1、- 1 -20182019 学年高三名校联考（四）数学（文科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得 ，然后求两个集合的交集.【详解】依题意 ，故 ，故选 B.
2、【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.2.若复数 满足 ，则 （ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简 为 的形式，再求 .【详解】依题意 ，故 ，故选 C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即- 2 -的形式，再根据题意求解.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过 的为（ ）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B.
3、 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过 的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为 ，不超过 ，故选 B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.若函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意 ， ，由点斜式得 ，即切线方程为，故选 A.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.5.将函
4、数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，所- 3 -得函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间.【详解】 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，变为 ，由 ，解得 ，故选 D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题.6.若双曲线 ： 的两条渐近线分别与直线 ： 交于 ， 两点，且（ 为坐标原点）的面积为 4，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得渐近线的方程，令 求得交点 的坐标，利用三角形 的面积建
5、立方程，求得的值，进而求得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为 ，令 ，解得 ，不妨设，所以 ，所以 ，所以 ，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线交点的坐标，考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法，属于中档题.7.函数 的零点个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0- 4 -【答案】B【解析】【分析】令 ，转化为两个函数图像的交点个数来求 零点个数.【详解】令 得 ，画出 的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即 有两个零点，故选 B.【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，
6、属于基础题.8.已知抛物线 ： 与圆 ： 交于 ， ， ， 四点.若轴，且线段 恰为圆 的一条直径，则点 的横坐标为（ ）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据 轴和线段 恰为圆 的一条直径得到 的坐标，代入抛物线方程求得 的值，设出 点的坐标，利用 是圆的直径，所对圆周角为直角，即 ，由此求得 点的横坐标.- 5 -【详解】圆 ： 可化为 ，故圆心为 ，半径为 ，由于 轴和线段 恰为圆 的一条直径，故 .将 点坐标代入抛物线方程得，故 ，抛物线方程为 .设 ，由于 是圆的直径，所对圆周角为直角，即 ,也即 ，所以 ，化简得，解得 ，故 点横坐标为 .故选
7、 A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.9.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的帝京景物略一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为 ，底面周
8、长为 ，侧面积为 ，下面圆锥的母线长为 ，底面周长为 ，侧面积为 ，没被挡住的部分面积为 ，中间圆柱的侧面积为 .故表面积为，故选 C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.10.若 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断出 大于 ，而 小于 ，得到最小为 .然后利用对数的运算和性质，比较 两个数的大小.【详解】 ，而 ，故 是最小的.由于，即 ，即 ，故选 D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.11.运行如图
9、所示的程序框图，若输出的 的值为 1011，则判断框中可以填（ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可【详解】程序的功能是计算 S1sin +3sin +5sin+ 13+57+9+，则 10111+505213+57+9+则第 1011 个奇数为 2101112021 不成立，第 1012 个奇数为 2101212023 成立，故条件为 i2022？，故选： C【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.12.在正方体 中，点 平面 ，点 是线段 的中点，若 ，则当 的面积取得最小值时， （
10、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取 的中点 ，连接 ，证明 点在直线 上，当 时，三角形 的面积取得最- 8 -小值，进而求得 的值.【详解】取 的中点 ，连接 ，设 .作出图像如下图所示.易得，所以 平面 ，所以 .易得 ，所以 平面 ，所以 .故 平面 ，所以 在直线 上，可使得.由于 ，所以 最短时三角形 的面积取得最小值，此时 点在点 的位置.设正方体棱长为 ，故 . ，所以 ，所以，故 ，故选 D.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度较大，属于难题本题解题关键点在于找到 点所在的位置，主要通过证明线面垂直
11、来找到.二、填空题.13.若向量 ， ，且 ，则实数 _【答案】【解析】【分析】- 9 -由向量垂直与向量数量积的关系可得，若 ，得 ，解 x的值即可【详解】由 ，得 且 ，得，解得 .故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 _【答案】2【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线 到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 在点 处取得最大值，且最大值为 .【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思
12、路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接- 10 -着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形的两个顶点 ， ，分别以 ， 为圆心，线段 的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形 中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_【答案】【解析】【分析】阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，利用几何概型概率计算
