1、- 1 -哈尔滨市第六中学 2018-2019 学年度上学期期末考试高二理科数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.命题“任意实数 ,都有 ”的否定是（ ）A. 对任意实数 ,都有 B. 不存在实数 ,使C. 对任意非实数 ,都有 D. 存在实数 ,使【答案】D【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意实数 x，都有 ”的否定是：“存在实数 ,使 ”故选： D【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系2.已知复数 ，则 的共轭复数的
2、虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出【详解】复数 Z ，则 的共轭复数的虚部为 故选： B【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题:若 ，则 ； 若 ， ，则 ；- 2 -若 ，则 ； 若 ，则 ；则真命题为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系逐一判断即可【详解】若 n，则 内的直线 m 可能与 n 平行，也可能与 n 异面，故错误； m，过 m 的平面与 交于 n，则 m n，
3、m， n， n，故正确；因为若 ， m，则 m 与 的位置关系不确定，故 m 与 可能相交，可能平行，也可能是 m，故错误；以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故错误故选： C【点睛】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，线面平行的性质，注意考虑特殊情况4.若 的展开式中各项系数和为 64，则其展开式中含 项的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意令 x1，则 2n64，解得 n，再利用通项公式即可得出【详解】由题意令 x1，则 2n64，解得 n6 的通项公式为： Tr+1 （3 x） 6 r （1）
4、r 36 r ，令 6 -2，解得 r4含 项的系数为 32135故选： C【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题- 3 -5.已知复数 ，若复数 对应的点在复平面内位于第四象限，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于 0，虚部小于 0，求得答案【详解】 z 2a+（1 a） i，若复数 z 对应的点在复平面内位于第四象限，则 ，解得： a1，故选： B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题6.哈尔滨市冰雪
5、节期间，5 名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有（ ）种.A. 90 B. 60 C. 150 D. 125【答案】A【解析】【分析】把 5 名游客分为三组，其中两组是 2 人，一组是一人，然后全排即可.【详解】第一步：把 5 名游客分为三组，其中两组是 2 人，一组是一人，共 种;第二步：把三组进行全排列，共有 种，不同的游览方法有 15690 种故选：A【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免- 4 -计数的重复或遗漏7.如图，在三棱
6、锥 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， 若是棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以 C 为原点， CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴， CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 A1E 与 所成角的余弦值【详解】以 C 为原点， CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴， CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系，在三棱柱 ABC A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， AB4， AA16，E， F 分别是棱 BB1， CC1上的点，且 BE
7、B1E， A1（4，0，6） ， E（2，2 ，3） ， A（4，0，0） ，（2，2 ，3） ， （-4，0，6） ，设异面直线 与 所成角所成角为 ，则 cos 异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值为 故选： A- 5 -【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.8.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 值为（ ）A. B. C. D
8、. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得n6， S1， i1- 6 -执行循环体， S7， i2不满足条件 i6，执行循环体， S ， i3不满足条件 i6，执行循环体， S ， i4不满足条件 i6，执行循环体， S ， i5不满足条件 i6，执行循环体， S ， i6不满足条件 i6，执行循环体， S ， i7满足条件 i6，退出循环，输出 S 的值为 故选： B【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一
9、定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。甲说：“是丙或丁打碎的。 ”乙说：“是丁打碎的。 ”丙说：“我没有打碎玻璃。 ”丁说：“不是我打碎的。 ”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃。A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D【解析】【分析】假设其中一个人
10、说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题- 7 -10.已知甲乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待.已知甲、乙两车装货物需要的时间都为 20 分钟，倘若甲、乙两车都在某 1 小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解
