1、- 1 -河南省南阳市第一中学 2017-2018学年高二上学期第三次月考数学试题（文）1. 设 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于 ，取 ，不能推出 ，又取 ，推不出 ，而， ，又 是非零实数，则 ，则.选 C.2. 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ）A. 12 B. 21 C. 36 D. 48【答案】B【解析】设等比数列的公比为 ，.，故选：B3. 椭圆 的左右焦点分别为 ,过 作 轴的垂线交 于点 .若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C- 2 -【解析】由题意知点 P的坐标为 或 ， F1PF2=60，
2、 ，即 . ，解得： 或 (舍去).本题选择 C选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a， b， c的齐次式，结合 b2 a2 c2转化为 a， c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a或 a2转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e的取值范围)4. 已知等差数列 ，等比数列 ，则该等比数列的公比为（ ）A. B. C. 或 D. 10或【答案】C【解析】 成等差数列， ， 又 ，成等比数列， 由得 或 ，等比数列为 或 ，公比为或 ，故选 C.5
3、. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则此三角形外接圆的半径（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，- 3 -此三角形外接圆的直径 2故选：D6. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. B. 6 C. D. 4【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点 处取得最小值 .本题选择 C选项.点睛：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验7
4、. 已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ，交其准线于点 ，若(其中 位于 之间)，且 ，则抛物线方程为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，过 A作 AD垂直于抛物线的准线，垂足为 D，过 B作 BE垂直于抛物线的准线，垂足为 E，G 为准线与 x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，|BC|=2|BF|，|BC|=2|BE|，则DCA=30，|AC|=2|AD|=8，可得|CF|=84=4，|GF|= =2，即 p=|GF|=2，抛物线方程为：y 2=4x，故选：B点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线
5、上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化8. 已知双曲线 的两条渐近线均和圆 相切，且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：双曲线的渐近线为 ，所以 ， 变形为，所以圆心为 - 5 -，所以双曲线方程为考点：双曲线方程及性质视频9. 已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最小值为（ ）A
6、. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】：抛物线 ，抛物线的焦点坐标（1，0） 依题点 P到点 A（0，2）的距离与点 P到 y轴的距离之和的最小值，就是 P到（0，2）与 P到该抛物线准线的距离的和减去 1由抛物线的定义，可得则点 P到点 A（0，2）的距离与 P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得： 故选：D10. 如图， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， 分别是 在第二、四象限的公共点.若四边形 为矩形，则 的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以由题设 ，由椭圆定义可得，所以 ，又因为 ，所以由- 6 -双曲线的定义可得 ，所以双曲线的离心率 ，应选答
7、案 D。11. 分别是椭圆 的左顶点和上顶点， 是该椭圆上的动点.则 面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得点 、 的坐标分别为 ， ，且直线 的方程为 。设与直线 平行且与椭圆相切的直线方程为 ，由 消去 y整理得 ，直线与椭圆相切， ，解得 或 （舍去） 。所求切线的方程为 。该切线与直线 AB间的距离 。由题意得当点 C为切点时， 的面积最大，且最大面积为。选 B。点睛：本题考查了数形结合的思想方法，由于 是定值，故当三角形的高最大时，面积才最大，由此作为解题的突破点，并结合图形进行分析，发现当点 C为与 AB平行且与椭圆相切的直线的切点时满足题意，然后根
8、据判别式求得切线方程，并利用两平行线间的距离求得三角形的高即可。12. 已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点且 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】由椭圆定义可得|PF 1|+|PF2|=2a， ，|PF 1|PF2|cosF 1PF2=c2，由余弦定理可得|PF 1|2+|PF2|22|PF 1|PF2|cosF 1PF2=4c2，由得 cosF 1PF2= 1，|PF 1|PF2|=2a23c 2，e ，|PF 1|PF2| （|PF 1|+|PF2|） 2=a2，2a 23c 2a 2，e ，此椭圆离心率的取值范围是 ， 故选：D点睛
