1、- 1 -2017-2018 学年辽宁省抚顺二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设 ，集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合 A、B，求出 即可【详解】U=R，集合 A=xR| =xR|x1 或 x2=（，1 ）（2，+） ， UA=1，2；集合 B=xR|0x2=（0，2） ，（ UA）B=1，2） 故选：B【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表
2、示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 已知直线 与直线 垂直，则 A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】运用两直线垂直的条件，可得 2（a4）+3=0，解方程即可得到所求值【详解】直线（a4）x+y+1=0 与直线 2x+3y5=0 垂直，可得 2（a4）+3=0，解得 a= 故选：B【点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题- 2 -3. 圆 与圆 的位置关系为 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B【解析】试题分析：两圆的圆心距为 ，半径分别为 ， ，所以两圆相交 故选 C考点：圆与圆的位置关系视频4. 若关于 x 的方程 的一个
3、根在区间 内，另一个根在区间 内，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据方程和函数之间的关系设 f（x）=7x 2（m+13）xm2，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系进行求解即可【详解】设函数 f（x）=7x 2（m+13）xm2，方程 7x2（m+13）xm2=0 的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2） ， ， ，解得：4m2，即实数 m 的取值范围是（4，2） ；- 3 -故选：A【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布，根据方程和函数之间的关系构造函数是解决本题的关键5. 已知直线 与圆 恒有公共点，则以下关系式成立的是 A. B
4、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式求出结果【详解】直线 转化为：bx+ayab=0，由于直线与圆 x2+y2=1 恒有公共点，则：圆形到直线的距离 d= 故选：A【点睛】本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用6. 两个平面互相垂直，下列说法中正确的是 A. 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面B. 分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直C. 过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面D. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线【答案】D【解析】【分析
5、】利用线面平行或垂直的判定与性质定理逐一判断即可.【详解】一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，故 A 不正确；在长方体中，平面 ABCD平面 CBB1C1，且平面 ABCD平面 CBB1C1BC，DCB 1C1，但 B1C1ABCD，故 B 不正确；DD 1BC，但 DD1平面 CBB1C1，故 C 不正确；- 4 -设平面 平面 =m，n，l ，平面 平面 ，当 lm 时，必有 l，而 n，ln，而在平面 内与 l 平行的直线有无数条，这些直线均与 n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即 D 正确故选：D【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查
6、面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题7. 下列函数中，既是偶函数，又在 为减函数的是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用对勾函数和指数函数的奇偶性和单调性，结合定义法，即可得到符合题意的函数【详解】y=x+x 1 为奇函数，不符题意；y=x2+ 的定义域为x|x0，f（x）=f（x） ，故为偶函数，在（，1）递减，在（1，0）递增，不符题意；y=ex+ex 的定义域为 R，f（x）=f（x） ，故为偶函数，当 x0 时，ex1，y=e xe x 0，得函数在（0，+）递增，则在（，0）为减函数，符合题意；y=2x 2 x为奇函
7、数，不符合题意故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，运用定义法和常见函数的性质是关键，属于中档题8. 设 l 为直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】C- 5 -【解析】试题分析：A 中，由 可知可能 ，也可能 与 相交；B 中，由 可知可能，也可能 ；D 中，由 可知可能 也可能 与 相交故选 C考点：线面平行、垂直9. 若不等式 的解集为区间 ，且 ，则 A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】利用图像法判断解集的情况.【详解】设 y1= ，y 2=k（x+2）2 ，
8、则在同一直角坐标系中作出其图象草图如右图：y1图象为一圆心在原点，半径为 4 的圆的上半部分，y2图象为过定点 A（2，2 ）的直线据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标 x 所对应的集合观察图形，结合题意知 b=4，又 ba=2，所以 a=2，即直线与半圆交点 N 的横坐标为 2，代入 y1= ，所以 N（2，2 ）由直线过定点 A 知直线斜率 k= = 故选：B- 6 -【点睛】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是：掌握形与数的对应关系基本思路是：构造函数 f（x） （或f（x）与 g（x） ） ，作出 f（x） （或 f（x）与 g（x）
