1、- 1 -牡一中 2017 级高二学年上学期期末考试数 学 试 题（文科）参考公式:（1）用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ；（2）一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.复数 的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数 34 i 可化简复数，由复数的定义可得其虚部【详解】 ，故复数的虚部为： ，故选： D【点睛】本题考查复数的代数形式的除法运算及基本概念，属基础题2.某大学共有本科生 人，其中一、二、三、四年级的人数比为 4321，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 的样本，则应抽取三年级的学生人数为（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为 4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容- 2 -量即得抽取三年级的学生人数【详解】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本，一、二、三、四年级的学生比为 4：3：2：1，三年级要抽取的学生是 40，故选：C【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：（1） ；（2）总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比3.以下是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
3、则甲乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ ）A. 62 B. 63 C. 64 D. 65【答案】C【解析】【分析】由茎叶图知：甲这几场比赛得分的中位数为：28，乙这几场比赛得分的中位数为：36，由此能求出甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和【详解】由茎叶图知：甲这几场比赛得分的中位数为：28，乙这几场比赛得分的中位数为：36，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是：28+3664故选： C【点睛】本题考查两组数据的中位数之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶- 3 -图的合理运用4.对变量 x, y 有观测数据理力争（ ， ） （i=1,2,，10） ，得散点图 1；对变量 u
4、，v 有观测数据（ ， ） （i=1,2,，10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。A. 变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B. 变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关C. 变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D. 变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关【答案】C【解析】变量 x 与中 y 随 x 增大而减小，为负相关；u 与 v 中，u 随 v 的增大而增大，为正相关。5.同时掷两个骰子,向上点数和为 5 的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，用列表的方法列举所有可能的情况，进而由表可得所有的情况数目与向上点数和为
5、 5 的情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案【详解】根据题意，列表得：（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）- 4 -（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）由表可得：共有 36 种等可能的情况，向上的点数之和是 5 的情况有 4 种，则两个骰子向上
6、的一面的点数和为 5 的概率为 故选： B【点睛】本题考查等可能事件的概率计算，涉及列举法求等可能事件的概率，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏6.在建立两个变量 Y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 R2如下，其中拟合得最好的模型是 ( )A. 模型 1 的相关指数 R2为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R2为 0.80C. 模型 3 的相关指数 R2为 0.50 D. 模型 4 的相关指数 R2为 0.25【答案】A【解析】解：因为回归模型中拟合效果的好不好，就看相关指数是否是越接近于 1，月接近于 1，则效果越好。选 A7.宋元时期数学名著算数启蒙
7、中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】- 5 -由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出 .点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.8.若直线 始终平分圆 的周长，则 的值为
8、（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，又由直线 ax+y0 始终平分圆x2+y22 ax+2ay+2a2+a10 的周长，可得直线经过圆心，则有 a2 a0，解可得 a 的值，验证圆的方程即可得答案【详解】根据题意，圆 x2+y22 ax+2ay+2a2+a10，即（ x a） 2+（ y+a） 21 a，其圆心为（ a， a） ，半径 r ，则有 1 a0，则 a1；若直线 ax+y0 始终平分圆 x2+y22 ax+2ay+2a2+a10 的周长，则直线经过圆心，则有 a2 a0，解可得 a0 或 1，又由 a1；故 a0；故选：
9、 B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆周的含义，属于基础题9.已知样本数据 ，则该样本标准差为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】- 6 -先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差【详解】数据 3，5，7，4，6 的平均数为 （3+5+7+4+6）5方差为 S2 （35） 2+（55） 2+（75） 2+（45） 2+（65） 22标准差为故选： B【点睛】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数 ；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数标准差即方差的算
