1、1学业分层测评(四) 曲线的极坐标方程的意义(建议用时：45 分钟)学业达标1将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线 y x(x0)；3(2)圆 x2 y22 ax0( a0)【解】 (1)将 x cos ， y sin 代入 y x，3得 sin cos ，3tan ， 或 .33 43又 x0， cos 0， ，43射线 y x(x0)的极坐标方程为 ( 0)343(2)将 x cos ， y sin 代入 x2 y22 ax0，得 2cos2 2sin2 2 a cos 0，即 ( 2 acos )0， 2 acos ，圆 x2 y22 ax0( a0)的极坐标方程为 2 a
2、cos .2分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1) ；(2) 2tan .5cos 【解】 (1)由 cos 5，得 x5.(2)x2 y2 (x0)，即 x(x2 y2) y0( x0)又在极坐标方程 2tan 中，yx极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是 x(x2 y2) y0.3已知曲线 C1的极坐标方程为 6cos ，曲线 C2的极坐标方程为 ( R)，4曲线 C1， C2相交于 A， B两点(1)把曲线 C1， C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦 AB的长度【导学号：98990011】【解】 (1)曲线 C2： ( R)表示直线 y x；42曲
3、线 C1： 6cos 化为直角坐标方程，即 x2 y26 x，即( x3) 2 y29.(2)因为圆心 C1(3,0)到直线的距离 d ， r3，所以弦长 AB3 .322 24求点 A 到直线 l： sin 2 的距离(2，3) ( 6)【解】 A(2， )的直角坐标为(1， )，3 3l： sin( )2， ( sin cos )2.6 32 12即： x y40.3故 A(1， )到 l： x y40 的距离为 3.3 3|1 3 4|12 3 25在直角坐标系 xOy中，以 O为极点， x轴正半轴为极轴建立坐标系曲线 C的极坐标方程为 cos 1， M、 N分别为 C与 x轴， y轴的
4、交点( 3)(1)写出 C的直角坐标方程，并求 M、 N的极坐标；(2)设 MN的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程【解】 (1)由 cos( )1 得 ( cos sin )1，3 12 32即 x y2，3当 0 时， 2，所以 M(2,0)当 时， ，所以 N( ， )2 233 233 2(2) M的直角坐标为(2,0)，N的直角坐标为(0， )233 P的直角坐标为(1， )，33P的极坐标为( ， )233 6所以直线 OP的极坐标方程为 ( R)66在平面直角坐标系中，已知点 A(3,0)， P是圆 x2 y21 上的一个动点，且 AOP的平分线交 PA于 Q点，求 Q点的轨迹
5、方程【解】 以圆心 O为极点， x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设 Q( ， )，P(1,2 )因为 S OAQ S OQP S OAP.3即 3 sin 1 sin 12 12 31sin 2 .12整理得： cos .327在极坐标系中，圆 C： 10cos 和直线 l：3 cos 4 sin 300 相交于 A、 B两点，求线段 AB的长【解】 分别将圆 C和直线 l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆 C： x2 y210 x，即( x5) 2 y225，圆心 C(5,0)；直线 l：3 x4 y300，因为圆心 C到直线 l的距离 d 3，所以|15 0 30|5AB2 8.25 d2能力提升8在极坐标系中， P是曲线 12sin 上的动点， Q是曲线 12cos 上( 6)的动点，试求 PQ的最大值【解】 12sin ， 212 sin ， x2 y212 y0，即 x2( y6) 236.又 12cos( )，6 212 (cos cos sin sin )，6 6 x2 y26 x6 y0，3( x3 )2( y3) 236.3 PQ的最大值为 66 18. 33 2 32
