1、1第 77练 高考大题突破练圆锥曲线中的范围、最值问题基础保分练1.(2019嘉兴模拟)如图， AB为半圆 x2 y21( y0)的直径，点 D， P是半圆弧上的两点，OD AB， POB30.曲线 C经过点 P，且曲线 C上任意点 M满足：| MA| MB|为定值.(1)求曲线 C的方程；(2)设过点 D的直线 l与曲线 C交于不同的两点 E， F，求 OEF的面积最大时的直线 l的方程.22.(2019温州模拟)斜率为 k的直线交抛物线 x24 y于 A， B两点，已知点 B的横坐标比点A的横坐标大 4，直线 y kx1 交线段 AB于点 R，交抛物线于点 P， Q.(1)若点 A的横坐标
2、等于 0，求| PQ|的值；(2)求| PR|QR|的最大值.33.(2019台州模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，左顶点为x2a2 y2b2A，点 P( ， )在椭圆 C上，且 PF1F2的面积为 2 .2 3 3(1)求椭圆 C的方程；(2)过原点 O且与 x轴不重合的直线交椭圆 C于 E， F两点，直线 AE， AF分别与 y轴交于点M， N.求证：以 MN为直径的圆恒过焦点 F1， F2，并求出 F1MN面积的取值范围.4能力提升练4.已知椭圆 C： 1( ab0)，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为 的正三角形，x2a2 y2b2 3过椭圆 C的
3、右焦点作斜率为 k(k0)的直线 l与椭圆 C相交于 A， B两点，线段 AB的中点为P.(1)求椭圆 C的标准方程；(2)过点 P垂直于 AB的直线与 x轴交于点 D，试求 的取值范围.|DP|AB|5答案精析基础保分练1解 (1)根据椭圆的定义知，曲线 C是以 A(1,0)， B(1,0)为焦点的椭圆，其中 2c2， P .(32， 12)2a| PA| PB| (32 1)2 (12)2 (32 1)2 (12)2 ，2 3 2 3 a2 ， b2 ，32 12曲线 C的方程为 1.x232y212(2)由题意知过点 D的直线 l的斜率存在，设其为 k，则 l： y kx1.由Error
4、!得(26 k2)x212 kx30， (12 k)24(26 k2)324(3 k21)0，x1 x2 ， x1x2 ，12k2 6k2 32 6k2| EF| |x1 x2| ，1 k2 1 k224 3k2 12 6k2又点 O到直线 l的距离 d ，11 k2 OEF的面积 S |EF|d .12 6 3k2 12 6k2令 ， 0，3k2 1则 S .12 6 2 2 12 6 2 12 622 346当且仅当 ，即 ，3 k212， k1 时， OEF面积取最大值 .2 2 34此时直线 l的方程为 x y10 或 x y10.2解 (1) A(0,0)， B(4,4)， k1，联
5、立Error! 可得 x24 x40，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x24， x1x24，则| PQ| |x1 x2|8.1 k2(2)设 AB的方程为 y kx b，代入 x24 y，得 x24 kx4 b0， xB xA 4，16k2 16b k21 b，由Error! 解得 xR ，1 b2k k2联立Error! 得 x24 kx40.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x24 k， x1x24，| PR|QR|(1 k2)(x1 xR)(x2 xR)(1 k2)x1x2 xR(x1 x2) x 2R(1 k2)( 4 2k2k24) 2
6、，94(k2 718) 625144当 k 时，| PR|QR|取得最大值 .146 6251443解 (1)设椭圆 C的焦距为 2c， S PF1F2 2c 2 ， c2，12 3 3又点 P( ， )在椭圆 C上，2 3 1，2a2 3a2 4 a49 a280，解得 a28 或 a21(舍去)，又 a2 b24， b24，椭圆 C的方程为 1.x28 y24(2) A(2 ，0)， F1(2,0)， F2(2,0)，27当直线 EF的斜率不存在时， E， F为短轴的两个端点，由对称性不妨令点 E在 x轴上方，则M(0,2)， N(0，2)， F1M F1N， F2M F2N，则以 MN为
7、直径的圆恒过焦点 F1， F2.当直线 EF的斜率存在且不为零时，设直线 EF的方程为 y kx(k0)，设点 E(x0， y0)(不妨设 x00)，则点 F( x0， y0)，由Error! 消去 y，得 x2 ，81 2k2 x0 ， y0 ，221 2k2 22k1 2k2直线 AE的方程为 y (x2 )，k1 1 2k2 2直线 AE与 y轴交于点 M，令 x0，得 y ，22k1 1 2k2即点 M ，(0， 22k1 1 2k2)同理可得点 N ，(0， 22k1 1 2k2) ， ，F1M (2， 22k1 1 2k2) F1N (2， 22k1 1 2k2) 0， F1M F
8、1N，F1M F1N 同理 F2M F2N，则以 MN为直径的圆恒过焦点 F1， F2.当直线 EF的斜率存在且不为零时，|MN| |22k1 1 2k2 22k1 1 2k2| |22k1 2k2k2 |2 4，21k2 2 F1MN的面积为 |OF1|MN|4.12当直线 EF的斜率不存在时，| MN|4， F1MN的面积为 |OF1|MN|4.12综上，以 MN为直径的圆恒过焦点 F1， F2， F1MN面积的取值范围是4，)8能力提升练4解 (1)设右焦点的坐标为( c,0)，易知面积为 的正三角形的边长为 2，依题意知，32a4， a2， c a1，12所以 b2 a2 c23，所以
9、，椭圆 C的方程为 1.x24 y23(2)设过椭圆 C的右焦点的直线 l的方程为 y k(x1)，将其代入 1 中，x24 y23得(34 k2)x28 k2x4 k2120，其中， 144( k21)0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，8k23 4k2 4k2 123 4k2所以 y1 y2 k(x1 x2)2 k 2 k ，8k33 4k2 6k3 4k2因为 P为线段 AB的中点，所以，点 P的坐标为 .(x1 x22 ， y1 y22 )故点 P的坐标为 ，(4k23 4k2， 3k3 4k2)又直线 PD的斜率为 ，1k直线 PD的方程
10、为y ， 3k3 4k2 1k(x 4k23 4k2)令 y0，得 x ，k23 4k2则点 D的坐标为 ，(k23 4k2， 0)所以，| DP| ，(k23 4k2 4k23 4k2)2 ( 3k3 4k2)2 3k4 k23 4k2又| AB| x1 x2 2 y1 y2 2 k2 1 x1 x2 2 4x1x2 . k2 1 64k4 3 4k2 2 4 4k2 123 4k2 12 k2 13 4k29所以， |DP|AB|3k4 k23 4k212 k2 13 4k2 14 k2k2 1 ，141 1k2 1又 k211，所以 0 1，1k2 1所以 0 .141 1k2 114所以， 的取值范围是 .|DP|AB| (0， 14)10
