1、- 1 -课时跟踪检测(二十四) 函数 y Asin(x )的图象及三角函数模型的简单应用一、题点全面练1(2019益阳、湘潭调研)要得到函数 f(x)sin 2x， xR 的图象，只需将函数 g(x)sin ， xR 的图象( )(2x 3)A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 3 3C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 6 6解析：选 D 由于把函数 ysin 2x， xR 的图象向左平移 个单位，可得 ysin 6sin 的图象，故为了得到函数 f(x) sin 2x， xR 的图象，只需把 g(x)2(x 6) (2x 3)sin ， xR 的图象向右平移 个单位即可，故选 D.(
2、2x 3) 62.(2018济宁期末)函数 f(x) Asin(x ) 的部分图象如(A 0， 0， | | 2)图所示，则将 y f(x)的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( ) 6A ysin B ysin(2x23) (2x 6)C ysin 2 x D ycos 2 x解析：选 B 由题中图象知 A1，记函数 f(x)的最小正周期为 T，则 T 34 1112 6， T， 2，由 sin 1，| | 得34 (2 6 ) 2 ， ， f(x)sin ，将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后，得 3 2 6 (2x 6) 6到的图象对应的函数解析式为 ysin
3、sin ，故选 B.(2x 3 6) (2x 6)3.(2019赣州质检)设 0，函数 ysin( x )( )的图象向左平移个单位后，得到如图所示的图象，则 ， 的值为( ) 3- 2 -A 2， B 2， 23 3C 1， D 1， 3 23解析：选 A 函数 ysin( x )( )的图象向左平移 个单位后可得 3ysin .由函数的图象可知， ， T.根据周期公式可( x 3 ) T2 3 ( 6) 2得 2， ysin .由图知当 y1 时， x ，函数的图(2x 23) 12 ( 3 6) 12象过 ，(12， 1)sin 1. ， .故选 A.(56 ) 234(2019长沙模拟
4、)已知函数 f(x)2sin( x )1 ， f( )( 0， | | 2)1， f( )1，若| |的最小值为 ，且 f(x)的图象关于点 对称，则函数34 ( 4， 1)f(x)的单调递增区间是( )A. ， kZ 2 2k ， 2k B. ， kZ 2 3k ， 3k C. ， kZ 2k ，52 2k D. ， kZ 3k ，52 3k 解析：选 B 由题意可知 f(x)的最小正周期 T4| |min4 3，则343， ，2 23因为 f(x)的图象关于点 对称，( 4， 1)所以 2sin 11，即 sin 0.(23 4 ) ( 6 )- 3 -因为| | ，所以 ， 2 6则 f
5、(x)2sin 1.(23x 6)令 2k x 2 k ， kZ， 2 23 6 2解得 3k x3 k， kZ， 2所以函数 f(x)的单调递增区间是 ， kZ. 2 3k ， 3k 5.(2018福州三校联考)如图是函数 f(x) Asin(x ) 图(A 0， 0， | | 2)象的一部分，对任意的 x1， x2 a， b，且 x1 x2，若 f(x1) f(x2)，有 f(x1 x2)1，则 的值为( )A. B.12 6C. D. 4 3解析：选 B 从题图可得 A2， x1， x2关于函数 f(x)图象的对称轴是对称的，即直线x 是 f(x)图象的一条对称轴，且 f 2，可得 2s
6、in 2，可x1 x22 (x1 x22 ) (x1 x22 ) 得 2 k， kZ，(x1 x22 ) 2 f(x1 x2)1，2sin (x1 x2) 1，可得 (x1 x2) 2 k 或 2 k， kZ， 6 56令 k0，由得 或 ， 6 56| | ， . 2 66(2019湖北天门、仙桃、潜江联考)函数 f(x) Asin(x )(A0， 0)的图象如图所示，则 f(1) f(2) f(3) f(18)的值等于_- 4 -解析：由题图知 A2， 624，T2 T8，则 .28 4 f(x)2sin .( 4x )又函数图象过点(2,2)，2sin 2，( 42 ) 2 k( kZ)
7、， 2 2则 2 k( kZ)， f(x)2sin x. 4 f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(7) f(8)0， f(1) f(2) f(3) f(18)2 f(1)2 f(2)2 f(8) f(1) f(2) f(1) f(2) 2.2答案： 227设函数 f(x)2sin( x ) ，若 f 2， f 0，且 f(x)的( 0， | | 2) (58) (118 )最小正周期大于 2，则 _.解析：由 f(x)的最小正周期大于 2，得 .又 f 2， f 0，得T4 2 (58) (118 ) ，所以 T3，则 3 ，所以 f(x)2sin( x )2sin
8、T4 118 58 34 2 23.(23x )由 f 2sin 2sin 1，所以 2 k， kZ.(58) (2358 ) (512 ) 512 2又| | ，取 k0，得 . 2 12答案：128.(2019武汉调研)函数 f(x) Acos(x )( 0)的部分图象如图所示，给出以下- 5 -结论： f(x)的最小正周期为 2； f(x)图象的一条对称轴为直线 x ；12 f(x)在 ， kZ 上是减函数；(2k14， 2k 34) f(x)的最大值为 A.则正确的结论为_(填序号)解析：由题图可知，函数 f(x)的最小正周期 T2 2，故正确；因为函数 f(x)的(54 14)图象过
