1、- 1 -河南省顶级名校 2019 届高三年级质量测评试卷理科数学一、选择题（共 12 题,每题 5 分,共 60 分,每道题有且只有一个选项是正确的）1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先求得集合 A 和集合 B，然后结合交集的定义求解交集即可求得最终结果.详解：求解指数不等式 可得： ，求解绝对值不等式 可得： ，结合交集的定义可得： .本题选择 C 选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数 在复平面内对应的点在第二象限，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：
2、由题意得到关于 m 的不等式组，求解不等式组确定 m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得： ，即 且 ，故 ，则： ，由复数的性质 .本题选择 C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下列命题中正确命题的个数是（ ）- 2 -命题“函数 的最小值不为 ”是假命题；“ ”是“ ”的必要不充分条件;若 为假命题，则 ， 均为假命题;若命题 ： ， ，则 ： ， ；A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用均值不等式判断的正误，利用逆否命题同真同假判断的正误，利用 为假命题可知 p，q 至少有一个假命
3、题判断的正误，利用特称命题的否定为全称命题判断的正误.【详解】对于，设 t ， t3， y t 在3，+）上单调递增， y t 的最小值为 ，函数 y （ xR）的最小值不为 2，是真命题，故错误；对于，因为“ ” 是“ ” 的必要不充分条件，根据逆否命题同真同假，可知正确；对于，若 为假命题，则 ， 至少有一个为假命题，故错误；对于，若命题 ： ， ，则 ： ， 是真命题，故选：B【点睛】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑与函数、基本不等式的应用问题，属于中档题4.已知双曲线 的一条渐近线与直线 的夹角为 ，若以双曲线 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为 ，则双曲线 的标准方程为A. B
4、. C. D. - 3 -【答案】A【解析】因为双曲线 的一条渐近线与直线 的夹角为 ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，所以 因为以双曲线 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，所以 ，即 由 ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 故选 A5.记 为数列 的前 项和 “任意正整数 ，均有 ”是“ 为递增数列”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：“a n0”“数列S n是递增数列” ， “数列S n是递增数列”不能推出“a n0” ，由此知“a n0”是“数列S n是递增数列”的充分不必要条件详解：“a n0”“数列S n是递
5、增数列” ，所以“a n0”是“数列S n是递增数列”的充分条件.如数列 为-1,0,1,2,3,4， ，显然数列S n是递增数列，但是 不一定大于零，还有可能小于等于零，所以“数列S n是递增数列”不能推出“a n0” ，“a n0”是“数列S n是递增数列”的不必要条件“a n0”是“数列S n是递增数列”的充分不必要条件故答案为：A点睛：说明一个命题是真命题，必须证明才严谨.要说明一个命题是一个假命题，只要举一个反例即可.6.函数 的部分图象大致为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及 是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，
6、函数 满足 ，所以函数 为奇函数，图象关于 轴对称，排除 ；又由当 时，函数 ，排除 ，故选 A.7.已知圆 与直线 相切于点 ，点 同时从 点出发， 沿着直线 向右、 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 运动到如图所示的点 时，点 也停止运动，连接 （如图） ，则阴影部分面积 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 先 ，再 ，最后【答案】A【解析】分析：由题意分别求得扇形的面积和三角形的面积，然后结合几何关系即可确定 的大小关系.- 5 -详解：直线 与圆 O 相切，则 OA AP， ，因为弧 AQ 的长与线段 AP 的长相等，故 ，即 ， .本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查扇形
7、面积的计算，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设 ， ， ，则 的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ；由于 ，令 ，则 ， 区间 上单调递减， ，即 ，因此 ，故 ，所以 ，可得 ；由于 ，令 ，则 ， 区间 上单调递增， ，即 ， ，故 。综上可得 选 B9.我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三- 6 -视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该刍童的表面积为A. B. 40 C. D. 【答案】D【解析】分析：根据三视图，还原几何体的直观图可得，该
8、几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可.详解：由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体 ，图中正方体棱长为 ，分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为 ，梯形的上下底分别为 ，梯形的高为，梯形面积为 ，所以该刍童的表面积为 ，故选 D. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻- 7 -译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正
9、，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.已知 为正常数， ,若存在 ，满足 ，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意分析出函数 关于直线 对称，再利用对称性求出 的表达式，再求 的范围.【详解】设 ，则其关于直线 对称的曲线为 所以函数 的图象关于直线 对称，且在 上为增函数因为 ，所以 又因为 ， 所以 故选 D.【点睛】本题考查函数的对称性判断、三角恒等变换，属于中档题.函数对称性的判断方法：（1）若函数 在定义域上
