1、14.4.2 参数方程与普通方程的互化1能通过消去参数将参数方程化为普通方程2能选择适当的参数将普通方程化为参数方程基础初探1过定点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为Error!( l 为参数)，其中参数l 的几何意义：有向线段 P0P 的数量( P 为该直线上任意一点)2圆 x2 y2 r2的参数方程为Error!( 为参数)圆心为 M0(x0， y0)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!( 为参数)3椭圆 1 的参数方程为Error!( 为参数)x2a2 y2b2思考探究1普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】 不一定惟一如果选用的参数不同，那么所求
2、得的曲线的参数方程的形式也不同2将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】 代入法先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程利用代数或三角函数中的恒等式消去参数例如对于参数方程Error!如果 t 是常数， 是参数，那么可以利用公式 sin2 cos 2 1 消参；如果 是常数， t 是参数，那么适当变形后可以利用( m n)2( m n)24 mn 消参质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_2参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)Error!(t
3、为参数)；(2)Error!( 为参数)【自主解答】 (1)由 x ，得 t .t 1t 1 x 1x 1代入 y 化简得 y (x1)2tt3 1 x 1 x 1 23x2 1(2)由Error! 得Error! 2 2得 1.x225 y 1 216再练一题1将下列参数方程化为普通方程：(1)Error!(t 为参数)；(2)Error!( 为参数)【解】 (1) x t ， x2 t2 2.1t 1t2把 y t2 代入得 x2 y2.1t2又 x t ，当 t0 时， x t 2；1t 1t当 t0 时， x t 2.1t x2 或 x2.普通方程为 x2 y2( x2 或 x2)(2
4、)Error!可化为Error!两式平方相加，得( )2( )21.x 23 y3即普通方程为( x2) 2 y29.普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程(1) 1， x cos 1.( 为参数) x 1 23 y 2 25 3(2)x2 y x10， x t1.( t 为参数)3【自主解答】 (1)将 x cos 1 代入 1 得：3 x 1 23 y 2 25y2 sin .5Error! ( 为参数)，这就是所求的参数方程(2)将 x t1 代入 x2 y x10 得：y x2 x1( t1) 2 t11 t23 t1，Error! (t 为参数)，这就是所求的
5、参数方程再练一题2已知圆的方程为 x2 y22 x6 y90，将它化为参数方程【导学号：98990029】【解】 把 x2 y22 x6 y90 化为标准方程为( x1) 2( y3) 21.参数方程为Error!( 为参数).利用参数求轨迹方程过 A(1,0)的动直线 l 交抛物线 y28 x 于 M， N 两点，求 MN 中点的轨迹方程【思路探究】 设出直线 MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中 t的几何意义及根与系数的关系解题【自主解答】 直线 MN 方程Error!( 0， t 为参数)代入 y28 x，得t2sin2 8 tcos 80.设 M， N 对应参数为 t
6、1， t2， MN 中点 G 的参数为 t0，则 t0 (t1 t2) ，12 4cos sin2Error! 消去 得 y24( x1)1用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程2涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数 l 的几何意义再练一题3经过点 A ，倾斜角为 的直线 l 与圆 x2 y225 相交于 B、 C 两点( 3， 32)(1)求弦 BC 的长；(2)当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程；(3)当 BC8 时，求直线 BC 的方程；4(4)当 变化时
7、，求动弦 BC 的中点 M 的轨迹方程【解】 取 AP t 为参数( P 为 l 上的动点)，则 l 的参数方程为Error!代入 x2 y225，整理，得t23(2cos sin )t 0.554 9(2cos sin )2550 恒成立，方程必有相异两实根 t1， t2，且 t1 t23(2cos sin )， t1t2 .554(1)BC| t1 t2| t1 t2 2 4t1t2.9 2cos sin 2 55(2) A 为 BC 中点， t1 t20，即 2cos sin 0，tan 2.故直线 BC 的方程为 y 2( x3)，32即 4x2 y150.(3) BC 8，9 2co
8、s sin 2 55(2cos sin )21.cos 0 或 tan .34直线 BC 的方程是 x3 或 3x4 y150.(4) BC 的中点 M 对应的参数是 t (2cos sin )，t1 t22 32点 M 的轨迹方程为Error!(0 )Error!( x )2( y )2 .32 34 4516即点 M 的轨迹是以( ， )为圆心，以 为半径的圆32 34 354真题链接赏析(教材第 56 页习题 4.4 第 2 题)将下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：(1)Error!(t 为参数)；(2)Error!( 为参数)；(3)Error!(t 为参数)；5(4)E
9、rror!( 为参数)；(5)Error!( 为参数)在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆Error!( 为参数)的右焦点，且与直线Error! (t 为参数 )平行的直线的普通方程【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系等知识【解】 由题设知，椭圆的长半轴长 a5，短半轴长 b3，从而 c 4，所以右焦点为(4,0)a2 b2将已知直线的参数方程化为普通方程：x2 y20，故所求直线的斜率为 ，12因此其方程为 y (x4)，12即 x2 y40.1将参数方程Error!( t 为参数)化为普通方程为_【解析】 将 x 代入 y2 4
10、 得 y2 x4.t t又 x 0，普通方程为 2x y40( x0)t【答案】 2 x y40( x0)2圆锥曲线Error!( t 为参数)的焦点坐标是_【导学号：98990030】【解析】 将参数方程化为普通方程为 y24 x，表示开口向右，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线，由 2p4 p2，则焦点坐标为(1,0)【答案】 (1,0)3将参数方程Error!( 为参数)化为普通方程为_【解析】 转化为普通方程为 y x2，且 x2,3， y0,1【答案】 y x2(2 x3)4在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1和 C2的参数方程分别为Error!( t 为参数)和Error!( 为参数 )，则曲线 C1与 C2的交点坐标为_【解析】 C1的普通方程为 y2 x(x0， y0)，C2的普通方程为 x2 y22.6由Error! 得Error! C1与 C2的交点坐标为(1,1)【答案】 (1,1)我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
