1、- 1 -课时跟踪检测(三十二) 三角函数与平面向量的难点问题集释1在非等边三角形 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a 为最大边，如果 sin2(B C)sin 2Bsin 2C，则角 A 的取值范围为( )A. B.(0， 2) ( 4， 2)C. D( 6， 3) ( 3， 2)解析：选 D 由题意得 sin2Asin 2Bsin 2C，由正弦定理得 a2b 2c 2，即b2c 2a 20，则 cos A 0.因为 0 A ，所以 0 A ，又 a 为最大边，b2 c2 a22bc 2所以 A ，即角 A 的取值范围为 . 3 ( 3， 2)2已知 ABC
2、 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，b，c，且 sin Asin B，b ，则 ABC 的面积的最大值为( )c sin A sin Ca b 3A. B.334 34C. D332 32解析：选 A 根据正弦定理由 sin Asin B ，可得 abc sin A sin Ca b，得 a2b 2c(ac)，即 a2c 2b 2ac，故 cos c a ca b a2 c2 b22ac 12B， B(0，)， B .又由 b ，可得 a2c 2ac3，故 a2c 2ac32ac，即 3 3ac3，当且仅当 ac 时取等号，故 ac 的最大值为 3，这时 ABC 的面积取得最大值，3为
3、 3sin .12 3 3343在钝角 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c， B 为钝角，若 acos Absin A，则 sin Asin C 的最大值为( )A. B.298C1 D78解析：选 B acos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又 B 为钝角， B A ，sin Asin Csin Asin( A B) 2- 2 -sin Acos 2 Asin A12sin 2A2 2 ，(sin A14) 98sin Asin C 的最大值为 .984已知 ABC 的内角 A， B， C
4、 的对边分别为 a，b，c.若 abcos Ccsin B，且 ABC的面积为 1 ，则 b 的最小值为( )2A2 B.3C. D2 3解析：选 A 由 abcos Ccsin B 及正弦定理，得 sin Asin Bcos Csin Csin B，即 sin(B C)sin Bcos Csin Csin B，得 sin Ccos Bsin Csin B，又 sin C0，所以 tan B1. 因为 B(0， )，所以 B .由 S ABC acsin B1 ，得 ac2 4. 4 12 2 2又 b2a 2c 22accos B2ac ac(2 )(42 )4，当且仅当 ac 时等号成立，
5、2 2 2所以 b2，b 的最小值为 2，故选 A.5(2019合肥质检)在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C若 a ，则 b2c 2的取值范围是( )3A(5,6 B.(3,5)C(3,6 D5,6解析：选 A 由正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)c，即 b2c 2a 2bc，所以 cos A ，则 A .又 2，所以 b2c 24(sin 2Bsin 2C)b2 c2 a22bc 12 3 bsin B csin C asin 34sin 2Bsin 2(A B)4 sin 2Bcos 1 cos
6、2B2 1 cos2 A B 2 32B42sin 4.又 ABC 是锐角三角形，所以 B ，所以 2B (2B 6) ( 6， 2) 6.所以 b2c 2的取值范围是(5,6( 6， 56)6.如图， ABC 是边长为 2 的正三角形， P 是以 C 为圆心，半径为31 的圆上任意一点，则 的取值范围是( )AP BP A1,13 B.(1,13)C(4,10) D4,10解析：选 A 取 AB 的中点 D，连接 CD， CP，则 2 ，CA CB CD 所以 ( )( ) 2 AP BP CP CA CP CB CA CB CD - 3 -1(2 )2cos 231cos ， 176cos
7、 ， ，所以当CP 3 3 CD CP CD CP cos ， 1 时， 取得最小值为 1；当 cos ， 1 时，CD CP AP BP CD CP 取得最大值为 13，因此 的取值范围是1,13AP BP AP BP 7已知 Rt ABC 中， AB3， BC4， AC5， I 是 ABC 的内心， P 是 IBC 内部(不含边界)的动点，若 ( ， R)，则 的取值范围是( )AP AB AC A. B.(23， 1) (23， 2)C. D(2,3)(712， 1)解析：选 A 以 B 为原点， BA， BC 所在直线分别为 x， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0,0)，
8、 A(3,0)， C(0,4)设 ABC 的内切圆的半径为r，因为 I 是 ABC 的内心，所以(534) r43，解得 r1，所以I(1,1)设 P(x， y)，因为点 P 在 IBC 内部(不含边界)，所以 0 x1.因为(3,0)， (3,4)， ( x3， y)，且 AB AC AP AP AB ，所以Error! 得Error! 所以 1 x，又 0 x1，所以 ，故选 A.AC 13 (23， 1)8(2019唐山模拟)在 ABC 中，( 3 ) ，则角 A 的最大值为AB AC CB _解析：因为( 3 ) ，所以( 3 ) 0，即AB AC CB AB AC CB ( 3 )(
9、 )0，整理得 24 3 20，即 cos AAB AC AB AC AB AC AB AC 2 ，当且仅当| | | |时等号成立因为 0 A，316 32 AB 3 AC 所以 0 A ，即角 A 的最大值为 . 6 6答案： 69(2018沈阳质监)已知 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边分别为 a，b，c，面积为S，且满足 4Sa 2(bc) 2，bc8，则 S 的最大值为_解析：由题意得，4 bcsin Aa 2b 2c 22bc，又 a2b 2c 22bccos A，代入上式12得，2bcsin A2bccos A2bc，即 sin Acos A1， sin 1.0 A，2
10、 (A 4)- 4 - A ， A ， A ， S bcsin A bc.又 bc82 ，当且仅 4 4 54 4 34 2 12 12 bc当 bc 时取“” ，bc16， S 的最大值为 8.答案：810.如图，在 Rt ABC 中， AB AC， BC4， O 为 BC 的中点，以 O 为圆心，1 为半径的半圆与 BC 交于点 D， P 为半圆上任意一点，则 BP 的最小值为_AD 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(2,0)， A(0,2)，D(1,0)，设 P(x， y)，故 ( x2， y)， (1，2)，所以BP AD x2 y2.令 x2 y2 t，根据直线的几何意义可
11、知，BP AD 当直线 x2 y2 t 与半圆相切时， t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得1， t2 ，即 的最小值是 2 .|2 t|5 5 BP AD 5答案：2 511(2019长沙长郡中学月考)已知 F 是抛物线 y24 x 的焦点，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 4(其中 O 为坐标原点)，则 ABO 面积的最小值是OA OB _解析：不妨设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， y10，由 4，即 x1x2 y1y24OA OB 得 y y y1y24，得 y1y28.所以 S ABO |x1y2 x2y1| y1 y2|4 ，当116212 12 2
12、y12 ， y22 时取等号，故 ABO 面积的最小值为 4 .2 2 2答案：4 212(2018武汉调研)在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a，b，c，满足 cos 2Acos 2 B2cos cos 0.( 6 B) ( 6 B)(1)求角 A 的值；(2)若 b 且 ba，求 a 的取值范围3解：(1)由 cos 2Acos 2 B2cos cos 0，( 6 B) ( 6 B)得 2sin2B2sin 2A2 0，(34cos2B 14sin2B)化简得 sin A ，又 ABC 为锐角三角形，故 A .32 3- 5 -(2)b a，ca， C ， B ，3 3 2 6 3 sin B .12 32由正弦定理 ，得 ，a ，asin A bsin B a32 3sin B 32sin B由 sin B 得 a ，3)(12， 32 3故 a 的取值范围为 ，3)3