10、术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数10.已知点 是抛物线 上的动点，焦点为 ，点 的坐标是 ，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点 A 在抛物线外可得到| PA|+|PF|的最小值为| AF|，再由两点间的距离公式可得答案【详解】由题意可得 F（ ，0 ） ，点 A（ ）在抛物线外，根据抛物线的定义可得| PA|+|PF|的最小值为| AF|故选：D【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题- 7 -11.甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分
11、别为 ，则有人能够解决这个问题的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求出“问题未被解答”的概率，利用对立事件的概率公式得到“问题被解答”的概率【详解】此题没有被解答的概率为 （1 ） （1 ） （1 ） ，故能够将此题解答出的概率为 1 ，故选：A【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题12. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此将他们随机编号为 1,2960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人中，编号落
12、入区间1,450的人做问卷 A，编号落入区间451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 C 的人数为( )A.15 B.10 C.9 D.7【答案】B【解析】用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人，可将 960 人分为 32 组，每组 30 个人，由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，故编号1,750在中共有 7503025 组，即做问卷 C 的有 32257 组，故做问卷 C 的人数为 7 人，故选 D.二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.某妇产医院长期观察新生婴儿的体重，通过样本得到其频率分布直方图如图所示
13、，则由此可预测每 名新生婴儿中，体重在 的人数大概是_- 8 -【答案】3000【解析】【分析】由频率分布直方图得体重在（2700，3000的频率为 0.3，由此可预测每 10000 名新生婴儿中，体重在（2700，3000的人数【详解】由频率分布直方图得体重在（2700，3000的频率为 0.0013000.3，由此可预测每 10000 名新生婴儿中，体重在（2700，3000的人数大概是 100000.33000故答案为：3000【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题14.设 是双曲线 上一点, 分别是左右焦点,若 ,则
14、 _【答案】13【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得 a、 c 的值，结合双曲线的定义可得|PF1| PF2|2 a6，计算可得| PF2|分析可得答案【详解】根据题意，双曲线 ，其中 a3， c6，又由 P 是双曲线上一点，则有| PF1| PF2|2 a6，又由| PF1|7，则| PF2|1 c a3（舍去）或 13，故答案为：13【点睛】本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出 a 的值.15. 某数学老师身高 176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm因- 9 -儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测
15、他孙子的身高为_cm【答案】185【解析】设父亲身高为 xcm，儿子身高为 ycm，则x 173 170 176y 170 176 182173， 176， 1， 17611733， x3，当 x182 时， 185.【此处有视频，请去附件查看】16.任取两个小于 1 的正数 x、 y，若 x、 y、1 能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是_【答案】【解析】【分析】求出这三个边正好是钝角三角形的三个边的等价条件，根据几何概型的概率公式，即可得到结论【详解】根据题意可得，三边可以构成三角形的条件为：.这三个边正好是钝角三角形的三个边，应满足以下条件：- 10 -，对应的
16、区域如图，由圆面积的 为 ，直线和区域围成的三角形面积是 ，则 x、 y、1 能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率 故答案为： 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.三解答题（本大题共 6 小题，10+1
17、2+12+12+12+12，共 70 分）17.已知曲线 的参数方程为 为参数）（1）写出曲线 的直角坐标方程；（2）求曲线 上的点到直线 距离的最小值。【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由曲线 C 的参数方程能求出曲线 C 的直角坐标方程（2）求出曲线 C 上的点的坐标为（1+cos，sin） ，曲线 C 上的点到直线 x+y50 距离- 11 -d ，由此能求出曲线 C 上的点到直线 x+y50 距离的最小值【详解】 （1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C 的直角坐标方程为（ x1） 2+y21（2）设曲线 C 上的点的坐标为（1+cos，sin） ，曲线 C
18、 上的点到直线 x+y50 距离：d ，当 sin（ ）1 时，曲线 C 上的点到直线 x+y50 距离的最小值为 【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18.已知射手甲射击一次，命中 9 环（含 9 环）以上的概率为 0.56，命中 8 环的概率为0.22，命中 7 环的概率为 0.120.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.
