1、1第一课 常用逻辑用语 体系构建题型探究四种命题及其相互关系命题“若 p，则 q”的逆命题为“若 q，则 p”；否命题为“若 p，则 q”逆否命题为“若 q，则 p”书写四种命题应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待(2)要注意条件和结论的否定形式写出命题：“若 a2 b20，则 a0 且 b0”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假思路探究 四 种 命 题 的 概 念 写 出 其 它 命 题 命 题 真 假 的 判 断【规范解答】 原命题：若 a2 b20，则 a0 且 b0，是真命题；逆命题：若 a0 且 b0，则 a2 b20 是真命题；否命题：若 a2 b
2、20，则 a0 或 b0 是真命题；逆否命题：若 a0 或 b0，则 a2 b20 是真命题跟踪训练1命题“对于正数 a，若 a1，则 lg a0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_. 【导学号：95902050】【解析】 原命题“对于正数 a，若 a1，则 lg a0”是真命题；逆命题“对于正数 a，若 lg a0，则 a1”是真命题；否命题“对于正数 a，若 a1，则 lg a0”是真命题；2逆否命题“对于正数 a，若 lg a0，则 a1”是真命题【答案】 4充分条件、必要条件与充要条件判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若 p，则 q”为原命题，那么：原
3、命题为真，逆命题为假时， p是 q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时， p是 q的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时， p是 q的充要条件；原命题与逆命题都为假时， p是 q的既不充分也不必要条件(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题 p， q相应的集合： p： A x|p(x)成立， q： B x|q(x)成立，那么：若 AB，则 p是 q的充分条件；若 A B时，则 p是 q的充分不必要条件；若 BA，则 p是 q的必要条件；若 B A时，则 p是 q的必要不充分条件；若 AB且 BA，即 A B时，则 p是 q的充要条件(3)等价转化法：p是 q的什么条件等价于 q是 p
4、的什么条件(1)设 p： x3， q：1 x3，则 p是 q成立的_ 条件(2)设 a， b是实数，则“ a b0”是“ ab0”的_条件思路探究 (1)可用命题判断法(定义法)或集合判断法解决；(2)采用特殊值判断【规范解答】 (1)方法一： p： x3， q：1 x3， qp，但 p q， p是 q/成立的必要不充分条件方法二：设 A x|x3， B x|1 x3，因为 BA，但 AB，所以 p是 q成立的必要不充分条件(2)本题采用特殊值法：当 a3， b1 时， a b0，但 ab0，故是不充分条件；当时 a3， b1 时， ab0，但 a b0，故是不必要条件所以“ a b0”是“a
5、b0”的即不充分也不必要条件【答案】 (1)必要不充分 (2)既不充分也不必要跟踪训练2设点 P(x， y)，则“ x2 且 y1”是“点 P在直线 l： x y10 上”的_条件. 3【导学号：95902051】【解析】 当 x2 且 y1 时，满足方程 x y10, 即点 P(2，1)在直线 l上点 P(0,1)在直线 l上，但不满足 x2 且 y1，“ x2 且 y1”是“点P(x， y)在直线 l上”的充分不必要条件【答案】 充分不必要条件全称命题与存在性命题1.求一个命题否定的方法：(1)确定命题是全称命题还是存在性命题；(2)转换量词，全称量词的否定对应存在量词，存在量词的否定对应
6、全称量词(3)否定结论(4)当题目中量词不明显或简略时，可以先改写命题，添加必要的量词，凸显命题的特征(5)要理解并熟记常用关键词的否定形式2全称命题与存在性命题真假判断的方法(1)判定全称命题的真假的方法定义法：对给定的集合的每一个元素 x， p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个 x0，使 p(x0)为假，则全称命题为假(2)判定存在性命题真假的方法代入法：在给定的集合中找到一个元素 x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：末位数字为 9的整数能被 3整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数 x，使 x210；(4)p：
7、x， yR， x2 y22 x4 y50.思路探究 首先更换量词，然后否定结论，即可写出命题的否定，再由相关的数学知识判断其真假【规范解答】 (1) p：存在一个末位数字为 9的整数不能被 3整除 p为真命题(2) p：所有的素数都不是偶数因为 2是素数也是偶数，故 p为假命题(3) p：对任意的实数 x，都有 x210. p为真命题(4) p： x0， y0R， x y 2 x04 y050. p为真命题20 20跟踪训练3在下列四个命题： x R， x2 x30； xQ， x2 x1 是有理数；13 124 ， R，使 sin( )sin sin ； x0， y0Z，使 3x02 y010
