1、浙江省杭州市 2019 届高考数学命题比赛模拟试题 1本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。2.答题前，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式： 若事件 ,AB互斥，则 棱柱的体积公式 若事件 相互独立，则 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高 若事件 在一次试验中发生的概率是 ，则 次 棱锥的体积公式 独立重复试
2、验中事件 恰好发生 次的概率 其中表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高 球的表面积公式台体的体积公式 球的体积公式其中 S1， S2分别表示棱台的上、下底面积， 表示 棱台的高 其中 表示球的半径选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （原创）已知集合 ， ，那么 （ ）A B C D2 （原创）设 ， ，则 的值是 （ ）A B C D3 （原创）若复数 ( 是虚数单位)，则 （ ）A B C D4(摘抄)已知 是等比数列 的公比，则“ ”是“数列 是递增数列”的 （ ）A充分不必要条件 B必要
3、不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5(摘抄)已知 为异面直线， 为两个不同平面， ，且直线 满足 ， ， ，则 （ ）A 且 B 且C 与 相交，且交线垂直于 D与 相交，且交线平行于6 （改编）若正数 满足 ，则 的最小值为 （ ）A4 B6 C9 D167 （原创）已知 是双曲线 的左、右焦点，若点关于直线 的对称点 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）A B C D8 （原创）已知关于 的方程 有解，其中 不共线，则参数 的解的集合为（ ）A 或 B. C. D.9(摘抄)已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线上三点，当 时，称 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 （ ）A
4、0 个 B1 个 C3 个 D无数个10(摘抄)已知函数 ， 满足 且 ，则当 时， （ ）A B C D非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11 （原创）二项式 的展开式中， （1）常数项是 ；（2）所有项的系数和是 12(摘抄)正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为 6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为_，该四面体的体积为_.13(原创)若将向量 围绕起点按逆时针方向旋转 ，得到向量 ，则向量 的坐标为_，与 共线的单位向量 _14 （原创）在 这
5、 个自然数中，任取 个数，（1）这 个数中恰有 个是偶数的概率是 ；（用数字作答）（2）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和 ，此时 的值是 ）则随机变量 的数学期望 15 （原创）若变量 满足： ，且满足： ，则参数 的取值范围为_16 （原创）若点 为 的重心，且 ，则的最大值为_17 （改编）若存在 ，使得方程 有三个不等的实数根，则实数的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 74 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本小题满分 14 分）（原创）在 中，内角 的对边分别为 ，且， （）求角 的大小；ED1 C1B1A1D C
6、BA（）设 边的中点为 ， ，求 的面积19 （本小题满分 15 分）（原创）正方体 的棱长为 1， 是边 的中点，点在正方体内部或正方体的面上，且满足： 面 。（）求动点 轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；（）设直线 与动点 轨迹所在平面所成的角记为，求 20 （本小题满分 15 分）（原创）已知数列 是等差数列， ， ，数列的前 项和为 ，且 （）求数列 、 的通项公式；（）记 ，若数列 的前 项和为 ，证明： 21 （本小题满分 15 分）（原创）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线 过椭圆的右焦点 与椭圆交于 两点（）当直线 的斜率为 1，点 为椭圆上的动点，满足条件的使得 的面积
7、 的点有几个，并说明理由；（） 的内切圆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值及此直线的方程，若不存在，请说明理由22 （本小题满分 15 分）(摘抄)已知函数 ，且曲线 在点 处的切线方程为 （）求实数 ， 的值；（）函数 有两个不同的零点 ， ，求证：2019 年高考模拟试卷数学卷答题卷本次考试时间 120 分钟，满分 150 分，所有试题均答在答题卷上一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案所以 的数学期望为 15. 【命题意图】 本题考查可行域及直线恒过定点，
8、属于中档题【解题思路】 ，所以直线恒过定点 ，画出可行域，由题意知，直线恒过定点 点及可行域内一点，直线 方程可改写成：， （1）由图知，当斜率不存在时，符合题意；（2）当斜率存在时，；综上： 。16 【命题意图】 本题考查解三角形，属于中档题【解题思路】 解法一：设 中点为 ， 的对边为， ，所以 ， 和中对 用余弦定理后两式相加可得 ，故，所以 解法二：设 ， ，且 ，故 ， ，解得 ，所以 ，故17【命题意图】考察函数的图象和性质，属于较难题【解题思路】函数 的图象与与直线 有三个交点，数形结合得 即由于存在 ， 成立， ，得 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分18本题主要考查
9、两角和差公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力本题满分 14 分（）由 ，得 ， 1 分又 ，代入得 ，由 ，得 ， 3 分JIHGFED1 C1B1A1D CBA， 5 分得 ，7 分（） ， 9 分， ，则 11 分14 分19本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识同时考查空间向量的应用，考查空间想象能力和运算求解能力满分 15 分解：（）如图，在正方体内作出截面 EFGHIJ， （或画出平面图形）4 分OED1 C1B1A1D CBA它的形状是一个边长为 正六边形5 分可以计算出它的面积为 7 分（）法一：如图，连 交 于 点，连，所求面/
10、面 ， 所求角= 与面 所成的角，面 面 ， 线在面 的投影为 ，即为所求的角11 分在 中，由余弦定理知所以， 15 分法二：以 为 轴， 为 轴，为 轴建议直角坐标系，则 10 分可求出平面 的法向量为 ，又 12 分所以，15分20本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前项和 与 的关系等基础知识同时考查数列单调性的探究方法，运算求解能力等本题满分 15 分（1）由已知得 ，解得 ，所以 3 分当 时， ， （1）4 分，当 时， （2）6 分由（1） ， （2）得 7 分（）由()知，所以 9 分12 分14 分15 分21本题主要考查，直线、圆、圆锥曲线的方程
11、，直线与椭圆的位置关系等基本知识同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分 15 分解：（）由题意，得 代入椭圆方程 中得 ，1 分得到 2 分设点 到直线 的距离为 ，由得到 -4 分设令 ，又 ，代入得到 ，化简得到： ，则于 ，得到 ，当 时， 椭圆上方的点到直线 距离的最大值为椭圆上方存在两个这样的 点，使得 的面积 ；当 椭圆下方的点到直线 距离的最大值为椭圆下方仅存在一个 点，使得 的面积；综上，椭圆上存在这样的 点有三个7 分（）设 的内切圆的半径为 ， 要使内切圆的面积最大，即使得 最大9 分设直线 ，代入椭圆得到 10 分， 11 分设点 到直线 的距离为13 分令时，即 时， 取得最大值，所以， 的内切圆面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 15 分22本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等综合应用能力，同时考查逻辑推理能力和创新意识满分 15 分解：（1）由曲线 在点 处的切线方程为 ，故，2 分又 ， ，4 分所以 ，解得 6 分（2）由（1）知， ，故 ，所以 ，的两个不同的零点 ，不妨设 ，因为 ，所以 ，要证明 ，即证明 ，而故只需证明 即可，8分又 ，所以 ，故只需证明 10 分即需证 ，即证即只需证 即可，12 分令 ，由于 ，故 ，设 ，显然 ，故 是增函数，所以 ，又 ，所以 恒成立，即 成立，因此 ，得证15分
