1、2018 届四川省泸县第二中学高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 有 ，所以集合 ，由 有 ，所以集合，则 ，选 A.2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】已知 ，则“ 等价于 。 等价于 故则“ ”是“ ”的必要不充分条件。故答案为：B。3. 若复数 （ ，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A. -6
2、B. -2 C. D. 6【答案】A【解析】由题意得 ， 复数是纯虚数， ，解得 选 A4. 下列程序框图中，输出的 的值是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由程序框图知：第一次循环后 2第二次循环后 3第三次循环后 4第九次循环后 10不满足条件 ，跳出循环则输出的 为 故选 B5. 圆 与圆 的位置关系是 （ ）A. 内含 B. 外离 C. 外切 D. 相交【答案】B【解析】圆 的标准方程即： ，圆 的标准方程即： ，两圆的圆心距为： ，两圆的半径为： ，满足 ，故两圆外离 .本题选择 B 选项.点睛：(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的
3、关系，一般不采用代数法(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长6. 已知点 P 是边长为 4 的正方形内任一点，则 P 到四个顶点的距离均大于 2 的概率是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选 C。7. 已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ， ，则 ，由分段和性质可知， 呈等比关系，则 ，所以 ，所以 ，故选 B。点睛：本题考查数列的性质应用。本题中主要考察数列的分段和性质，由分段和性
4、质可知，呈等比关系，由 ， ，得 ，求得答案。8. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个单位长度，得到函数的图象，则 图象的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，得到 ，所以，令 ， ，所以当 ，选 C.点睛：本题主要考查了函数 图象的变换规律，函数 的对称轴问题，属于中档题。9. 已知三棱锥 中，侧面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】建系以 AB 为 x 轴，以 AC 为 y 轴，以 A 点为原点，建系，球心一定在底面三角形 ABC 的外心的正上方，设
5、球心点坐标为 O（2，2，z）,P(0,3,1),C(0,4,0),根据球心的定义知|OC|=|OP|即 故圆心为 ，半径为 OC=3 表面积为 36 .故答案为：D.点睛：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。10. 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB1 ，AC2，BC ，D，E 分别是 AC1 和 BB1 的中点，则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 （ ）A. 30 B. 4
6、5 C. 60 D. 90【答案】A【解析】由已知 AB2 BC2 AC2，则 AB BC.分别以 BC， BA， BB1为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设 AA12 a，则 A(0,1,0)， C( ，0,0)， D ， E(0,0， a)，所以 ，平面 BB1C1C 的一个法向量为 n(0,1,0)， . . . . . . .cos ， n ， ， n60 ，所以直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 30.故选 A.点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角(2)若求线面角的余弦值，要注意利
7、用平方关系 sin2cos 21 求出其值不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求11. 在 中， ， ， 的交点为 ，过 作动直线分别交线段 于 两点，若 ， ， （ ） ，则 的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 A,M,D 三点共线可知，存在实数 t，使得 ,同理由 C,M,B 三点共线，存在实数 m，使得 ,所以有 ，解得 ，所以,设 ，所以 ，所以 ，即，所以 的最小值为 ，选 D.点睛：本题主要考查平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，属于中档题。12. 已知偶函数 的导函数为 ,且满足 ,当 时, ,则使 成
8、立的 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ，则当 时，总有 成立，即当 时，当 时，函数 在 上单调递减函数 为偶函数，且函数 为偶函数， 在 上的函数值大于零，即 在 上的函数值大于零故选 B构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有 与 的积或商， 与 的积或商， 与 的积或商， 与的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式.二、填空题（本大题共 4 个小题，5 分每题，共 20 分13
9、. 若 ，且 ，则 _.【答案】【解析】由诱导公式有 ，且 ， ，则。点睛：本题主要考查三角函数的诱导公式和同角三角函数公式，属于基础题。14. 设曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线垂直，则点 的横坐标为_【答案】【解析】 ， ，则 ，则 ，得 。点睛：本题考查导数的应用。本题中，考查导数的切线应用，导数的几何意义就是切线的斜率，所以求得，则由题可知 ，解得 。15. 已知实数 ， 满足 则 的取值范围为_【答案】【解析】作出不等式组 所表示的平面区域如图阴影部分所示，由图可知，平移直线 ，当直线过点 时，有最小值 ，当直线 过点 时， 有最大值 ，故 的取值范围是，故答案为 .【方法
10、点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 从随圆 （ ）上的动点 作圆 的两条切线，切点为 和 ，直线 与 轴和轴的交点分别为 和 ，则 面积的最小值是_【答案】【解析】设 直线 和 的方程分别为 , .因为点 在和 上,所以 , .可知 , 两点坐标满足方程 ,所以直线的方程为 ,可得直线 与 轴和 轴的交点分别为 和
11、 ,所以 的面积是因为 ,又 ,所以 所以当且仅当 时, 面积取得最小值 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，在 中，点 在 边上，且 ， ， ， .（）求 的值；（）求 的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)由题意可知， ，设 ，则 ， .利用余弦定理即可求出的值； (2) 在 中，由 ，得 ，故 ，在 中，由正弦定理可得： ，从而得到 的值.试题解析：（）如图所示， ，故 ，设 ，则 ， .在 中，由余弦定理,即 ，解得 ， .（）在 中，由 ，得 ，故，在 中，由正弦定理，即 ，故 ，由 ，得 ，.18. 北京时间 3 月 15 日下午，谷
12、歌围棋人工智能 与韩国棋手李世石进行最后一轮较量， 获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格 .人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了 100 名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示） ，将日均学习围棋时间不低于 40 分钟的学生称为“围棋迷”.（）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有 的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷 围棋迷 合计男女 10 55合计（）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名学生，抽取 3 次，记被抽取的 3 名淡定生中的“围
13、棋迷”人数为 。若每次抽取的结果是相互独立的，求的平均值和方差.附： ，其中 .0.05 0.013.841 6.635【答案】(1) 没有理由认为“围棋迷”与性别有关(2) . 【解析】试题分析：（1）在频率分布直方图中，求出抽取的 100 人中， “围棋迷”有人，填写列联表，计算观测值，比较临界值即可得出结论；（2）由频率直方图计算频率，将频率视为概率，得出 ，计算对应的概率，写出 的分布列，算出期望和方差。试题解析：（）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中， “围棋迷”有 25 人，从而 列联表如下非围棋迷 围棋迷 合计男 30 15 45女 45 10 55合计 75 25 1
14、00将 列联表中的数据代入公式计算，得因为 ，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.（）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为 .由题意 ，从而 的分布列为0 1 2 3. .点睛：本题主要考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了分布列和数学期望、方差的计算，属于综合题。19. 如图 1，已知知矩形 中，点 是边 上的点， 与 相交于点 ,且 ，现将 沿 折起，如图 2,点 的位置记为 ，此时 .（）求证： 面 ；（）求三棱锥 的体积.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）推导出 ， ， ，由此能证明 面 ；（2）推导出， ， ， ，由此能求出三棱锥 的体积.
