1、1长郡中学 20172018 学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第 I 卷和第卷两部分，时量 120 分钟，满分 150 分第卷（60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，毎小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数 （其中 ，为虚数单位）的虚部为 1，则A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】 , 的虚部为 ，故选 C.2. 已知集合 ，集合 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,故选 B.3. 长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的 3 位男教师和 2 名女教师中，任选 2 人参加说课比赛，则选取的 2 人恰
2、为一男一女的概率为A. B. C. D. 25 35 13 23【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的 人恰为一男一女的概率为 ，故2P=C13C12C25=610=35选 B.4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则an n Sn a4+a12-a8=8,a10-a6=4 S23=2A. 23 B. 96 C. 224 D. 276【答案】D【解析】 是等差数列，可设首项为 ，公差为 ，由 ，可得an a1 d a4+a12-a8=8,a10-a6=4， ，故选 D.a1+7d=84d=4 a1=1d=1 S23=231+23222 1=2765. 已知 为双曲线 的一个焦点，
3、其关于双曲线 的一条渐近线的对称F C:x2a2y2b2=1(a0,b0) C点在另一条渐近线上，则双曲线 的离心率为CA. B. 2 3C. 2 D. 5【答案】C【解析】设右焦点 关于渐近线： 的对称点为 ，则 在 上 交于 ，F2(c,0) y=bax F0 F0 y=bax F2F0 Q由点到直线距离公式可得 ， 为直角三角形，三边分别为 ，由对称性F2Q=b F1F2F0 2a,2b,2c知， ， ，故选 C.F2OQ=F0OQ=F1OF0=60 2c=4a,e=ca=26. 下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. B. f(x)=sinx f(x)=x3+1C. D. f
4、(x)=log2x2+1+x f(x)=12x1+2x【答案】C【解析】对于 .函数是奇函数，在 为整数）上递增，则 不满足；对于 .A (2k2,2k+2) (k A B函数为奇函数，由于 ，则在 上递增，则 满足；对于 .函数为偶函数，则 不满足；y0 R B C C对于 .函数既不是奇函数，也不是偶函数，则 不满足，故选 C.D D37. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的结果为i=1,S=0A. 7 B. 9 C. 10 D. 11【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环， ；第二次循环， ；i=1,S=ln32 i=9B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属
5、于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 若二项式 展开式的各项系数之和为 ，则含 项的系数为(x2+ax)7 1 x2A. 560 B. C. 280 D. 560 280【答案】A【解析】因为二项式 展开式的各项系数之和为 ，所以 ，(x2+ax)7 -1 (1+a)7=
6、1,a=2的通项为 ，令 项的系数为(x22x)7 Tr+1=Cr7(x2)7r(2x)r=Cr7x143r(2)r 143r=2,r=4,x2，故选 A.T5=C47(2)4=5609. 某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是4A. B. 192+96 256+96C. D. 192+100 256+100【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为 和 的直角三角形，高为 ，半圆柱的底面半径为 ，8 6 8 5高为 ，所以该几何体的体积为 ，故选 C.812868+12528=192
7、+10010. 已知椭圆 ，若直线经过 ，与椭圆交于 两点，且 ，则C:x29+y25=1 M(0,1) A、B MA=23MB直线的方程为A. B. C. D. y=12x+1 y=13x+1 y=x+1 y=23x+1【答案】B【解析】设直线斜率为 ， ， ，由 与k A(x1,y1),B(x2,y2) MA=23MB,2x1=3x2 y=kx+1联立可得， ，则 ，解得 ，故选 B.x29+y25=1 (5+9k2)x2+18kx36=0 x1+x2=18k5+9k2x1x2= 365+9k22x1=3x2 k=1311. 已知三棱锥 的每个顶点都在球 的表面上， 底面SABC O SA
8、，且二面角 的正切值为 4，则球 的表面积为ABC,AB=AC=4,BC=215 SBCA OA. B. C. D. 240 248 252 272【答案】D【解析】设 中点为 ，可得 ，则 是“二面角 ” 的平面角，由于BC D AD=1 SDA S-BC-A“二面角 ” 的正切值为 ， ，由余弦定理知，S-BC-A 4 SA=4AD=4，由正弦定理知， 外接圆直径 ，设cosCAB=16+1660244=78,sinCAB=158 ABC 2r=215158=165外接球半径为 ，则 ， 球 的表面积为 ，SABC R 4R2=SA2+4r2=16+162=272 O 4R2=272故选
9、D.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（ 为三棱的长） ；若 面 （ ） ，则 （为4R2=a2+b2+c2 a,b,c SA ABC SA=a 4R2=4r2+a2外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球； 特殊几何体可以直接找出球心和半ABC径.12. 已知函数 在区间 上有两个零点，则实数 的取值范围f(x)=x2xlnxk(x+2)+2 12,+) k为A. B. C. D. (1，910+ln25 (1，910+ln24 (1，710+ln24 (1，710+ln25【