9、：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13. 若 ，则 的取值范围是 _【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以 （当且仅当时取等号） ，即 ，即 ；故填 考点：1.基本不等式；2.指数式的运算法则14. 已知点 是椭圆 某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为_【答案】- 8 -【解析】设以 A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于 E（x 1，y 1） ，F（x 2，y 2） ，A（1，1）为 EF
10、中点，x 1+x2=2，y 1+y2=2，把 E（x 1，y 1） ，F（x 2，y 2）分别代入椭圆 ，可得 ，两式相减，可得（x 1+x2） （x 1x 2）+2（y 1+y2） （y 1y 2）=0，2（x 1x 2）+4（y 1y 2）=0， =以 A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y1= （x1） ，整理，得 x+2y3=0故答案为：x+2y3=015. 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点.若 ，则 _【答案】【解析】设直线 l为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB 1垂直于 l，A 1，B为垂足，过 B作 BE垂直于
11、 AA1与 E，由第二定义得， ，由 ，得 ，即 k=- 9 -16. 给出下列命题： 中角 的对边分别为 ，若 ，则 ； ，若 ，则 ；若 ，则 ；设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .其中正确命名的序号是_【答案】【解析】 中， ，函数 在 上单调递减，所以正确； 函数 在 上单调递增， 若 ，则 ，所以正确； 符号不确定的时候， 的正负不确定，所以不正确；等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ，则 ， ，即，则 ，所以正确，故答案为.17. 如图，在 中，已知 ，且三内角 满足： ，建立适当的坐标系，求顶点 的轨迹方程. 【答案】 .【解析】试题分析：以 AB的中点为坐标原点，AB 所在
12、的直线为 x轴，建立直角坐标系，利用正弦定理得： ，可得 C的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线的右支，即可求顶点 C的轨迹方程试题解析：以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立如图所示平面直角坐标系- 10 -由正弦定理得: .由双曲线的定义知，点 的轨迹以 为焦点，以 为实轴长的双曲线的右支（除去与 轴的交点）顶点 的轨迹方程为 .18. 已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） .（2） .【解析】 （）设等差数列的公差为 ，由 成等比数列及 列式求得首项和公差，即可求出数列 的通项公式；
13、（）把数列 的通项公式代入到 ，然后利用裂项相消法求数列 的前 项和.（） 数列 是等差数列，设 的公差为 ， 成等比数列， 得 ， - 11 -得 得 （） 19. 在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ， .（1）若 ，求 的值；（2）若 的面积 ，求 的值.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）由正弦定理及 ，得 ，即 由 ，得 由余弦定理得 （2）由 ，得 由 ，解得 由 ，解得 ， 由余弦定理，得 ，由正弦定理，得 .试题解析：（1）由正弦定理及 ，得 ， 即 由 ，得 由余弦定理，得 ， 即 （2） 由 ，得 由 ，解得 由 ，解得 ， 由余弦定理，得 ， 即 由正弦
14、定理，得 - 12 -20. 已知顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线被真线 截得的弦长为 ，求此抛物线方程.【答案】 或 .【解析】试题分析：设抛物线的方程为 ，与直线 x2y1=0 联立，利用弦长公式，即可求抛物线的方程试题解析：设抛物线方程为 ，由方程组 消去 得： ，直线与抛物线有两个交点， ，即 或 ，设两交点坐标为 ，则 ，弦长为 ， ，即 ，解得 或所求抛物线方程为： 或 .21. 设函数 .（1）当 时，求关于 的不等式 的解集；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1）当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 .（2
15、） .【解析】试题分析：（1）根据函数 的解析式，可将 f（x）0 化为，分类讨论可得不等式的解集（2）若 在 上恒成立，即 在区间 上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数 a的取值范围试题解析：- 13 -（1）若 ，原不等式可化为 ，解得 ；若 ，原不等式可化为 ，解得 或 ；若 ，原不等式可化为 ，其解得情况应由 与 1的大小关系确定，当 时，解得 ；当 时，解得 ；当 时，解得 .综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 .（2）由 得 ， ， ， 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ，则只需 又 ， ，当
16、且仅当 时等式成立. 的取值范围是 .点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.22. 如图，椭圆 的右焦点为 ，右顶点、上顶点分别为点 ，且.- 14 -（1）求椭圆 的离心率；（2）若斜率为 2的直线 过点 ，且 交椭圆 于 两点， ，求直线 的方程及椭圆的方程.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）要求椭圆离心率，只要列出一个关于 的等式即可，由已知条件知 ， ，因此所要找的等式就是 ，结合 可求得离心率；（2）由（1）可设椭圆方程为 ，可设直线与椭圆交点为 ，直线方程为为 ，代入椭圆方程后可得 ，而已知 就是 ，把 代入可求得 值试题解析：（1）由已知即（2）由（1）知 椭圆设直线 的方程为即- 15 -即从而所以椭圆 的方程为考点：椭圆的几何意义，椭圆的标准方程