9、）的图象，找出满足题意的曲线（部分） ，曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点10. 在三棱锥 中， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别取 AB，CD 的中点 E，F，连接相应的线段 CE，ED，EF，推导出 EF 是 AB 与 CD 的公垂线，球心 G 在 EF 上，证明 G 为 EF 中点，球半径为 DG，由此能求出外接球的表面积【详解】分别取 AB，CD 的中点 E，F，连接相应的线段 CE，ED，EF，由条件，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，可知，ABC 与ADB，都是等腰三角形，AB平面 ECD
10、，ABEF，同理 CDEF，EF 是 AB 与 CD 的公垂线，球心 G 在 EF 上，推导出AGBCGD，可以证明 G 为 EF 中点，DE= =4， DF=3，EF= = ，GF= ，球半径 DG= = ，- 7 -外接球的表面积为 S=4DG 2=43故选：D【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 11. 已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为
11、A. 8 B. C. 3 D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，从而可得答案【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，底面面积 S=22=4，高 h=2，- 8 -故体积 V= Sh= ，故选：B【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12. 若 是定义域为 上的单调递减函数，且对任意实数 都有无理数 ，则 A. 3 B. C. D. 【答案】B【解析
12、】【分析】令 f（t）= +1，则 f（x） =t，令 x=t 解出 t，从而得出 f（x）的解析式，即可求出f（ln2）的值【详解】f（x）是定义域为（0，+）上的单调递减函数，且 ，在（0，+）上存在唯一一个实数 t 使得 f（t）= +1，于是 f（x） =t，令 x=t 得 +1 =t，解得 t=1f（x）= +1f（ln2）= +1= = 故选：B【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查指数函数的性质，求出 f（x）的解析式是解题的关键，是一道中档题填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 两直线 和 的距离为_- 9 -【答案】【解析】【分析】利用平行线之间的距离公式
13、即可得出【详解】6x+8y7=0 化为：3x+4y =0，两直线 3x+4y10=0 和 6x+8y7=0 的距离 d= = 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14. 已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 _【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可【详解】f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=log 2x1，f（ ）=f（ ）=（log 2 1）=（ 1）= ，故答案为：【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可15. 已知平面 平面 ，且 ，在 l 上有两点 A
14、， B，线段 ，线段 ，并且， ， ， ， ，则 _【答案】26【解析】【分析】推导出 = ，从而 =（ ） 2= ，由此能出 CD- 10 -【详解】平面 平面 ，且 =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC，线段 BD，ACl，BDl，AB=6，BD=24，AC=8， = ， =（ ） 2=64+36+576=676，CD=26故答案为：26【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题16. 已知圆 C： ，点 ，过点 M 且垂直于 CM 的直
15、线交圆 C 于 A， B 两点，过 A， B 两点分别作圆 C 的切线，两切线相交于点 P，则过点 P 且平行于 AB 的直线方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意，由圆的标准方程分析可得圆心坐标和半径，计算可得直线 CM、AB 的斜率，即可得直线 AB 的方程，设要求直线为 l，其方程为 x+ym=0，分析可得 RtCAMRtCPA，则有 = ，计算可得 CP 的值，分析可得直线 l：x+ym=0 在点 C 的上方，且 C 到直线 l 的- 11 -距离为 CP= ，由点到直线的距离公式可得 CP= = ，解可得 m 的值，将 m 的值代入直线 x+ym=0 中即可得答案【详解】根据题意，
16、圆 C：（x1） 2+（y2） 2=5，则圆心 C（1，2） ，半径为 ，则 CM 的斜率 k= =1，则 AB 的斜率 k=1，则 AB 的方程为 y3=（x2） ，即 x+y5=0，设要求直线，过点 P 且平行于 AB 的直线为 l，其方程为 x+ym=0，RtCAM 中，CA= ，CM= = ，又由 RtCAMRtCPA，则有 = ，则有 CP= = ，直线 l：x+ym=0 在点 C 的上方，且 C 到直线 l 的距离为 CP= ，则有 CP= = ，解可得：m=8 或 m=2，又由直线 l 在 C 的上方，则 m=8；故直线 l 的方程为 x+y8=0；故答案为：x+y8=0【点睛】
17、这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别- 12 -得到最大值和最小值。解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知直线 ： ， 若 ，求实数 a 的值；在 的条件下，设 ， 与 x 轴的交点分别为点 A 与点 B，平面内一动点 P 到点 A 和点 B 的距离之比为 ，求点 P 的轨迹方程 E【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）由（a1）a=0，解得：a经过验证两条直线是否平行即可得出（2）由（1）