11、析】【分析】设现在时间是 0，甲乙到场的时间分别是 x y，那么就会有 0 x60，0 y60，| x y|如果小于 20，就是等待事件，否则不用等待了由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率【详解】设现在时间是 0，甲乙到场的时间分别是 x y，那么就会有：0 x60，0 y60，|x y|如果小于 20，就是等待事件，否则不用等待了画出来坐标轴如下图两条斜直线见的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，至少有一辆车需要等待装货物的概率：p - 8 -故选：A【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的
12、几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.11.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有 10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为 ，每名同学有 2 次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得 10 分，踢进一个得 5 分，一个未进得 0 分，记 为 10 个同学的得分总和，则 的数学期望为（ ）
13、A. 30 B. 40 C. 60 D. 80【答案】C【解析】由题意每个学生的得分服从二项分布 ，其中 ，所以由二项分布的数学期望公式可得每个学生 的数学期望为 ，因此 10 个同学的的数学期望是 ，应选答案 C。12.吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命。据统计一小时内吸烟 5 支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟 10 支诱发脑血管病的概率为 0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟 5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟 5 支不诱发脑血管病的概率为（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】A- 9 -【解析】【分析】直接利用条件概率公式计算出该事件的概率【详解】记事件
14、A：某公司职员一小时内吸烟 5 支未诱发脑血管病，记事件 B：某公司职员一小时内吸烟 10 支未诱发脑血管病，则事件 B|A：某公司职员在某一小时内吸烟 5 支未诱发脑血管病，在这一小时内还能继吸烟5 支不诱发脑血管病，则 BA， AB A B B，P（ A）10.020.98， P（ B）10.160.84，因此， P（ B|A） ，故选： A【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求 P(A)和P(AB)，再由 P(B|A) ,求 P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件
15、数 n(AB)，得 P(B|A) .二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在机读卡上相应的位置13.已知随机变量 服从正态分布 ,且 ，则 _【答案】0.2【解析】【分析】根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（0 X1） 【详解】随机变量 服从正态分布 N（1， o2） ，正态曲线的对称轴是 x1 P（ X2）0.7， P（1 X2）0.7-0.5=0.2， P（0 X1） P（1 X2）0.2，故答案为：0.2【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用- 10 -等基础知识，属于基础题14.
16、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体，结合图中数据求出它的体积【详解】根据几何体的三视图，还原该几何体，过 A，B 两点在平面 ABCD 内分别引 AGCD于 G,BHCD 于 H,则该几何体的体积为，故答案为：【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是
17、补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.- 11 -（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.15.从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.用频率分布直方图估计的小学生的身高的平均值为_ 【答案】124.5【解析】【分析】根据频率分布直方图，计算身高的平均值【详解】因为直方图中的各个矩形的面积之和为 1，所以有 10（0.005+0.035+ a+0.020+0.010）1，解得 a0.030；根据频率分布直方图，计算平
18、均数为1050.05+1150.35+1250.3+1350.2+1450.1124.5 cm故答案为：124.5 cm【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了平均数的计算问题，是基础题目16.已知一个圆柱内接于半径为 4 的球，点 为圆柱上底面圆周上一动点， 是圆柱下底面圆的内接三角形， ，则三棱锥 体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】设圆柱高为 h，底面圆的半径为 r，在三角形 ABC 中利用正弦定理可得 ，再由勾股定理可得： ，解得 ，利用余弦定理 ,得到 表示体积即可得到最大值.【详解】设圆柱高为 h，底面圆的半径为 r， ，- 12 -由勾股定理可得： ，解得 ，由余弦
19、定理 ,可得： ，即当且仅当 时等号成立三棱锥 体积三棱锥 体积的最大值为【点睛】本题考查了圆柱与球的组合体问题，考查了正余弦定理，考查了重要不等式，考查了空间想象能力，属于中档题.三、解答题.17.已知直三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ，且 ，分别为 ， ， 的中点（1）求证：直线 平面 ；（2）求 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面 ABC 里面找到一条直线与 DE 平行即可，过 DE 构造平行四边形，使其与平面 ABC 相交，则可得 DE 与交线平行，所以进一步可得DE平面 ABC；(2) 以点 A
20、 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系 O xyz，求出直线 的方向向量，平面的法向量，代入公式，即可得到结果.- 13 -【详解】 （1）设 AB 的中点为 G，连接 DG， CG，则 ，四边形 DGCE 为平行四边形， DE GC，又 DEBC ， GCBC DE平面 ABC（2）以点 A 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 ，则 , ,，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则 .设 与平面 所成的角为 ，所以【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关
