1、16.2 等差数列挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2016 天津 ,18等差数列的定义、等差数列的通项公式等比数列的性质、用放缩法证明不等式2014 天津 ,11 等差数列的前 n 项和 等比中项1.等差数列的有关概念及运算1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式3.了解等差数列与一次函数的关系2012 天津 ,18 等差数列的通项公式数列求和、数学归纳法2.等差数列的性质及其应用1.能利用等差数列的性质解决相应的问题2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题2011 天津文 ,11等差数列的性质
2、等差数列前 n项和的应用分析解读 从天津高考的情况来看,本节一直是高考的热点,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中的分值约为 5 分,属于中低档题,以选择题、填空题的形式出现.破考点【考点集训】考点一 等差数列的有关概念及运算1.已知等差数列a n满足 a1=1,an+2-an=6,则 a11等于( )A.31 B.32 C.61 D.62答案 A 22.(2013 课标,7,5 分)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( )A.3 B.4 C.5 D.6答案 C 3.已知等差数列
3、a n一共有 9 项,前 4 项和为 3,最后 3 项和为 4,则中间一项的值为( )A. B. C.1 D.1720 5960 6766答案 D 考点二 等差数列的性质及其应用4.在等差数列a n中,a 1+3a8+a15=120,则 a2+a14的值为( )A.6 B.12 C.24 D.48答案 D 5.在等差数列a n中,a 1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn表示a n的前 n 项和,则使 Sn取得最大值时 n 的值为( )A.21 B.20 C.19 D.18答案 B 炼技法【方法集训】方法 1 等差数列的基本运算技巧1.数列a n为递增的等差数列,a 1=f(
4、x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中 f(x)=x2-4x+2,则数列a n的通项公式为( )A.an=n-2 B.a n=2n-4 C.a n=3n-6 D.a n=4n-8答案 B 2.在等差数列a n中,2(a 1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则 S13+2a7=( )A.17 B.26 C.30 D.56答案 C 3.(2018 上海,6,4 分)记等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a3=0,a6+a7=14,则 S7= . 答案 14方法 2 等差数列的判定方法4.(2014 陕西,14,5 分)已知 f(x)= ,x0,若 f1(x)=f(x),fn+1
5、(x)=f(fn(x),nN +,则x1+xf2014(x)的表达式为 . 3答案 f 2014(x)=x1+2014x5.已知数列a n满足 a1= ,且 an+1= .12 2an2+an(1)求证:数列 是等差数列;1an(2)若 bn=anan+1,求数列b n的前 n 项和 Sn.解析 (1)证明:a n+1= , = ,2an2+an 1an+12+an2an - = ,1an+11an12数列 是以 2 为首项, 为公差的等差数列.1an 12(2)由(1)知 an= ,b n= =4 ,2n+3 4(n+3)(n+4) (1n+3- 1n+4)S n=4(14-15)+(15-
6、16)+(1n+3- 1n+4)=4 = .(14- 1n+4) nn+4方法 3 等差数列前 n 项和的最值问题的求解方法6.(2014 江西,13,5 分)在等差数列a n中,a 1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时Sn取得最大值,则 d 的取值范围为 . 答案 (-1,-78)7.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,a3+a8+a13=C,a4+a14=2C,其中 C0 B.d0 D.a 1d0 的等差数列a n的四个命题:p1:数列a n是递增数列;p2:数列na n是递增数列;p3:数列 是递增数列;annp4:数列a n+3nd是递增数列.其中的真命题
7、为( )A.p1,p2 B.p 3,p4 C.p 2,p3 D.p 1,p4答案 D 3.(2015 陕西,13,5 分)中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为 . 答案 5【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2019 届天津河西期中,2)在等差数列a n中,a 1=2,a3+a5=10,则 a7=( )A.5 B.8 C.10 D.14答案 B 2.(2018 天津一中 5 月月考,4)已知数列a n是等差数列,m,p,q 为正整数,则“p+q=2m”是“ap+aq=2am”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充
8、要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 3.(2017 天津一中 5 月月考,5)在等差数列a n中,a 3+a6+a9=54,设数列a n的前 n 项和为 Sn,则 S11=( )A.18 B.99 C.198 D.2978答案 C 4.(2017 天津实验中学模拟,5)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且 2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则 S11=( )A.66 B.55 C.44 D.33答案 D 5.(2017 天津南开三模,7)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S5=55,则过点P(n,an),Q(n+2,an+2)(nN *)的
9、直线的斜率为( )A.4 B. C.-4 D.-14 14答案 A 6.(2018 天津南开二模,7)已知 Sn是数列a n的前 n 项和,a 1=2,a2=4,a3=6,数列a n+an+1+an+2是公差为 2 的等差数列,则 S25=( )A.233 B.282 C.466 D.650答案 B 7.(2019 届天津耀华中学统练(2),7)在等差数列a n中,其前 n 项和是 Sn,若 S150,S16k2- 0(kN *),14 ,kN *,1k2 1k2-14 =2 ,1k2 44k2-1 ( 12k-1- 12k+1) = + + + 1+2 +2 +2 =1+2 = -nk=11
10、Sk112122132 1n2 (13-15) (15-17) ( 12k-1- 12k+1) (13- 12k+1)53 ,22k+15310 .nk=11Sk53解题分析 本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式,考查数列不等式的证明,涉及裂项相消法、放缩法等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想,属中档题.12.(2018 天津河西三模,18)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,数列 是首项为 1,公差为 2 的Snn等差数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)设数列b n满足 + + =5-(4n+5) ,求数列b n的前 n 项和 Tn.a1b1a2b2
11、 anbn (12)n解析 (1)由数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,得 =1+2(n-1)=2n-1,则有 Sn=n(2n-Snn Snn1)=2n2-n.当 n=1 时,a 1=S1=1,当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=4n-3,a1=1 符合 an=4n-3,故 an=4n-3,nN *.(2)根据题意,数列b n满足+ + =5-(4n+5) ,a1b1a2b2 anbn (12)n当 n=1 时, =5-(4+5) = ,而 a1=1,则 b1=2,a1b1 1212易知 + + =5-(4n+1) (n2),a1b1a2b2 an-1bn-1 (12)n-1-可得 =(4n-3) ,anbn (12)n又 an=4n-3,所以 bn=2n(n2),又 b1=2 符合 bn=2n,则 bn=2n(nN *),故数列b n是首项为 2,公比为 2 的等比数列,则 Tn= =2n+1-2,nN *.2(1-2n)1-2