18、可得 l2：xy1=0，可得 B（1，0） ，由直线 l1：xy+1=0，可得A（1，0） 设 P（x，y） ，可得 = ，化简即可得出【详解】 由 ，解得： 经过验证两条直线平行， 由 可得 ： ，可得 ，由直线 ： ，可得 设 ，则 ，化为： ，点 P 的轨迹方程 E 表示圆：圆心 ，半径 【点睛】直接法求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；（3）化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程.直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为“建系，设点
19、，列式，化简”.18. 已知 的定义域为集合 A，值域为集合 B求集合 A 与集合 B；- 13 -设函数 ， ，若函数 的值域是集合 A 的真子集，求实数 k 的取值范围【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）由负数没有平方根求出 x 的范围确定出定义域 A，进而求出值域 B 即可；（2）由 x 的范围确定出 log2x 的范围，进而求出 g（x）的值域，由 g（x）的值域是集合 A的真子集，确定出 k 的范围即可【详解】 根据题意得： ，解得： ，即 ，由 ，得到 ，即 ；函数 ， ，函数 的值域是集合 A 的真子集，即 ，解得： 【点睛】此题考查了子集与真子集，熟练掌握各自的
20、性质是解本题的关键19. 在直三棱柱 中， ， ， M， N 分别是 ，的中点求证：直线 平面 ；求四棱锥 的表面积- 14 -【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取 AB 中点 E，连结 ME、NE，推导出 MEBB 1，ENBC 1，从而平面 BCC1B1平面 MNE，由此能证明 MN平面 BCC1B1（2）AA 1C1B 1BC1，四棱锥 C1ABB 1A1的表面积：S= +，由此能求出结果【详解】取 AB 中点 E，连结 ME、 NE，在直三棱柱 中， ， ，M， N 分别是 ， 的中点， ， ，、 平面 、 平面 MNE，- 15 -平面 平面 MNE，平面 MNE，
21、 平面 解： 连接 ，直三棱柱 中， ， ， M， N 分别是 ， 的中点，则 ， ，四棱锥 的表面积：，【点睛】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的表面积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题20. 已知二次函数 ，若 ，且对任意实数 x 均有 成立，设当 时， 为单调函数，求实数 k 的范围；当 时， 恒成立，求实数 k 的范围【答案】 （1） ，或 ；（2）【解析】【分析】（1）由题意得函数 f（x）的对称轴为 x=1，用待定系数法求出 f（x）的解析式，从而得
22、g（x）的解析式，结合 g（x）在2，2上是单调函数，知对称轴在2，2外，求出 k 的取值范围（2）若 g（x）=x 2+（2k）x+1，x1，2时，g（x）0 恒成立，则 ，解得实数k 的范围【详解】 ，- 16 -且对任意实数 x 均有 成立；，且 ；即 ，且 ，解得 ；，在 上是单调函数，应满足： ，或 ，即 ，或 ；的取值范围是 ，或 若 ， 时， 恒成立，则 ，即解得： ，的取值范围是【点睛】 （1）二次函数图象与 x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次” ，它们常结合在一起，而二次函数
23、又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法21. 在如图所示的五面体中， ABCD 为直角梯形， ，平面 平面ABCD， ， 是边长为 2 的正三角形证明：直线 平面 ACF；求点 A 到平面 BDE 的距离- 17 -【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取 AD 中点 O，以 O 为原点，OA 为 x 轴，过 O 作 AB 的平行线为 y 轴，OE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 BE平面 ACF（2）求出平面 BDE 的法向量，利用向量法能求出点 A 到平面 BDE
24、的距离【详解】证明： 取 AD 中点 O，以 O 为原点， OA 为 x 轴，过 O 作 AB 的平行线为 y 轴， OE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 1， ， 0， ， 0， ，2， ， 4， ， 0， ， 4， ， 2， ， ， ，又 ， 平面 ACF设平面 BDE 的法向量 y， ，- 18 -由 ，可得点 A 到平面 BDE 的距离【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5
25、）根据定理结论求出相应的角和距离.22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的方程为 ，点 求过点 M 且与圆 C 相切的直线方程；过点 M 任作一条直线与圆 C 交于 A， B 两点，圆 C 与 x 轴正半轴的交点为 P，求证：直线PA 与 PB 的斜率之和为定值【答案】 （1） ，或 ；（2）见解析【解析】【分析】（1）显然直线 l 的斜率不存在时，与圆相切，直线 l 的斜率存在时，设切线方程为y+3=k（x2） ，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点 P（2，3）且与圆 C 相切的直线 l 的方程；（2）设出 AB 的方程，代入圆的方程，转化为根与系数之间的关系，利用设而不求思想结合直线斜率进行整理即可【详解】 当直线 l 的斜率不存在时，显然直线 与圆相切，当直线 l 的斜率存在时，设切线方程为 ，圆心到直线的距离等于半径，解得 ，切线方程为：即过点 且与圆 C 相切的直线 l 的方程； ，或 依题意可得当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB： ，代入，整理得 ；- 19 -设 ， ，又， ，直线 PA 与 PB 的斜率之和为，为定值【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
