1、1东山二中 20182019 学年（上）高二期中考文科数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分)1已知不等式 的解集是 ，则 的值为( )20axb(1,2abA B C D122. 设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， ,lmlm以下命题成立的是（ ）A若 ，则 B若 ，则llC若 ，则 D若 ，则/ /3 已知直线 ，则当 变化时，所有直线都通过(31)(2)0()kxykRk定点 ( )A B C D0, (,)721(,)71(,)744. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
2、尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A9 盏 B5 盏 C3 盏 D1 盏5. 在 中，若 ,则 是（ ）C2sin1cosABA等腰三角形 B直角三角形 C. 等边三角形 D等腰直角三角形6.对具有线性相关关系的变量 有一组观测数据 ,其回归直线方程是,xy(,)ixy(12.8)i且 , ,则实数 是( )13yxa128.3128.5aA B C D24167某中学 2015 届有 840 名学生，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1,2，840 随机编号，则抽取的
3、42 人中，编号落入区间481,720的人数为( )A11 B12 C13 D148某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得 的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为( )xy2A7 B8 C9 D109. 给出如下四对事件:某人射击 1 次,“射中 7 环”与“射中 8 环”;甲、乙两人各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”;从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,“至少一个黑球”与“都是红球”;从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球
4、,“没有黑球”与“恰有一个红球”.其中属于互斥但不对立的事件的有( )A 0 对 B. 1 对 C.2 对 D.3 对10. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的 ,ab分别为 14，18，则输出的a为（ ）A.0B.2 C.4 D.1411. 函数 在(-,2上是单调减()fxmx函数的必要不充分条件是( )A. B. C. D. 306m12.已知函数 , ，若对 , ,使得2()f1()xg13x20x，则实数 的取值范围是（ ）12()fxg4444AmBCD二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13若实数 满足 ，则
5、的最小值为_,xy12xy14.在如图所示的正方体 1AD中， 分别是棱,EF1,BAD的中点,则异面直线 BF与 所成角的余弦值为_15.有下列四个命题,其中真命题有 (只填序号). “若 ,则 互为倒数”的逆命题;1xy“全等三角形的面积相等”的否命题;“若 ,则 有实根”的逆命题;q20xq“若 ,则 ”的逆否命题.abc16.在平面直角坐标系 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是oy到原点的距离大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率为 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤)17.如图，在 中， 是 边上的一点， ， ， .ABCP60APC3B4APB31000.0250.0150.010.005908070605040（1）求 的长；BP（2）若 ，求 的值.534ACcosACP18. 等比数列 的各项均为正数，且na21362,9aa（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和为 ； 31323logl.logn nb1nbnT19.某高级中学共有学生 2000 人，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.19.（1）如果用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在高三年级抽取多少人？（
7、2）已知 ， 求高三年级女生比男生多的概率.245,ym20某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 40 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段， 后画出如下部分频率分布50,46,10,9直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是 4050 分及 90100 分的学生中选两人，记他们的成绩为 x， y，求满足“ ”的概率.10|yx21.已知命题 ;:p21,04xRm命题 函数 在1,+)上单调递减.q12()logfx高一 高二 高三女生 373 xy男生 377 370 m
8、4(1)若 为真命题,求 的取值范围;pqm(2)若 为真命题, 为假命题,求 的取值范围.pq22(12 分)已知圆 C： x2 y22 x4 y30（1）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程（2）从圆 C 外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为 M， O 为坐标原点，且有 ，|POM求使得 取得最小值的点 的坐标|M5东山二中 20182019 学年（上）高二年期中考文科数学答案一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112D A C C A A B B C B C D二、填空题（每小题 5 分，共 20