10、，满足 ，则函数 关于直线 对称；（2）若函数 在定义域上，满足 ，则函数 关于点( 中心对称；11.设函数 , ， ,若存在实数 ,使得集合 中恰好有 个元素,则 的取值范围是（ ）- 8 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由集合 A B 中恰好有 5 个元素，即椭圆内包括函数 f（ x）图象的 5 个最值点；可得（ ，1）在椭圆之外，而（ ）必满足椭圆上或者内，代入求解可得 的取值范围【详解】解：由题意，集合 A B 中恰好有 5 个元素，即椭圆内包括函数 f（ x）图象的 5 个最值点；顶点（ ，1）在椭圆上，而顶点（ ）必满足在椭圆内，把顶点的坐标代入，可得 ，解得：
11、 ，由 T ， ，解得： 故选： A【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，也考查了椭圆的方程与应用问题，是中档题12.已知抛物线 ，过抛物线上一点 作两条直线分别与抛物线相交于 ， 两点，连接 ，若直线 ， ， 与坐标轴都不垂直，且它们的斜率满足 ，点 ，则直线 的斜率为A. B. - 9 -C. D. 【答案】D【解析】由题意，因为点 在抛物线 上，所以 ，故直线 的方程为，与抛物线方程联立消去 x，得 ，其解为 和，则 ，同理可得 ，则由题意，得，化简得 , ，直线 的斜率为，故选 D二、填空题（共 4 题,每题 5 分,共 20 分）13.非零向量 满足： ,则 与 夹角的大小为_
12、【答案】135或者【解析】【分析】根据题意，设 ， ，则 ，结合题意分析可得 OAB 为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案【详解】解：根据题意，设 ， ，则 ，若| | |， ，即| | |，且 ，则 OAB 为等腰直角三角形，则 与 的夹角为 18045135，故答案为：135- 10 -【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式14.已知 ，其中 ， 为自然对数的底数，则在的展开式中 的系数是_【答案】80【解析】【分析】根据定积分的运算，求得 n 的值，利用二项式定理的展开式展开，分析，即可求得答案.【详解】记 ， 图像关于 中心对称，由 exdx ex
13、 e1， 5，则（ x 2） 5（ x ）2 5 （ x ） 5 （ x ） 4（2） 1（ x ） 3（2） 2 （ x ） 2（2） 3 （ x ） 1（2） 4 （ x ） 0（2）5，则展开式中 x2，则出现在 （ x ） 4（2） 1及 （ x ） 2（2） 3，- 11 -（2） x3（ ） 1160， （2） 3 x2（ ） 080，在 的展开式中 x2的系数 80，故答案为：80【点睛】本题考查定积分的运算，二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题15.已知 的内角 对的边分别为 ， ，当内角 最大时，的面积等于_【答案】【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，
14、利用余弦定理表示出 cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出 cosC 的最小值即可求出三角形的面积【详解】解：已知等式利用正弦定理化简得： a b2 c，两边平方得：（ a b） 24 c2，即 a2+2 ab+2b24 c2，4 a2+4b24 c23 a2+2b22 ab，即 a2+b2 c2 ，cos C （ 2 ）（2 2 ） （2 2 ） ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 a ，则 cosC 的最小值为 ，此时 C 最大，此时 sinC ，则 ABC 的面积 S 故答案为：【点睛】本题主要考查正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键，综合性较强，
15、有一定的难度- 12 -16.已知三棱锥 的底面是边长为 3 的正三角形，且 ， ， .则三棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】将三棱锥翻转一下，由斜线长相等，射影长相等可得 B 在平面 PAC 内的射影 H 为直角三角形PAC 的外心，故 H 为 PAC 斜边 AP 的中点，且 PH平面 PAC，即 HP 为三棱锥的高，从而可求三棱锥 P ABC 的体积【详解】解：将三棱锥翻转一下，如图，由斜线长相等，射影长相等可得 B 在平面 PAC 内的射影 H 为直角三角形 PAC 的外心，故 H 为 PAC 斜边 AP 的中点，且 BH平面 PAC，即 HB 为三棱锥的高，由勾股定理得 BH ，该
16、三棱锥 P ABC 的体积为 34 故答案为： 【点睛】本题考查三棱锥 P ABC 的体积，考查学生分析解决问题的能力，将三棱锥翻转一下是关键三、解答题（共 6 题,需要写明必要的文字说明、计算过程）17.已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数列，且公比大于0，.（）求 和 的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 .- 13 -【答案】 （） . .（） .【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列首项 和公差 及等比数列的公比 ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（）设等差数列
17、的公差为 ，等比数列 的公比为 .由已知 ，得 ，而 ，所以 .又因为 ，解得 .所以， .由 ，可得 .由 ，可得 ，联立，解得，由此可得 .所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .（）解：设数列 的前 项和为 ，由 ，有，上述两式相减，得.得 .所以，数列 的前 项和为 .【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.18.某种常见疾病可分为、两种类型.为了
18、解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取 100 名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：- 14 -（1）从型疾病患者中随机抽取 1 人，估计其初次患病年龄小于 40 岁的概率；（2）记“初次患病年龄在 的患者为“低龄患者” ，初次患病年龄在 的患者为“高龄患者” ，根据表中数据，解决以下问题：将以下两个列联表补充完整，并判断“地域” “初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由）（ii）记（i）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为 ，问：是否有 99.9%的把握认为“
