1、- 1 -牡一中 2017 级高二学年下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题 5 分共 60 分）1、若复数 （aR，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 62、用数学归纳法证明 （ ）的过程中，2(1)2(3)(1)nn *nN从 到 时，左边需增加的代数式是 ( )nkA.3k1 B. 9 k C. 3k1 D.8 k3、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 有有理根，那么20()axbca中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ),abcA假设 都是偶数 B假设 都不是偶数, ,C假设 至多有一个偶数 D假设 至多有两个偶数abc
2、4、已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ） X2(3,)N(5)0.8PX(13)PXA 0.8 B 0.2 C 0.1 D 0.3 5、一张储蓄卡的密码是 6 位数字，每位数字都可从 0-9 中任选一个，某人在自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字，如果他记得最后一位是偶数，则他不超过两次就按对的概率为（ ）A. B. C. D. 132325156、从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有（ ）种不同的选法A.10 种 B. 20 种 C. 25 种 D. 30 种7、过点 作曲线 的切线，则切线方程为（ ）(2,6)P3()fxA 或 B 或 30xy450y0xy245
3、0xyC 或 D x8、从甲袋内摸出 1 个红球的概率是 ，从乙袋内摸出 1 个红球的概率是 ，从两袋内各摸出13 121 个球，则 等于( ) 23A2 个球不都是红球的概率 B2 个球都是红球的概率- 2 -C至少有 1 个红球的概率 D2 个球中恰好有 1 个红球的概率9、将 4 个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种A7 B10 C14 D2010、已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为（ 2()(1)2()xxfmeRm）A B C D 1(,)e(1,0)e1(,)e1(,
4、)e11、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）. A34 种 B48 种 C96 种 D144 种12、已知函数 （aR） ，若函数 恰有 5 个不同的零点，1,0()3xefa()2yfx则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. a(,),0,1(,)二、填空题（每小题 5 分共 20 分）13、 的展开式中 的系数为 （用数字填写答案）2xy3xy14、设随机变量 的分布列为 ， 0，1，2， ，且()Pk2C()3knnn，则 _()24E)D15、空间 12 个点,其中 5 个点共面,此外无任何 4 个点共面,这 12 个点可确定
5、个不同的平面16、对任意 ，都存在 ，使得21,me1212,(,)xRx，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是 12lnxxaeea三、解答题17、 （本小题满分 10 分）某超强台风登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52 亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：- 3 -经济损失4000 元以下经济损失4000 元以上合计捐款超过 500 元 30捐款低于 500 元 6合计台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 以上的
6、把握认为捐款数额是否多于或少于 50095%元和自身经济损失是否到 4000 元有关？附：临界值表 0k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820()PK0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001参考公式： ， .22()(nadbcnabcd18、 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，以 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐XOY- 4 -标系，圆 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 为C2cos()4l (12xtty参数 ，直线 与圆 交于 两点， 是圆 上不同于 的任意一点)l,ABPC,AB(1)
7、求圆心的极坐标； (2)求 面积的最大值P19、 （本小题满分 12 分）已知函数 ，若 恒成立，求实数 的最大()lnfxe()fxaa值。20、 （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 .32()afxxb,aR（）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式.()yfx2,Pf 4y()fx（）讨论函数 的单调性.21、 （本小题满分 12 分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一10个装有 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获42的奖励额. - 5 -（1）若袋中所装的 个球中有 个所标的面值为 元，其余
8、 个均为 元，求顾客所4150310获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是 元，并规定袋中的 个球只能由标有面值为 元604和 元的两种球组成，或标有面值 元和 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额5024尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 22、 （本小题满分 12 分）已知函数 ，1()lnafxx(sin1)2)()axgaR（1）求函数 的极小值()fx（2）求证：当 时，1a()fxg- 6 -数学答案DDBDC BACBA CA40 8 211 2(,)e17 解：（1）表略 .2250
9、3695)4.063811K所以有 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元95%有关.18 解:(1)圆心极坐标为 .(2)最大面积 Smax .7(2,)4125103919 解（）325() 4fxx（）当 时，,函数 在区间 及 上为增函数，在区间 上为02a2(,)a2(1,)a减函数；当 时， ，函数 在区间 上 为 增函数； 当 时， ，函数 在区间 及 上为增函数，在区间 上为减函数.当2a2(,)a2(,1)a时，函数 在区间 及 上为减函数，在区间 上为增函数.0当 时， 为增函数， 为减函数(,1)20、 的最大值为 2a21、解
10、：（1） 设顾客获得的奖励额为 ， 随机变量 的可能取值为 .X20,6，. 2 分1324(60)CPX2341(0)CP得 的分布列如下： X260P112所以顾客所获的奖励额的期望 4 分()20640.EX- 7 -(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 元.所以，先寻找期望为6016060 元的可能方案：当球的面值为 元和 元时，若选择 方案，因为 元是面值之和的最大105(,5)值，所以期望不可能为 ；若选择 方案，因为 元是面值之和的最小值，60160所以期望也不可能是 .因此可能的方案是 ，记为方案 .(,)1当球的面值为 元和 元时，同理可排除 、 的方案，所2042,
11、4(,4,2)以可能的方案是 ，记为方案 . 6 分(,)以下是对两个方案的分析：对于方案 ，即方案 ，设顾客所获的奖励额为 ， 的可能取值为1(0,15) 1X.20,6214)6CPX， 1214(0)3CPX， 2141(0)6CP的期望为11()0+6.3E的方差为 8 分1X22211160()6)(0)(0).3D对于方案 ，即方案 ，设顾客所获得奖励额为 ， 的可能取值为20,4, 2X. 的期望为40,6822121()60+860.3EX的方差为 10 分2X2222 4()406)()().3D由于两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案 奖励额的方差要比方案 的小，所以应1
12、该选择方案 .即标有面值 元和面值 元的球各两个. 1240分22、解：（1）当 时，即 时， ，函数 在 上单调递增，无极小值；当 时，即 时， ，函数 在 上单调递减；- 8 -，函数 在 上单调递增；，综上所述，当 时， 无极小值；当 时，（2）令当 时，要证： ，即证 ,即证 ，要证 ，即证 .当 时，令 ， ，所以 在 单调递增，故 ，即 .，令 ， ，当 ， 在 单调递减； ， 在 单调递增，故 ，即 .当且仅当 时取等号又 ，由 、 可知所以当 时，当 时，即证 .令 ， ， 在 上单调递减，在上单调递增， ，故当 时，当 时， ，由知 ，而 ，故 ；当 时， ，由知 ，故 ；所以，当 时， .综上可知，当 时， .- 9 -
