求的值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）运用 是 中点，判断得出 面 ，考虑 ，即可
18、判断面 ；（2）运用好折叠之前与之后的图形得出 是四棱锥 的高，平行四边形 的面积 ，运用体积公式，即可求出 的值试题解析：（1）证明：在图（1）中，因为 ， ，是 中点， ，所以 ，且 ，所以在图（2）中， ， ，又 平面 ， ，- 15 -所以 平面 （2）解：由题意，可知平面 平面 ，且平面 平面 ，又由（1）可得 ，所以 平面 ，即 是四棱锥 的高，由图（1）知， ， ，所以四棱锥 的体积 ，由 ，得 考点：平面与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质、四棱锥的体积的计算，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征、棱锥的体积公式的应用、直线与平面垂直的判定定理与性质定理等知识点综合考查，着重考查了转化与化归思想和空间想象能力，同时熟练应用图形折叠前、后的关系是解答的关键，属于基础题
