1、- 1 -课时跟踪检测（四十六） 直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、题点全面练1在同一平面直角坐标系中，直线 l1： ax y b0 和直线 l2： bx y a0 有可能是( )解析：选 B 由题意 l1： y ax b， l2： y bx a，当 a0， b0 时， a0， b0.选项 B 符合2(2019惠州质检)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率 k 的取值范围是( )A. B.( 1，15) ( 1， 12)C(，1) D(，1)(15， ) (12， )解析：选 D 设直线 l 的斜率为 k，则直线方程为 y2 k(x1)，直线在 x
2、 轴上的截距为 1 .令31 3，解不等式得 k1 或 k .2k 2k 123在等腰三角形 MON 中， MO MN，点 O(0,0)， M(1,3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，则直线 MN 的方程为( )A3 x y60 B.3x y60C3 x y60 D3 x y60解析：选 C 因为 MO MN，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所以kMN kMO3，所以直线 MN 的方程为 y33( x1)，即 3x y60，选 C.4若直线 x2 y b0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是( )A2,2 B.(，22，)C2,0)(0,2
3、D(，)解析：选 C 令 x0，得 y ，令 y0，得 x b，所以所求三角形面积为b2| b| b2，且 b0，因为 b21，所以 b24，所以 b 的取值范围是2,0)(0,212|b2| 14 14- 2 -5已知函数 f(x) asin x bcos x(a0， b0)，若 f f ，则直线( 4 x) ( 4 x)ax by c0 的倾斜角为( )A. B. 4 3C. D.23 34解析：选 D 由 f f 知，函数 f(x)的图象关于 x 对称，所以 f(0)( 4 x) ( 4 x) 4 f ，所以 b a，则直线 ax by c0 的斜率为 k 1，又直线倾斜角的取值范( 2
4、) ab围为0，)，所以该直线的倾斜角为 ，故选 D.346设点 A(1,0)， B(1,0)，直线 2x y b0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是_解析： b 为直线 y2 x b 在 y 轴上的截距，如图，当直线y2 x b 过点 A(1,0)和点 B(1,0)时， b 分别取得最小值2 和最大值 2. b 的取值范围是2,2答案：2,27已知直线 l 过点(1,0)，且倾斜角为直线 l0： x2 y20 的倾斜角的 2 倍，则直线l 的方程为_解析：由题意可设直线 l0， l 的倾斜角分别为 ，2 ，因为直线 l0： x2 y20 的斜率为 ，则 tan ，12 12所以直线
5、l 的斜率 ktan 2 ，2tan 1 tan22121 (12)2 43所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y0 (x1)，43即 4x3 y40.答案：4 x3 y408.如图，射线 OA， OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点P(1，0)的直线 AB 分别交 OA， OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y x 上时，则直线 AB 的方程为12_解析：由题意可得 kOAtan 451，- 3 -kOBtan(18030) ，33所以直线 lOA： y x， lOB： y x.33设 A(m， m)， B( n， n)，3所以 AB 的中点 C ，(
6、m 3n2 ， m n2 )由点 C 在直线 y x 上，且 A， P， B 三点共线得12Error!解得 m ，所以 A( ， )3 3 3又 P(1,0)，所以 kAB kAP ，33 1 3 32所以 lAB： y (x1)，3 32即直线 AB 的方程为(3 )x2 y3 0.3 3答案：(3 )x2 y3 03 39已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：(1)过定点 A(3,4)；(2)斜率为 .16解：(1)由题意知，直线 l 存在斜率设直线 l 的方程为 y k(x3)4，它在 x 轴， y 轴上的截距分别是 3,3 k4，4k
7、由已知，得(3 k4) 6，(4k 3)解得 k1 或 k2 .23 83故直线 l 的方程为 2x3 y60 或 8x3 y120.(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程为 y x b，它在 x 轴上的截距是6 b，16由已知，得|6 bb|6， b1.直线 l 的方程为 x6 y60 或 x6 y60.10已知 ABC 的三个顶点分别为 A(3,0)， B(2,1)， C(2,3)，求：- 4 -(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线 DE 所在直线的方程解：(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C
8、(2,3)两点，由两点式得 BC 的方程为 ，y 13 1 x 2 2 2即 x2 y40.(2)设 BC 边的中点 D 的坐标为( x， y)，则 x 0， y 2.2 22 1 32BC 边的中线 AD 经过 A(3,0)， D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线的方程为 1，x 3 y2即 2x3 y60.(3)由(1)知，直线 BC 的斜率 k1 ，12则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k22.由(2)知，点 D 的坐标为(0,2)由点斜式得直线 DE 的方程为 y22( x0)，即 2x y20.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知两点 M(2，3)， N(3，2)
9、，直线 l 过点 P(1,1)且与线段 MN 相交，则直线l 的斜率 k 的取值范围是( )A(，4 B.34， ) 4， 34C. D.34， 4 34， 4解析：选 A 如图所示， kPN ，1 21 3 34kPM 4，1 31 2要使直线 l 与线段 MN 相交，当 l 的倾斜角小于 90时， k kPN；当 l 的倾斜角大于 90时， k kPM，- 5 - k 或 k4.342直线 l 过点(2,2)且与 x 轴、 y 轴分别交于点( a,0)，(0， b)，若| a| b|，则直线l 的方程为_解析：若 a b0，则直线 l 过(0,0)与(2,2)两点，直线 l 的斜率 k1，
10、直线 l 的方程为 y x，即 x y0.若 a0， b0，设直线 l 的方程为 1，xa yb由题意知Error!解得Error!此时，直线 l 的方程为 x y40.答案： x y0 或 x y403过点(10,10)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 4 倍的直线的方程为_解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为 x y0，满足题意当直线不经过原点时，设直线方程为 1，把点(10,10)代入可得 a ，故直线方程为 1，即x4a ya 152 x30 2y15x4 y300.综上所述，所求直线方程为 x y0 或 x4 y300.答案： x y0 或 x4 y300(二)交汇专练融
11、会巧迁移4与不等式交汇已知直线 l： kx y12 k0( kR)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B， O 为坐标原点，设 AOB 的面积为 S，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程解：(1)证明：直线 l 的方程可化为 y k(x2)1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定点(2,1)(2)直线 l 的方程为 y kx2 k1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k1，要使直线 l 不经过第四象限，则Error!解得 k0，故 k 的取值范围是 .0， )(3)依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为 ，在 y 轴上的截距为 12 k， A1 2kk， B(0,12 k)(1 2kk ， 0)- 6 -又 0， k0.1 2kk故 S |OA|OB| (12 k)12 12 1 2kk (44)4，12(4k 1k 4) 12当且仅当 4k ，即 k 时，取等号1k 12故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x2 y40.
