1、- 1 -课时跟踪检测（五十六） 题型上高考 3 大题型逐一精研 1.(2018郑州一检)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右x2a2 y2b2焦点分别为 F1， F2，以 F1F2为直径的圆与直线 ax2 by ab0 相3切(1)求椭圆 C 的离心率；(2)如图，过 F1作直线 l 与椭圆分别交于 P，Q 两点，若 PQF2的周长为 4 ，求 2 F2P 的最大值F2Q 解：(1)由题意知 c，即 3a2b2 c2(a24 b2)( a2 b2)(a24 b2)化简得| 3ab|a2 4b2a22 b2，所以 e .1 b2a2 22(2)因为 PQF2的周长为 4 ，所以 4a4 ，
2、得 a ，2 2 2由(1)知 b21，所以椭圆 C 的方程为 y21，且焦点 F1(1,0)， F2(1,0)，x22若直线 l 的斜率不存在，则直线 l x 轴，直线方程为x1， P ，Q ， ， ，故 ( 1，22) ( 1， 22) F2P ( 2， 22) F2Q ( 2， 22) F2P .F2Q 72若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k(x1)，由Error!消去 y 并整理得(2k21) x24 k2x2 k220，设 P(x1， y1)，Q( x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，4k22k2 1 2k2 22k2 1 ( x11， y1)(x21，
3、 y2)F2P F2Q ( x11)( x21) y1y2( k21) x1x2( k21)( x1 x2) k21( k21) ( k21) k212k2 22k2 1 ( 4k22k2 1) ，7k2 12k2 1 72 92 2k2 1由 k20 可得 .F2P F2Q ( 1， 72)- 2 -综上所述， ，F2P F2Q ( 1， 72所以 的最大值是 .F2P F2Q 722(2019沈阳教学质量监测)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 1 上，过 M 作 xx29 y24轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2NM (1)求点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过 F(1,0
4、)的直线 l1与点 P 的轨迹交于 A， B 两点，过 F(1,0)作与 l1垂直的直线 l2与点 P 的轨迹交于 C， D 两点，求证： 为定值1|AB| 1|CD|解：(1)设 P(x， y)，易知 N(x,0)， (0， y)，NP 又 ， M ，NM 12NP (0， y2) (x， y2)又点 M 在椭圆上， 1，即 1.x29 (y2)24 x29 y28点 P 的轨迹 E 的方程为 1.x29 y28(2)证明：当直线 l1与 x 轴重合时，| AB|6，| CD| ，163 .1|AB| 1|CD| 1748当直线 l1与 x 轴垂直时，| AB| ，| CD|6，163 .1
5、|AB| 1|CD| 1748当直线 l1与 x 轴不垂直也不重合时，可设直线 l1的方程为 y k(x1)( k0)，则直线l2的方程为 y (x1)，1k设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)，联立直线 l1与曲线 E 的方程，得Error!得(89 k2)x218 k2x9 k2720，可得Error!| AB| ，1 k2 x1 x2 2 4x1x248 1 k28 9k2同理可得 x3 x4 ， x1x2 .188k2 9 9 72k28k2 9- 3 -则| CD| .1 1k2 x3 x4 2 4x3x4 48 1 k29 8k2
6、 .1|AB| 1|CD| 8 9k248 k2 1 9 8k248 k2 1 1748综上可得 为定值1|AB| 1|CD|3已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴x2a2 y2b2 63长为半径的圆与直线 2x y60 相切2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知点 A， B 为动直线 y k(x2)( k0)与椭圆 C 的两个交点，问：在 x 轴上是否存在定点 E，使得 2 为定值？若存在，试求出点 E 的坐标和定值；若不存在，EA EA AB 请说明理由解：(1)由 e ，得 ，63 ca 63即 c a，63又以原点 O 为圆心，椭圆
7、C 的长半轴长为半径的圆为 x2 y2 a2，且该圆与直线 2x y60 相切，2所以 a ，代入得 c2，|6|22 2 2 6所以 b2 a2 c22，所以椭圆 C 的标准方程为 1.x26 y22(2)由Error!得(13 k2)x212 k2x12 k260.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 x1 x2 ， x1x2 .12k21 3k2 12k2 61 3k2根据题意，假设 x 轴上存在定点 E(m,0)，使得 2 ( ) 为定值，EA EA AB EA AB EA EA EB 则 ( x1 m， y1)(x2 m， y2)EA EB ( x1 m)(x2 m)
8、y1y2( k21) x1x2(2 k2 m)(x1 x2)(4 k2 m2)- 4 - ， 3m2 12m 10 k2 m2 61 3k2要使上式为定值，即与 k 无关，只需 3m212 m103( m26)，解得 m ，73此时， 2 m26 ，EA EA AB 59所以在 x 轴上存在定点 E 使得 2 为定值，且定值为 .(73， 0) EA EA AB 594(2019惠州调研)已知点 C 为圆( x1) 2 y8 的圆心， P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且有点 A(1,0)和 AP 上的点 M，满足 0， 2 .MQ AP AP AM (1)当点 P 在圆上运动时
9、，求点 Q 的轨迹方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x2 y21 相切，与(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点F， H， O 是坐标原点，且 时，求 k 的取值范围34 OF OH 45解：(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线，所以| CP|Q C|Q P|Q C|Q A|2 |CA|2，2所以点 Q 的轨迹是以点 C， A 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 的椭圆，所以2a ， c1， b 1，2 a2 c2故点 Q 的轨迹方程是 y21.x22(2)设直线 l： y kx t， F(x1， y1)， H(x2， y2)，直线 l 与圆 x2 y21 相切 1 t2
10、 k21.|t|k2 1联立Error!(12 k2)x24 ktx2 t220， 16 k2t24(12 k2)(2t22)8(2 k2 t21)8 k20 k0，x1 x2 ， x1x2 ， 4kt1 2k2 2t2 21 2k2所以 x1x2 y1y2OF OH (1 k2)x1x2 kt(x1 x2) t2 kt t2 1 k2 2t2 21 2k2 4kt1 2k2 k21 1 k2 2k21 2k2 4k2 k2 11 2k2- 5 - ，1 k21 2k2所以 k2 | k| ，34 1 k21 2k2 45 13 12 33 22所以 k 或 k .22 33 33 22故 k 的取值范围是 .22， 33 33， 22