19、635 7.879 10.828（1）求甲射击一次，命中不足 8 环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中 7 环的概率.【答案】 （1）甲射击一次，命中不足 8 环的概率是 0.22（2）甲射击一次，至少命中 7 环的概率为 0.9【解析】【分析】记“甲射击一次，命中 7 环以下”为事件 A， “甲射击一次，命中 7 环”为事件 B，由于在一次射击中， A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件（1） “甲射击一次，命中不足 8 环”的事件为 A+B，由互斥事件的概率加法公式，能求出甲射击一次，命中不足 8 环的概率（2）方法 1：记“甲射击一次，命中 8 环”为事件 C， “甲射
20、击一次，命中 9 环（含 9 环）- 12 -以上”为事件 D，则“甲射击一次，至少命中 7 环”的事件为 B+C+D，由此能求出甲射击一次，至少命中 7 环的概率方法 2：“甲射击一次，至少命中 7 环”为事件 ，由对立事件的概率求法能求出甲射击一次，至少命中 7 环的概率【详解】记“甲射击一次，命中 7 环以下”为事件 A，则 P（ A）10.560.220.120.1，“甲射击一次，命中 7 环”为事件 B，则 P（ B）0.12，由于在一次射击中， A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件，（1） “甲射击一次，命中不足 8 环”的事件为 A+B，由互斥事件的概率加法公式
21、，P（ A+B） P（ A）+ P（ B）0.1+0.120.22答：甲射击一次，命中不足 8 环的概率是 0.22（2）方法 1：记“甲射击一次，命中 8 环”为事件 C，“甲射击一次，命中 9 环（含 9 环）以上”为事件 D，则“甲射击一次，至少命中 7 环”的事件为 B+C+D， P（ B+C+D） P（ B）+ P（ C）+ P（ D）0.12+0.22+0.560.9答：甲射击一次，至少命中 7 环的概率为 0.9方法 2：“甲射击一次，至少命中 7 环”为事件 ， 10.10.9答：甲射击一次，至少命中 7 环的概率为 0.9【点睛】本题考查概率的求法，是基础题解题时要认真审题，
22、仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法19.已知直线 在极坐标系(以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴)中，圆 的方程为 .（1）写出圆 的直角坐标方程； （2）设圆 与直线 交于 两点，若点 的坐标为 ，求 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】- 13 -试题分析：（1）两边同乘以 利用 即可得结果；（2）直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）圆 的直角坐标方程： ；（2）直线 的参数方程是 （ 为参数）代入圆 的直角坐标方程中可得，设点 所对应的的参数分别为 ，则 ，.20.我校为了让高一学生更有效率
23、地利用周六的时间,在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习,同时由班主任老师值班,家长轮流值班.一个月后进行了第一次月考,高一数学教研组通过系统抽样抽取了 名学生,并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数,其中部分统计数据如下:(1)请画出这次调查得到的 列联表;并判定能否在犯错误概率不超过 的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效?(2)从这组学生摸底考试中数学优良成绩中和第一次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取 个成绩,再从这 个成绩中随机抽取 个,求这 个成绩来自同一次考试的概率.下面是临界值表供参考:(参考公式: ,其中- 14 -【答案】 （1）能（2） .【
24、解析】试题分析：（1）根据总数确定各区间人数，代入卡方公式得 ，再与参考数据比较判断可靠率（2）先按照分层抽样确定各层次抽取人数，再利用组合数确定事件总数以及对应事件数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：(1 列联表随机变量 的观测值 ,因此能在犯错误概率不超过 的前提下,认为周六到校自习对提高学生成绩有效;(2)从摸底考试数学优良成绩中抽取 个;从第一次月考数学非优良成绩中抽取个,设从这 5 个成绩成绩来自同一次考试的事件为 ,则 因此,这 2个成绩来自同一次考试的概率是 .21.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛” ，共有900 名学生参加了这次竞赛
25、.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为 100 分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：分组 频数 频率50.560.5 4 0.0860.570.5 0.1670.580.5 1080.590.5 16 0.32- 15 -90.5100.5合计 50（）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；（）补全频数条形图；（）若成绩在 75.585.5 分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？【答案】略【解析】解：(1) 3 分分组 频数 频率50.560.5 4 0.0860.570.5 8 0.1670
26、.580.5 10 0.2080.590.5 16 0.3290.5100.5 12 0.24- 16 -合计 50 1.00(2)频率分布直方图如右上所示：3 分(3)成绩在 75.580.5 分的学生占 70.580.5 分的学生的 ，因为成绩在 70.580.5 分的学生频率为 0.2 ，所以成绩在 76.580.5 分的学生频率为 0.1 ，成绩在 80.585.5 分的学生占 80.590.5 分的学生的 ，因为成绩在 80.590.5 分的学生频率为 0.32 ，所以成绩在 80.585.5 分的学生频率为 0.16所以成绩在 76.585.5 分的学生频率为 0.26， 2 分由
27、于有 900 名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26900=234（人） 2 分22.已知 为椭圆 的左右焦点，点 为其上一点，且有（）求椭圆 的标准方程；（）过 的直线 与椭圆 交于 两点，过 与 平行的直线 与椭圆 交于 两点，求四边形 的面积 的最大值【答案】 （） ；（） 的最大值为 6【解析】试题分析：（1）由题意知椭圆焦点在 轴，可设其标准方程，由 得 ，由在椭圆上可求得 ，即可得椭圆的方程；（2）由四边形 是平行四边形，得，设直线 ，联立直线 与椭圆得关于 的一元二次方程，由根与系数的关系可求得 的值，进而得 ，由 令- 17 -,由基本不等式得 的最大值。（1）设椭圆 的标准方程为 ，由已知 得 ， ，又点 在椭圆上， ，椭圆 的标准方程为 .（2）由题意可知，四边形 为平行四边形， ，设直线 的方程为 ，且 ，由 得 ， ，令 ，则 ， ，又 在 上单调递增， ， 的最大值为 ，所以 的最大值为 .- 18 -