9、分） 13、 14、 15、 16、2216三解答题（共 6 小题，其中 17 题 10 分，其余每小题均为 12 分，共 70 分）17.解：（1）由已知，得 1 分10APB又 ， ，3AB4在 中，由余弦定理，P得 ，4 分22cos120整理，得 .解得 .5 分0BP（2）由（1）知， ，所以在 中，由正弦定理.得 ，6 分ACPsin6iAC解得 .7 分342sin5因为 ，所以 ，从而 ，即 是锐角，9 分5324APCAPCAP所以 .10 分243cos1518. 等比数列 的各项均为正数，且na21362,9aa（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和为
10、； 31323logl.logn nbnbnT解：（）设数列 的公比为 ，由 有aq269a2349a ，由条件可知各项均为正数，故29q 1由 有123 1123,3aqa故数列 的通项式na3na（） 31323 (1)logl.log(12.)2n nnbaa故 ()()n则： 11112.2().()3n nTb n 数列 的前 项和为nnT19.某高级中学共有学生 2000 人，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学 生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生 的概率是 0.19.（1）如果用分 层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在高三年级抽取多少人？（2）已知 ， 求高三年级女
11、生比男生多的概率.245,ym解：全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率 20xP0.92x380x(1) 高三年级学生数为： 2(73807)5用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，则应在高三年级抽取 480122（2）若 ， 则男女生人数可能情况为：45,ym女生数245246247248249250251252253354255男生数255254253252251250249248247246245基本事件总数有 11 个。记 A=“高三年级女生比男生多”满足事件 A 的基本事件有 5 个高一高二高三女生373xy男生377370m5()1PA20某校从参加高一年级期末考
12、试的学生中抽出40 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段 ，50,4 后画出如下部分频率分布直方图，60,51,9观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是 4050 分及 90100 分的学生中选两人，记他们的成绩为 x， y，求满足“ ”的概率.10|yx解：（1）由频率分布直方图可知第 1、2、3、5、6 小组的频率分别为：0.1、0.15、0.15、0.25、0.05，所以第 4 小组的频率为：1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3在频率分布直方图中第 4 小
13、组的对应的矩形的高为 ，对应图形如图所03.1示： （2） 考试的及格率即 60 分及以上的频率及格率为 0.15+0.3+0.25+0.05=0.75又由频率分布直方图有平均分为：71950.825.73.0651.5.041. （3）设“成绩满足 ”为事件 A|yx由频率分布直方图可求得成绩在 4050 分及 90100 分的学生人数分别为 4 人和 2人，记在 4050 分数段的 4 人的成绩分别为 ，90100 分数段的 2 人的成绩分别dcba,为 ，则从中选两人，其成绩组合 的所有情况有：fe, ),(yx ),(),(,)(,),(,),(,)(, fedfcedcfecfead
14、cba，共 15 种，且每种情况的出现均等可能。若这 2 人成绩要满足“ ”，则要求一10|yx人选自 4050 分数段，另一个选自 90100 分数段，有如下情况：，共 8 种，所以由古典概型概率公式),(),(,)(,),( fdefcefbefae有 ，即所取 2 人的成绩满足“ ”的概率是 158AP10|yx151000.0250.0150.010.0059080706050400.0321.已知命题 ;:p21,04xRm命题 函数 在1,+)上单调递减.:q12()logfx(1)若 为真命题,求 的取值范围;(2)若 为真命题, 为假命题,求 的取值范围.ppq解:若 p 为真
15、, 2(1)4)0m0m若 q 为真,函数 在1,+)上单调递减,21()logfxx函数 在1,+)上单调递增,2()g144(1) 若 为真命题,则 均为真,所以 m0,4.pqpq(2) 若 为真命题, 为假命题,则 一真一假,pq， 当 真 假 时 04m， pq当 假 真 时 所以 m 的取值范围为(-,0)(4,+).22(12 分)已知圆 C： x2 y22 x4 y30（1）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程（2）从圆 C 外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为 M， O 为坐标原点，且有|PM| PO|，求使得| PM|取得最小值的点
16、 P 的坐标【解析】 （1）将圆 C 整理得( x1) 2( y2) 22当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为 y kx，圆心到切线的距离为 ，即 k24 k20，解得 k2 | k 2|k2 1 2 6 y(2 )x；6当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为 x y a0，圆心到切线的距离为 ，即| a1|2，解得 a3 或1| 1 2 a|2 2 x y10 或 x y30综上所述，所求切线方程为 y(2 )x 或 x y10 或 x y306（2）| PO| PM|， x y ( x11) 2( y12) 22，即 2x14 y130，21 21即点 P 在直线 l：2 x4 y30 上当| PM|取最小值时，即| OP|取得最小值，此时直线 OP l，直线 OP 的方程为：2 x y0，解得方程组Error!得Error! P 点坐标为 (310， 35)