8、.其中真命题的个数是_. 【导学号：95902052】【解析】 中 x2 x3 0，故为真命题；(x12)2 114 114中 xQ， x2 x1 一定是有理数，故也为真命题；13 12中当 ， 时，sin( )0，sin sin 0，故为真命题；4 4中当 x04， y01 时，3 x02 y010 成立，故为真命题【答案】 4求解含逻辑联结词命题中参数的取值范围解决此类问题的方法，一般是先假设题目所涉及的两个命题 p， q分别为真，求出其中参数的取值范围，然后当他们为假时取其补集，最后根据 p， q的真假情况确定参数的取值范围当 p， q中参数的范围不易求出时，也可以利用 p与 p， q与
9、 q不能同真同假的特点，先求 p， q中参数的取值范围已知 c0.设 p：函数 y cx在 R上单调递减； q：不等式 x| x2 c|1 的解集为 R.如果 p或 q为真， p且 q为假，求 c的取值范围思路探究 题 设 条 件 p或 q为 真 p或 q至 少 有 一 真 p且 q为 假 p、 q至 少 一 假 p、 q有 一 真 分 两 种 情 形 求 c的 范 围【规范解答】 对于命题 p：函数 y cx在 R上单调递减0 c1；对于命题 q：不等式 x| x2 c|1 的解集为 R.即函数 y x| x2 c|在 R上恒大于 1.因为 x| x2 c|Error!所以函数 y x| x
10、2 c|在 R上的最小值为 2c，所以 2c1，即 c .12由 p或 q为真， p且 q为假知 p， q中一真一假若 p真 q假，则Error!解得 0 c .12若 p假 q真，则Error!解得 c1.综上， c的取值范围是 1， )(0，125跟踪训练4已知命题 p： xR， mx210，命题 q： xR， x2 mx10，若 p q为真命题，则实数 m的取值范围是_. 【导学号：95902053】【解析】 p q为真命题，命题 p和命题 q均为真命题，若 p真，则 m0， 若 q真，则 m240，2 m2. p q为真，由知2 m0.【答案】 (2,0)转化与化归思想所谓转化与化归思
11、想是指在研究和解决问题时，采用某种手段将问题通过变换、转化，进而使问题得到解决的一种解题策略一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化设命题 p：(4 x3) 21，命题 q： x2(2 a1) x a(a1)0，若 p是 q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围思路探究 綈 p是 綈
12、q的 必 要不 充 分 条 件 等 价 转 化 p是 q的 充 分不 必 要 条 件 集 合 关 系 确 定 含 参 数a的 不 等 式【规范解答】 设 A x|(4x3) 21， B x|x2(2 a1) x a(a1)0，易知 AError!， B x|a x a1由 p是 q的必要不充分条件，从而 p是 q的充分不必要条件，即 A B， Error!或Error!故所求实数 a的取值范围是 .0，12跟踪训练5设 p：实数 x满足 x24 ax3 a20，其中 a0， q：实数 x满足 x2 x60 或x22 x80，且 p是 q的必要不充分条件，求 a的取值范围【解】 方法一：设 A
13、x|x24 ax3 a20 x|3a x a，B x|x2 x60 或 x22 x80 x| x2 x60 x| x22 x80 x|2 x3 x|x4 或 x2 x|x4 或 x2 p是 q的必要不充分条件 q p，且 p q，即 x| q x| p又/ x| q RB x|4 x2，x| p RA x|x3 a或 x a，6Error! 或Error! 即 a0 或 a4.23故所求实数 a的取值范围是(，4 .23， 0)方法二：由 p是 q的必要不充分条件，从而 p是 q的充分不必要条件，即 A B，所以Error! 或Error!即 a0 或 a4.23故所求实数 a的取值范围是(，
14、4 .23， 0)链接高考1设 mR，命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是_. 【导学号：95902054】【解析】 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，所以命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0” 【答案】 若方程 x2 x m0 没有实根，则 m02命题“ x0(0 ，)，ln x0 x01”的否定是_【解析】 由存在性命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为 x(0，)，ln x x1.【答案】 x(0，)， ln x x13已知等差数列 an的公差为 d，前 n项和
15、为 Sn，则“ d0”是“ S4 S62 S5”的_条件(填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分又不必要” 【解析】 因为 an为等差数列，所以S4 S64 a16 d6 a115 d10 a121 d,2S510 a120 d， S4 S62 S5 d，所以d0 S4 S6 2S5.【答案】 充要4若“ x ，tan x m”是真命题，则实数 m的最小值为_. 0，4【导学号：95902055】【解析】 由题意，原命题等价于 tan x m在区间 上恒成立，即 ytan x在0，4上的最大值小于或等于 m，又 ytan x在 上的最大值为 1，所以 m1，即 m0，4 0， 4的最小值为 1.7【答案】 15已知命题 p： x0，ln( x1)0；命题 q：若 a b，则 a2 b2，下列命题为真命题的是_(填编号) p q； p q； p q； p q.【解析】 当 x0 时， x11，ln( x1)0，即 p为真命题；取 a1， b2 这时满足 a b，显然 a2 b2不成立，即 q为假命题，由复合命题真值表易知为真命题【答案】