19、该疾病的类型与 有关？”附：【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】- 15 -试题分析：（1）依题意，从型疾病患者中随机抽取 人，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解其初次患病年龄小于 岁的概率；（2） （i）根据题设中的数据，填写表一、表二，即可作出相应的判断；（ii）根据表二的数据，利用 的计算公式，求解 的值，根据附表，即可判读有 的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关.试题解析：（1）依题意，从型疾病患者中随机抽取 1 人，其初次患病年龄小于 40 岁的概率估计值为.（2） （i）填写结果如下：表一：疾病类型患者所在地域 型 型 合计甲地 23 37 60乙地 17 23 40合计
20、 40 60 100表二：疾病类型初次患病年龄 型 型 合计低龄 25 15 40高龄 15 45 60合计 40 60 100由表中数据可以判断， “初次患病年龄”与该疾病类型有关联的可能性更大.（ii）根据表二的数据可得： ， ， ， ， .- 16 -则 .由于 ，故有 99.9%的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关19.如图，四边形 为梯形， 点 在线段 上，满足 ,且，现将 沿 翻折到 位置，使得 （）证明： ;（）求直线 与面 所成角的正弦值【答案】 （）见解析.（） .【解析】分析：（）先证明 ，即证 .( )利用空间向量法求直线 与面所成角的正弦值详解：（）连 ，所以所以 B
21、D=因为 又 从而 所以 （） - 17 -由 ，如图建系，则设平面 的法向量为 ，由 ，可取 ， 20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，圆 经过椭圆 的两个焦点和两个顶点，点 在椭圆 上，且 ， .（）求椭圆 的方程和点 的坐标；（）过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，过点 与 垂直的直线 与椭圆 相交于另一点，求 的面积的取值范围.【答案】()椭圆 的方程为 ， 点 P 的坐标为 .() .【解析】分析：（ I）由题意计算可得 ， ， 则椭圆 的方程为 ， 结合几何性质可得点 P 的坐标为 . （ II）由题意可知直线 l2的斜率存在，设 l2的方程为 ，与椭圆方程联立可得- 18
22、-， 由弦长公式可得 ； 结合几何关系和勾股定理可得 ， 则面积函数 ， 换元求解函数的值域可得 ABC 的面积的取值范围是 详解：（ I）设 ， ，可知圆 经过椭圆焦点和上下顶点，得 ，由题意知 ，得 ， 由 ，得 ， 所以椭圆 的方程为 ， 点 P 的坐标为 . （ II）由过点 P 的直线 l2与椭圆 相交于两点，知直线 l2的斜率存在，设 l2的方程为 ，由题意可知 ，联立椭圆方程，得 ， 设 ，则 ，得 ，所以 ； 由直线 l1与 l2垂直，可设 l1的方程为 ，即圆心 到 l1的距离 ，又圆的半径 ，所以 ， - 19 -由 即 ，得 ， 设 ，则 ， ，当且仅当 即 时，取 “”
23、 ，所以 ABC 的面积的取值范围是 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式| AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21.已知函数 .（1）当 时，求证： ；（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；（3）若 ，证明 .【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先利用导数求函数 ，再证明 . （2）把不等式 恒成立转化为0，再利用导数求 即得 a 的取值范围. (3)利用第（2）
24、问的结论和分析法证明.详解：（1）当 时， ， ，当 时， ；当 时，故 在 上单调递减，在 上单调递增， . （2） ，令 ，则 .- 20 -当 时，在 上， ， 单调递增， ，即 ，在 上为增函数， 当 时满足条件. 当 时，令 ，解得 ，在 上， ， 单调递减，当 时，有 ，即 在 上为减函数，不合题意. 综上，实数 的取值范围为 . （3）由（2）得，当 ， 时， ，即 = ，欲证不等式 ，只需证明 ，只需证明 ，只需证 ，设 ，则 .当 时， 恒成立，且 ， 恒成立.原不等式得证. 点睛：本题的难点在第（3）问，直接证明比较困难.难点一是这里要注意观察利用第（2）问的结论，难点二是
25、要运用分析法来分析转化命题.难点三是要构造函数.本题意在考查利用导数解答函数问题的综合能力，属于难题.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ，过点 的直线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 与曲线 相交于 两点- 21 -（）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（）若 ，求 的值【答案】 （）曲线 ： ; ： （） 的值为 .【解析】试题分析：（1）根据 将曲线极坐标方程转化为直角坐标方程：利用代入消元将直线参数方程化为普通方程 （2）根据直线参数方程几何意义将条件 转化为 ，即 ，再联立直线参数方程与抛物线方程，利用韦达
26、定理代入化简得试题解析：（1）由 得： ，曲线 的直角坐标方程为： ，由 消去 得： ，直线 的普通方程为：（2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，代入 ，得到设 对应的参数分别为 ，则 是方程的两个解，由韦达定理得： ，因为 ，所以 ，解得 考点：极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程化为普通方程，直线参数方程几何意义23.已知函数 （1）解不等式 ；（2）若 ，对 ， ，使 成立，求实数 的取值范围- 22 -【答案】(1) ；(2) .【解析】【分析】（1）对 x 分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数 的取值范围 【详解】解：（1）不等式等价于 或 或解得 或 或 ，所以不等式 的解集为 （2）由 知，当 时， ；，当且仅当 时取等号，所以 ， 解得 故实数 的取值范围是 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力
