1、1第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)1.下列函数中是奇函数的为( D )(A)y=x-1 (B)y=x2 (C)y=|x| (D)y=x解析:y=x-1 为非奇非偶函数,y=x 2与 y=|x|为偶函数,y=x 为奇函数.故选 D.2.已知函数 f(x)=g(x)+|x|,对任意的 xR 总有 f(-x)=-f(x),且 g(-1)=1,则 g(1)等于( B )(A)-1 (B)-3 (C)3 (D)1解析:由 f(-x)=-f(x)可知 f(x)是奇函数,因为 f(x)=g(x)+|x|,g(-1)=1,所以 f(-1)=1+1=2,则 f(1)=-2.故得 f(1)=g(1)+1=-2
2、,所以 g(1)=-3,故选 B.3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数为( C )(A)y= (B)y=x2+1(C)y= (D)y=x解析:选项 A,D中的函数是奇函数,选项 B,C中的函数是偶函数,但函数 y=x2+1在(0,+)上单调递增.故选 C.4.已知 f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且 f(-5)=m,则 f(5)+f(-5)的值为( A )(A)4 (B)0 (C)2m (D)-m+4解析:由 f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a57+b55-c53+2=m,得 a57-b55+c53=2-m,则 f(5)=a57-b5
3、5+c53+2=2-m+2=4-m.所以 f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选 A.5.若偶函数 f(x)在(-,-1上是增函数,则下列关系式中,成立的是( D )(A)f(- )0,则 f(-x)=x2+2x=-f(x),2所以 f(x)=-x(x+2),故选 A.7.若 f(x)和 g(x)都是奇函数,且 F(x)=f(x)+g(x)+2,在(0,+)上有最大值 8,则在(-,0)上F(x)有( D )(A)最小值-8 (B)最大值-8(C)最小值-6 (D)最小值-4解析:根据题意有 f(x)+g(x)在(0,+)上有最大值 6,又因为 f(x)和 g(x)都是奇函数,所以f(x)
4、+g(x)是奇函数且 f(x)+g(x)在(-,0)上有最小值-6,则 F(x)在(-,0)上也有最小值-6+2=-4,故选 D.8.已知偶函数 f(x)在0,+)上单调递增,且 f(-2)=3,则满足 f(2x-3)0,综上得 m的取值范围为(0,1.15.设函数 f(x)= (a0).(1)判断函数的奇偶性;(2)探究函数 f(x)在 ,+)上的单调性,并用单调性的定义证明.4解:(1)f(x)的定义域为(-,0)(0,+),因为 f(-x)= =- =-f(x),所以 f(x)为奇函数.(2)函数 f(x)在 ,+)上单调递增,证明:任取 x1,x2 ,+),且 x10,则 f(x1)-
5、f(x2)3(B)x|x3(D)x|-3x0或 0x3解析:因为 f(x)为奇函数,在(0,+)上为增函数,所以在(-,0)上为增函数,因为 f(-3)=-f(3)=0,所以 f(x)在(-,-3)和(0,3)为负,f(x)在(-3,0)和(3,+)为正,xf(x)0,即 x与f(x)异号,所以解集为(-3,0)(0,3).故选 D.17.函数 f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象上的是( D )(A)(-a,-f(a) (B)(-a,-f(-a)(C)(a,-f(a) (D)(a,f(-a)解析:因为函数 f(x)=|x3+1|+|x3-1|,xR
6、,所以 f(-a)=|(-a)3+1|+|(-a)3-1|=|-a3+1|+|-a3-1|=|a3-1|+|a3+1|=f(a),所以函数为偶函数,则(a,f(-a),(-a,f(a)均在函数图象上.故选 D.18.y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f( ),f( )的大小关系是 .52解析:y=f(x+2)是偶函数,则 y=f(x)关于 x=2对称,于是 f( )=f( ),325F( )=f( ),12又 f(x)在(0,2)上是增函数,所以 f( )f(1)f( ),即 f( )f(1)f( ).答案:f( )f(1)f( )19.已知定义在 R
7、上的奇函数 f(x)满足 f( -x)=f(x),f(-2)=-3,则 f(-31)+f(-63)= .解析:因为 f(x)为 R上的奇函数,故 f( -x)=-f(x- ),易得 f(x- )=-f(x),则 f(x-3)=f(x- - )=-f(x- )=f(x),即函数 f(x)是以 3为周期的周期函数,故 f(-31)=f(-1)=f(2)=-f(-2)=3,f(-63)=f(0)=0,则 f(-31)+f(-63)=3.答案:320.已知函数 y=f(x)(x0)对于任意的 x,yR 且 x,y0 满足 f(xy)=f(x)+f(y).(1)求 f(1),f(-1)的值;(2)求证:
8、y=f(x)为偶函数;(3)若 y=f(x)在(0,+)上是增函数,解不等式 f( x)+f(x-5)0.(1)解:因为对于任意的 x,yR 且 x,y0 满足 f(xy)=f(x)+f(y),所以令 x=y=1,得到f(1)=f(1)+f(1),所以 f(1)=0,令 x=y=-1,得到f(1)=f(-1)+f(-1),所以 f(-1)=0.(2)证明:令 y=-1,得 f(-x)=f(x)+f(-1),因为 f(-1)=0,所以 f(-x)=f(x),所以 y=f(x)为偶函数.(3)解:由(2)知函数 f(x)是定义在非零实数集上的偶函数.6所以不等式 f( x)+f(x-5)0 可化为16F x(x-5)f(1),所以-1 x(x-5)1.即-6x(x-5)6 且 x0,x-50,在坐标系内,画出函数 y=x(x-5)图象与 y=6,y=-6两直线如图所示.由图可得 x-1,0)(0,23,5)(5,6.故不等式的解集为-1,0)(0,23,5)(5,6.7
