1、- 1 -课时跟踪检测(三十六) 等比数列及其前 n 项和一、题点全面练1(2019武汉联考)已知 an为等比数列， a4 a72， a5a68，则 a1 a10等于( )A7 B5C5 D7解析：选 D 由Error!解得Error!或Error!Error!或Error! a1 a10 a1(1 q9)7.2设 an是由正数组成的等比数列， Sn为其前 n 项和已知 a2a41， S37，则 S5等于( )A. B.152 314C. D.334 172解析：选 B 设数列 an的公比为 q，则显然 q1，由题意得Error!解得Error! 或Error!(舍去)， S5 .a1 1 q
2、51 q4(1 125)1 12 3143(2018邵阳二模)设 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若 3，则 ( )S4S2 S6S4A2 B.73C. D1 或 2310解析：选 B 设 S2 k， S43 k，数列 an为等比数列， S2， S4 S2， S6 S4也为等比数列，又 S2 k， S4 S22 k， S6 S44 k， S67 k， ，故选 B.S6S4 7k3k 734(2018安庆二模)数列 an满足： an1 a n1( nN *， R 且 0)，若数列an1是等比数列，则 的值等于( )A1 B1C. D212解析：选 D 由 an1 a n1，得 an1 1 a
3、 n2 .由于数列 an1是(an2 )- 2 -等比数列，所以 1，得 2.25一个等比数列的前三项的积为 3，最后三项的积为 9，且所有项的积为 729，则该数列的项数是( )A13 B12C11 D10解析：选 B 设该等比数列为 an，其前 n 项积为 Tn，则由已知得a1a2a33， an2 an1 an9，( a1an)3393 3， a1an3，又Tn a1a2an1 an anan1 a2a1， T ( a1an)n，即 72923 n，2n n12.6(2019重庆调研)在各项均为正数的等比数列 an中，若 a55，则log5a1log 5a2log 5a9_.解析：因为数列
4、 an是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1a9 a2a8 a3a7 a4a6 a 5 2，则25log5a1log 5a2log 5a9log 5(a1a2a9)log 5(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5log 5a log 5599.95答案：97设各项都是正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S1010， S3070，那么S40_.解析：易知 S10， S20 S10， S30 S20， S40 S30成等比数列，因此有( S20 S10)2 S10(S30 S20)，即( S2010) 210(70 S20)，故 S2020 或 S2030
5、.又 S200，所以S2030， S20 S1020， S30 S2040，故 S40 S3080，所以 S40150.答案：1508在等比数列 an中，若 a1 a2 a3 a4 ， a2a3 ，则158 98 _.1a1 1a2 1a3 1a4解析： .1a1 1a2 1a3 1a4 a1 a4a1a4 a2 a3a2a3在等比数列 an中， a1a4 a2a3，原式 .a1 a2 a3 a4a2a3 158 ( 89) 53答案：539(2018全国卷)等比数列 an中， a11， a54 a3.(1)求 an的通项公式；- 3 -(2)记 Sn为 an的前 n 项和若 Sm63，求 m
6、.解：(1)设 an的公比为 q，由题设得 an qn1 .由已知得 q44 q2，解得 q0(舍去)或 q2 或 q2.故 an(2) n1 或 an2 n1 .(2)若 an(2) n1 ，则 Sn .1 2 n3由 Sm63，得(2) m188，此方程没有正整数解若 an2 n1 ，则 Sn 2 n1.1 2n1 2由 Sm63，得 2m64，解得 m6.综上， m6.10已知数列 an的首项 a10， an1 (nN *)，且 a1 .3an2an 1 23(1)求证： 是等比数列，并求出 an的通项公式；1an 1(2)求数列 的前 n 项和 Tn. 1an解：(1)证明：记 bn