21、” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知某校 6 个学生的数学和物理成绩如下表：学生的编号 1 2 3 4 5 6数学 89 87 79 81 78 90物理 79 75 77 73 72 74（1）若在本次考试中，规定数学在 80 分以上（包括 80 分）且物理在 75 分以上（包括 75分）的学生为理科小能手.从这 6 个学生中抽出 2 个学生，设 表示理科小能手的人数，求- 14 -的分布列和数学期望；（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用 表示数学成绩，用 表示物理成绩，求 与 的回归方程.参考数据
22、和公式： ，其中 ， .【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意得 1 号学生、2 号学生为理科小能手,从而得到 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望；（2）利用最小二乘法分别求出 ， ，由此能求出 y 与 x 的回归直线方程【详解】 （1）由题意得 1 号学生、2 号学生为理科小能手.的可能取值为：0,1,2P（ X0） ，P（ X1） ，P（ X2） ，的分布列为0 1 2（2） ，- 15 -xiyi37828， xi242476， （ 6 ）（ ），75 84 ，回归方程为【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望
23、的求法，考查回归直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意最小二乘法的合理运用19.在某单位的职工食堂中，食堂每天以 元/个的价格从面包店购进面包，然后以 元/个的价格出售如果当天卖不完，剩下的面包以 元/个的价格全部卖给饲料加工厂根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示食堂某天购进了 80 个面包，以 （单位：个， ）表示面包的需求量， （单位：元）表示利润（1）求 关于 的函数解析式；（2）根据直方图估计利润 不少于 元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若
24、需求量 ，则取 ，且的概率等于需求量落入 的频率)，求 的分布列和数学期望【答案】 （） ;（）见解析.【解析】试题分析：（）由题意，当 时，利润 ，当 时，利润 ，- 16 -即可得到利润的表达式.（）由题意，设利润 不少于 100 元为事件 ，由（）知和直方图可知，即可求解概率.（III）由题意，由于 ， ， ，可得利润 的取值，求得各个取值的概率，即可列出分布列，求得数学期望.试题解析：（）由题意，当 时，利润 ，当 时，利润 ，即（）由题意，设利润 不少于 100 元为事件 ，由（）知，利润 不少于 100 元时，即， ，即 ，由直方图可知，当 时，所求概率：（III）由题意，由于 ，
25、 ，故利润 的取值可为： ， ， ， ，且 ， ， ， ， 故 的分布列为：利润的数学期望 20.如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ， 是 上的一点.（1）求证：平面 平面 ；- 17 -（2）若 是 的中点， ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明 AC PC， AC BC，得到 AC平面 PBC，然后证明平面 EAC平面 PBC（2）以 C 为原点，建立空间直角坐标系，求出面 PAC 的法向量面 EAC 的法向量，然后求解二面角的余弦函数值【详解】 （1）证明： PC平面 ABCD， AC平面 ABC
26、D， AC PC， AB2， AD CD1， ， AC2+BC2 AB2， AC BC，又 BC PC C， AC平面 PBC， AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC（2）以 C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 C（0，0，0） ， A（1，1，0） ， B（1，1，0） ，设 P（0，0， a） （ a0） ，则 E（ ， ， ） ， （1，1，0） ， （0，0， a） （ a0） ，（ ， ， ） ， （1，1， a） ，设 （ x， y， z）为平面 PAC 的法向量，则 ，可取 （1，1，0）同理平面 EAC 的法向量 （ a， a，2） ，依题意，设直线 PA 与平面
27、 EAC 所成角为 ，则 sin|cos ， | ，解得 a2，或 a1（舍去，此时不满足 ） ， （2，2，2） ，- 18 -|cos ， |平面 PAC 与平面 ACE 夹角的余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得 1 分，负者得 0 分，约定一方比另一方多 3分或满 9 局时比赛结束，并规定：
28、只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，已知前 3 局中，甲胜 2 局，乙胜 1 局.（1） 求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设 表示从第 4 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法运算求出甲获得这次比赛胜利的概率；（2）求出随机变量可取得值；利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式求出随机变量取每一个值的概率；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出随机变量的期望【详
29、解】 （1）设甲获得这次比赛胜利为事件 A：；- 19 -（2）X 可能取值为：2,4,6， ，的分布列为2 4 6【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数
30、学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.22.设 分别是椭圆 : 的左、右焦点，过 作斜率为 1 的直线 与椭圆相交于 两点，且椭圆 上存在点 ,使 ( 为坐标原点).（1）求椭圆 的离心率；（2） ，求椭圆 的方程.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】- 20 -（1）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立可得 ，解得，代入椭圆方程得离心率；（2）设 ，利用韦达定理可得 ，从而得到椭圆 的方程.【详解】 （1）设直线 的方程为 ，设，恒成立所以代入椭圆方程得，（2）设 ，因为所以 ，所以 ，所以椭圆方程为【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，离心率的求法，考查了运算能力及推理能力，属于中档题.