13、公式求得所求概率.【详解】设正方形边长为 ，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，即阴影部分面积为 ，故所求概率为 .【点睛】本小题主要考查曲边图形面积的求法，考查几何概型概率计算公式，属于基础题.16.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .若 ，则当 取得最小值时， 的外接圆的半径为_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求得 的关系，利用余弦定理和基本不等式求得 的最小值，根据正弦定理求得三角形 外接圆的半径.【详解】由正弦定理得 ，由余弦定理得 - 11 -，即当 时， 取得最小值为 ，此时 ，设外接圆半径为 ，由正弦定理得 ，解得 .【点睛】本小题主要
14、考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用基本不等式求最小值，考查利用正弦定理求外接圆的半径，考查利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值，考查运算求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .（）证明： 是等差数列；（）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （）详见解析；（） .【解析】【分析】（）设等差数列 的公差为 ， ，由 ，得 ， ，求出，利用定义法即可判断；（II）由 得 ，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】 设等差数列 的公差为 ， ，则 ，解得 .所以 ，解得 ，所以 .所以
15、 .所以 .因为当 时， ,当 时， ,故 是首项为 ，公差为 的等差数列.（II）由 可知 ，故 .故 .两式相减可得 - 12 -.故 .【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥 中， ， .（）求证： ；（）若 ， ， ， ， ，点 为 的中点，求平面 切割三棱锥 得到的上下两个几何体的体积之比.【答案】 （）见证明（）【解析】【分析】（）取 的中点 ，连接 ， .利用等腰三角形证得 ， ，由此证得平面 ，从而证得 .（）取 的中点 ，连接 ， ，利用线线平行得到点， ， ， 共面.计算出
16、 的长，证明 平面 ， 根据 ，计算出所求的体积比.【详解】 （）取 的中点 ，连接 ， . ， ， ， . ， ， ， . ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 ， .- 13 -（）取 的中点 ，连接 ， ，易知 ，故点 ， ， ， 共面.过 作 于 .设 ，故 ，解得 .又 ， ， ， 平面 . ， . ， .【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四点共面的证明，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.19.2018 年 10 月 28 日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范. 社区委员会
17、针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.- 14 -（1）求得分在 上的频率；（2）求 社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性， 社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要 认为此项学习不必要50 岁以上 400 60050 岁及 50 岁以下 800 200根据上述数据，计算是否有 的把握认为居民的学习态度与年龄相关.附： ，其中 .0.100 0.050 0.010 0.0012.706 3.841 6.635
18、 10.828【答案】 （1）0.3（2）70.5 分 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据频率之和为 求得 上的频率.（2）利用中点值乘以频率，然后相加，求得平均分的估计值.（3）计算出 的值，由此判断出有 的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【详解】 （1）依题意，所求频率 .（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：中间值 45 55 65 75 85 95频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1- 15 - ，即问卷调查的平均得分的估计值为 70.5 分.（3）依题意， .因为 ，故有 的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，
19、考查频率分布直方图估计平均数，考查 列联表独立性检验，属于中档题.20.已知椭圆 ： ，点 ， .（）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 为线段 的中点，求直线 的斜率；（）若直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，求 的面积的最大值.【答案】 （）-1；（）【解析】【分析】（I）因为 在椭圆上，设 ，且 为线段 的中点，得，由点差法即可计算直线 的斜率；（II）联立 ，得 ，由 可得 ，,由弦长公式可得 点 到直线 的距离 由计算即可.【详解】 （I）设 ，故 ， 将两式相减，可得，即 因为 为线段 的中点，所以 得即 故直线 的斜率- 16 -（II）联立 可得 ，由 可得 ，解得 .设由根与系
20、数的关系可得又 点 到直线 的距离当且仅当 ，即 时取等号.故 的面积的最大值为 .【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数 .（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；（2）设 ，求证： .【答案】 （1） （2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在 上单调递增，故令导函数恒大于零，分离常数 得到 ，利用导数求得 的最小值，由此求得 的取值范围.（2）令 ，则 .将原不等式等价转化为 ，构造函数 ，利用导数证得 ，由此证得不等式成立.【详解】 （1）由题可知 .- 17 -令 ，
21、即 ，当 时有 .令 ，则 .所以当 时， ，所以 在 上单调递增.所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 .（2）令 ，则 .故 .构造函数 ，则 .所以 在 上单调递增，所以 ，所以当 时， ，故 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数）.（）若 ，求曲线 的直角坐标方程以及直线 的极坐标方程；（）设点 ，曲线 与直线 交于 ，
22、 两点，求 的最小值.【答案】 （）曲线 的直角坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为；（）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线 与曲线 的方程得 ，设点 对应得参数分别为 ，得 ，则 ，即可求的最小值.- 18 -【详解】 （I）曲线 ，将 代入得 ,即曲线 的直角坐标方程为直线 ，故故直线 的极坐标方程为（II）联立直线 与曲线 的方程得即设点 对应得参数分别为 ，则因为当 时，取等号.所以 的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 .（1）在如图所示的网格纸中作出函数 的图象；（2）记函数 的最小值为 ，证明：不等式 成立的充要条件是 .【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将 表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得 的值.将原不等式转化 ，然后判断出不等式成立的充要条- 19 -件是 .【详解】 （1）依题意， ，作出函数 的图象如图所示：（2）由（）中图象可知 .因为当 时， ，当 时， ，故不等式 成立的充要条件是 .【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.