7、1，则 1an bn 1bn1an 1 11an 12an 13an 11an 1 2an 1 3an3 3an ，1 an3 1 an 13又 b1 1 1 ，1a1 32 12所以 是首项为 ，公比为 的等比数列1an 1 12 13所以 1 n1 ，即 an .1an 12 (13) 23n 11 23n 1所以数列 an的通项公式为 an .23n 11 23n 1(2)由(1)知， 1 n1 ，1an 12 (13)即 n1 1.1an 12 (13)所以数列 的前 n 项和1an- 4 -Tn n n.12(1 13n)1 13 34(1 13n)二、专项培优练(一)易错专练不丢怨
8、枉分1各项均为正数的等比数列 an中，若 a11， a22， a33，则 a4的取值范围是_解析：设 an的公比为 q，则根据题意得 q ，a2a1 a3a2 q2， a4 a3q ， a4 a2q28， a4 .32 92 92， 8答案： 92， 82已知四个数成等比数列，其积为 1，第二项与第三项之和为 ，求这四个数32解：设这四个数依次为 a， aq， aq2， aq3，则由题意知，Error!得Error!把 a2q2 代入，得 q2 q10，此方程无解；1q 14把 a2q2 代入，得 q2 q10，1q 174解此方程得 q 或 q4.14当 q 时， a8；当 q4 时， a
9、.14 18所以这四个数为 8，2， 或 ，2,8.12 18 1812(二)交汇专练融会巧迁移3与方程交汇在等比数列 an中，若 a3， a7是方程 x24 x20 的两根，则 a5的值是( )A2 B 2C D.2 2解：选 B 根据根与系数之间的关系得 a3 a74， a3a72，由a3 a740， a3a70，得 a30， a70，即 a50，由 a3a7 a ，得 a5 .25 a3a7 2故选 B.4与集合交汇设 an是公比为 q 的等比数列，| q|1，令 bn an1( n1,2，)，若数列 bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则 q 等于( )- 5 -A B
10、.12 12C D.32 32解：选 C bn有连续四项在53，23,19,37,82中且 bn an1，即 an bn1，则an有连续四项在54，24,18,36,81中 an是等比数列，等比数列中有负数项， q0，且负数项为相隔两项，又| q|1，等比数列各项的绝对值递增按绝对值由小到大的顺序排列上述数值 18，24,36，54，81，相邻两项相除 ， ， ， ，则可得 2418 43 36 24 32 5436 32 81 54 3224,36，54,81 是 an中连续的四项 q .325与等差数列的交汇已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的各项均为正数，公比是 q
11、，且满足： a13， b11， b2 S212， S2 b2q.(1)求 an与 bn；(2)设 cn3 bn 2 ( R)，若数列 cn是递增数列，求 的取值范围na3解：(1)由已知可得Error!所以 q2 q120，解得 q3 或 q4(舍去)，从而 a26，所以 an3 n， bn3 n1 .(2)由(1)知， cn3 bn 2 3 n 2n.a由题意，知 cn1 cn对任意的 nN *恒成立，即 3n1 2n1 3 n 2n恒成立，亦即 2n23 n恒成立，即 2 n对任意的 nN *恒成立(32)由于函数 y n在1，)上是增函数，(32)所以 min2 3，2(32)n 32故
12、 3，即 的取值范围是(，3)(三)素养专练学会更学通6逻辑推理已知数列 an是等比数列， a1， a2， a3依次位于下表中第一行、第二行、- 6 -第三行中的某一格内，又 a1， a2， a3中任何两个都不在同一列，则 an_( nN *).第一列 第二列 第三列第一行 1 10 2第二行 6 14 4第三行 9 18 8解析：观察题中的表格可知 a1， a2， a3分别为 2,6,18，即 an是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an23 n1 .答案：23 n17数学建模一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存 64 MB(1 MB2 10 KB)解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列 an，且a12， q2， an2 n，2 n642 102 16， n16，即病毒共复制了 16 次所需时间为 16348(分钟)答案：48