9、点 和 ，所以函数 f(x)图象的对称轴为直线 x k(kZ)，(14， 0) (54， 0) 12(14 54) kT2 34故直线 x 不是函数 f(x)图象的对称轴，故不正确；由图可知，当12 kT x kT(kZ)，即 2k x2 k (kZ)时， f(x)是减函数，故正确；14 T4 14 T4 14 34若 A0，则最大值是 A，若 A0，则最大值是 A，故不正确答案：9已知函数 f(x) Asin(x ) 的图象过点 P ，图象(A 0， 0， | | 2) (12， 0)上与点 P 最近的一个最高点是 Q .( 3， 5)(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的
10、单调递增区间解：(1)依题意得 A5，周期 T4 ， 2.( 3 12) 2故 f(x)5sin(2 x )，又图象过点 P ，5sin 0，(12， 0) ( 6 )由已知可得 k， kZ， 6| | ， ， f(x)5sin . 2 6 (2x 6)- 6 -(2)由 2 k2 x 2 k， kZ， 2 6 2得 k x k， kZ， 6 3故函数 f(x)的单调递增区间为 (kZ)k 6， k 310设函数 f(x)sin sin ，其中 0 3，且 f 0.( x 6) ( x 2) ( 6)(1)求 ；(2)将函数 y f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，
11、再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 上的最小值 4 4， 34解：(1)因为 f(x)sin sin ，( x 6) ( x 2)所以 f(x) sin x cos x cos x32 12 sin x cos x32 32 3(12sin x 32cos x) sin .3 ( x 3)因为 f 0，所以 k， kZ.( 6) 6 3故 6 k2， kZ.又 0 3，所以 2.(2)由(1)得 f(x) sin ，3 (2x 3)所以 g(x) sin sin .3 (x 4 3) 3 (x 12)因为 x ，所以 x ， 4， 34 12 3， 2
12、3当 x ，即 x 时， g(x)取得最小值 .12 3 4 32二、专项培优练(一)交汇专练融会巧迁移1与新定义交汇定义运算 ad bc.将函数 f(x)|a bc d|的图象向左平移 ( 0)个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值|3 sin x1 cos x|- 7 -为( )A. B. 3 76C. D. 6 56解析：选 D f(x) cos xsin x2cos ，向左平移 个单位得|3 sin x1 cos x| 3 (x 6)到 y2cos ，由题意知 y2cos 是偶函数，所以 k( kZ)，(x 6 ) (x 6 ) 6即 k (kZ)因为 0，所以当 k1 时，
13、的最小值为 . 6 562与立体几何交汇如图，将绘有函数 f(x) sin ( 0)部分图象的纸片3 ( x56)沿 x 轴折成直二面角，若 A， B 之间的空间距离为 ，则 f(1)( )10A1 B1C D.32 32解析：选 D 由题设并结合图形可知AB 3 2 3 2 (T2)22 6 T24 ，得 4，则 ，6 2 2 10 2 2 2所以函数 f(x) sin ，3 ( 2x 56)所以 f(1) sin sin .3 ( 2 56) 3 3 323.与导数交汇已知函数 f(x)sin( x ) 的导函数 y f( x)的( 0， | | 2)部分图象如图所示，且导函数 f( x)
14、有最小值2，则 _， _.解析： f( x) cos( x )，由题图可知 2，则 f( x)2cos(2 x )又- 8 -f 2cos 1，且| | ，所以 .( 6) (2 6 ) 2 3答案：2 3(二)素养专练学会更学通4.数学运算函数 f(x) Asin(x ) 的部分图象如图所(A 0， 0， | | 2)示(1)求函数 f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程 f(x)2cos a 有实数解，求 a 的取值范围(4x 3)解：(1)由图可得 A2， ，T2 23 6 2所以 T，所以 2.当 x 时， f(x)2，可得 2sin 2， 6 (2 6 )因为| |
15、，所以 . 2 6所以函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin .(2x 6)令 2x k( kZ)，得 x (kZ)， 6 k2 12所以函数 f(x)图象的对称中心为 (kZ)(k2 12， 0)(2)设 g(x) f(x)2cos ，(4x 3)则 g(x)2sin 2cos(2x 6) (4x 3)2sin 2 ，(2x 6) 1 2sin2(2x 6)令 tsin ， t1,1，(2x 6)记 h(t)4 t22 t24 2 ，(t14) 94因为 t1,1，- 9 -所以 h(t) ， 4，94即 g(x) ，故 a . 4，94 4， 94故 a 的取值范围为 . 4，945数
16、学建模、数学运算已知某海滨浴场的海浪高度 y(m)是时间 t(0 t24，单位：h)的函数，记作 y f(t)下表是某日各时的浪高数据：t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测， y f(t)的曲线可近似地看成是函数 y Acos t b(A0， 0)的图象根据以上数据，(1)求函数 f(t)的解析式；(2)求一日(持续 24 小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过 1.25 m 的时间解：(1)由表格得Error!解得Error!又因为 T12，所以 ，212 6故 y f(t) cos t1.12 6(2)由题意，令 cos t11.25，12 6即 cos t ， 6 12又因为 t0,24，所以 t0,4， 6故 0 t 或 t 或 t4， 6 3 53 6 73 113 6即 0 t2 或 10 t14 或 22 t24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过 1.25 m 的时间为 8 小时- 10 -
