1、- 1 -第 9 讲 二次函数与幂函数夯实基础 【p 22】【学习目标】1熟练掌握二次函数的概念、图象、性质及其与一元二次方程、一元二次不等式的联系2了解幂函数的概念，结合函数 yx，yx 2，yx 3，y ，yx 的图象了解它们的1x 12 变化情况【基础检测】1函数 y 2 的顶点坐标是( )12(x 1)2 A(1，2)B(1，2)C(1，2)D(1，2)【解析】y 2 2，12(x 1)2 12x ( 1)2 顶点坐标是(1，2)【答案】C2幂函数 yf(x)的图象经过点(2，4)，则该幂函数的解析式为( )Ay2 xByx 2Cyx2Dy2x【解析】设 f(x)x ，其图象过点(2，
2、4)，2 4，2，即 f(x)x 2.故选 B.【答案】B3已知函数 f x 22ax3 在区间 上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为( )(x) 1， 2A. B.( ， 1) ( ， 1C. D.(2， ) 2， )【解析】函数 f(x)x 22ax3 的图象开口向上，对称轴为直线 xa，画出草图如图所示由图象可知，函数在a，)上是单调增函数，因此要使函数 f(x)在区间1，2上是- 2 -单调增函数，只需 a1，从而 a(，1故选 B.【答案】B4若幂函数 f xm1 在区间 上是增函数，则实数 m 的值为(x) (m2 m 1) (0， )_【解析】由于函数为幂函数，故 m2m11
3、，解得 m2，m1，当 m1 时，函数在 为减函数，故 m2.(0， )【答案】2【知识要点】1五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质 yx yx 2 yx 3 yx12yx 1图象定义域 R R R _x|x0_ _x|x0_值域 R _y|y0_ R _y|y0_ _y|y0_奇偶性 _奇_ _偶_ _奇_ _非奇非偶 _ _奇_单调性 _增_(，0)减，(0，)增_增_ _增_(，0)和(0，)减_公共点 (1，1)- 3 -2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)_ax 2bxc(a0)_；(2)顶点式：f(x)_a(xm) 2n(a0)_；(3)零点式：f(x)_a(xx
4、1)(xx 2)(a0)_3二次函数的图象和性质f(x)ax 2bxc a0 a2，选项 A 不合题意，可排除选项 A，故选 C.【答案】C(2)已知幂函数 f(x)x 的图象过点(4，2)若 f(m)3，则实数 m 的值为( )A. B C9D93 3【解析】依题意有 24 ，得 ，所以 f(x)x ，12 12 当 f(m)m 3 时，m9.12【答案】D(3)已知幂函数 yf(x)的图象经过点 ，且 f(a1) 102a0，解不等式得实数 a 的取值范围是 .(3， 5)【答案】D(4)设 a ，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系是_(35)25 (25)35 (25)25 【解析】
5、yx (x0)为增函数，ac.25y (xR)为减函数， cb.(25)x acb.【答案】 acb【小结】(1)幂函数的形式是 y x ( R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)若幂函数 y x ( R)是偶函数，则 必为偶数当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断(3)若幂函数 y x 在(0，)上单调递增，则 0；若在(0，)上单调递减，则 1)(1)若 f 的定义域和值域均是 ，求实数 a 的值；(x) 1， a(2)若 f 在区间 上是减函数，且对任意的 x ，都有 f 0，求实(x) ( ， 2 1， a 1 (x)数 a 的取值范围【解析】(1)f x
6、22ax5 ，(x) (x a)2 (5 a2)f 在 上单调递减，又 a1，(x) ( ， af 在 上单调递减，(x) 1， a- 6 - a2.f(1) a，f(a) 1， ) 1 2a 5 a，a2 2a2 5 1， )(2)f 在区间 上是减函数，(x) ( ， 2 ，( ， 2 ( ， aa2. ，f f ，|1 a| |(a 1) a| (1) (a 1)x 时，f f ，1， a 1 (x)max (1)又对任意的 x ，都有 f 0，1， a 1 (x)f 0，即 12a50，a3.(1)【小结】涉及二次函数的图象与性质要抓住开口、对称轴、与坐标轴的交点考点 4 二次函数的最
7、值求法已知函数 f x 2 x3.例 4 (x) (2a 1)(1)当 a2，x 时，求函数 f 的值域； 2， 3 (x)(2)若函数 f 在1，3上的最大值为 1，求实数 a 的值(x)【解析】(1)当 a2 时，f x 23x3，x ，对称轴 x ，(x) 2， 332 2， 3f f ，f f 15，(x)min ( 32) 214 (x) max (3)函数 f 的值域为 .(x) 214， 15(2)函数 f 的对称轴为 x .(x)2a 12当 1，即 a 时，f f 6a3，2a 12 12 (x) max (3)6a31，即 a ，满足题意；13当 1，即 a0，且方程 ax
8、2(b2)xc0 的两根为1 和 2，即 a b 2 c 0，4a 2b 4 c 0， ) b 2 a，c 2a， )f(x)ax 2(2a)x2a(a0)(1)方程 f(x)3a0 有两个相等的实根，即 ax2(2a)xa0 有两个相等的实根，(2a) 24a 203a 24a40, a2(舍)或 a ，23a0，a ，f(x) x2 x .23 23 43 43(2)f(x)ax 2(2a)x2aa ，(x2 a2a)2 8a2 （ 2 a） 24aa0，f(x)的最小值为 ， 8a2 （ 2 a） 24a则 3a，3a 24a40， 8a2 （ 2 a） 24a解得2a ，23a0，01
9、， （ x 1） ， x1 时， (x)2，当 x2，所以 (x)2，故此时 a2.综合，得所求实数 a 的取值范围是(，2(2)h(x) x2 ax a 1， 0 x2，即 a4 时，( x2 ax a1) max h(1)0，a2(x2 ax a1) max h(1)0.此时 h(x)max0.综上， h(x)max 3 a， a 3，0， a 3. )方法总结 【p 24】1二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想、方法将它们进行适当的转化，这是准确迅速解决此类问题的关键2对二次函数 y ax2 bx c(a0)在 m， n上的
10、最值的研究是本讲内容的重点，对如下结论必须熟练掌握：(1)当 x m， n时， 是它的一个最值，另一个最值在区间端点取得b2a 4ac b24a(2)当 x m， n时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得b2a(3)二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想3二次函数 f(x) ax2 bx c(a0)，当 a0 且 0 时 f(x)0 恒成立；当 a0且 0 时 f(x)0 恒成立- 9 -4二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化走进高考 【p 24】1(2017浙江)若函数 f(x) x2 ax b 在区间0，1上的最大值是 M，最小值是 m，则 M m( )A与 a 有关，且与 b 有关B与 a 有关，但与 b 无关C与 a 无关，且与 b 无关D与 a 无关，但与 b 有关【解析】因为最值在 f(0) b， f(1)1 a b， f b 中取，所以最值之差一(a2) a24定与 b 无关，选 B.【答案】B