10、答案】A【解析】函数 在区间 上有两个零点，等价于 与f(x)=x2-xlnx-k(x+2)+2 12,+) y=k(x+2)的图象有两个交点，设 与 的图象相切，切点为 ，则f(x) y=k2(x+2) f(x) (x0,y0),y0=k2(x0+2)，解得 ，因为关于 的方程， 与 有y0=x02x0lnx0+22x0lnx01=k2 x0=1,y0=3,k2=1 x y=f(x) y=k(x+2)两个交点， ，故选 A.10) BC1D DA1夹角余弦公式可得结果.试题解析：（）三棱柱 是直三棱柱， 平面 ，ABC-A1B1C1 AA1 ABC又 平面 ， ， 是 的中点， ，BD AB
11、C BDAA1 BA=BC D AC BDAC又 平面 平面 ，ACAA1=A,AC ACC1A1,AA1 ACC1A1 平面 ，又 平面 ， BD ACC1A1 A1D ACC1A1 BDA1D（）由（）知 平面 ，故以 为原点， 为 轴， 为 轴，过BDAC,AA1 ABC D DB x DC y点平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系 （如图所示） ，D AA1 z D-xyz9设 ，则 ，AA1=(0) A1(0,-4,),B(3,0,0),C1(0,4,),D(0,0,0) ， 设平面 的一个法向量 ，DA1=(0,-4,),DC1=(0,4,),DB=(3,0,0) BC1D n=
12、(x,y,z)则 ，即 ，则 ，令 可得， ，故 ，nDC1=0nDB=0 4y+z=03x=0 x=0 z=4 y=- n=(0,-,4)设直线 与平面 所成角为 ，A1D BC1D 则 ，sin=|cosn,DA1|=|nDA1|n|DA1|=| 4+42+162+16|=45解得 或 ，即 或 =2 =8 AA1=2 819. 某地 4 个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象过去 50 周的资料显示，该地周光照量 （小时）都在 30 以上其中不足 50 的周数大约有 5 周，不低于 50 且不超过 70X的周数
13、大约有 35 周，超过 70 的大约有 10 周根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫 1 号液体肥料 （千克）之间对应数据为如图所示的折y x线图：（）依据数据的折线图，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；并根据y xy=bx+a所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫 1 号肥料 10 千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量 是多少斤？y（）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为10该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量 限制，并有如下关系：X周光
14、照量 （单位：小时）X 3070光照控制仪最多可运行台数 3 2 1若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 5000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 800 元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式： b=ni=1xiyinxyni=1xi2nx2,a=ybx【答案】(1) ；（2） .500 2【解析】试题分析：（）算出样本中心点的坐标，利用公式求得 ，由b=106-554145-552=0.3可得 ，即可得回归方程，再将 时代入即可得结果；（）分别求出a=y-bx a=2.5 x=10安装 2 台光照控制仪的周利润的均值、
15、安装 3 台光照控制仪的均值，与安装 1 台光照控制仪可获得周利润进行比较即可得结果.试题解析：（） ， x=2+4+5+6+85 =5,y=3+4+4+4+55 =4，5i=1xiyi=23+44+54+64+85=106,5i=1x2i=22+42+52+62+82=145， ，b=106-554145-552=0.3 a=y-bx=4-0.35=2.5所以 关于 的线性回归方程为 ，y xy=0.3x+2.5当 时， 百斤550 斤，x=10y=0.310+2.5=5.5所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫 1 号肥料 10 千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量 是 500 斤y（）记商家
16、总利润为 元，由已知条件可知至少需安装 1 台，Y安装 1 台光照控制仪可获得周利润 5000 元，安装 2 台光照控制仪的情形：当 时，一台光照控制仪运行，此时 元，X70 Y=5000-800=420011当 时，两台光照控制仪都运行，此时 元，3070 Y=5000-1600=3400当 时，两台光照控制仪运行，此时 元，50X70 Y=5000+5000-800=9200当 时，三台光照控制仪都运行，此时 元，300) P xy+4=0 d1 P E的距离为 ，且 的最小值为 d2 d1+d2 32（）求抛物线 的方程；E（）直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，线段 的中点l1:y=k
17、1(x1) E A,B l2:y=k2(x1) E C,D AB,CD分别为 ，若 ，直线 的斜率为 ，求证：直线 恒过定点M,N k1k2=2 MN k l:kxykk1kk2=012【答案】(1) ；（2）证明见解析 .y2=8x【解析】试题分析：（） 的最小值等价于点 到直线 的距离， d1+d2 F x-y+4=0 ，解得 ，从而可得结果；（）设 ，由 可得|p2+4|2=32 p=4 A(x1,y1),B(x2,y2) y2=8xy=k1(x-1) ，由中点坐标公式以及斜率公式可得 的斜率 ，k21x2-(2k21+8)x+k21=0 MN k=(k1+k2)=-2直线的方程 可化为
18、 ，从而可得结果.kx-y-kk1-kk2=0 y=kx+2试题解析：（）抛物线 的焦点为 ，由抛物线的定义可得 ，E F(p2,0) d2=|PF|则 ，其最小值为点 到直线 的距离， d1+d2=d1+|PF| F x-y+4=0 ，解得 （舍去负值） ， |p2+4|2=32 p=4抛物线 的方程为 E y2=8x（）设 ，由 可得 ， 则A(x1,y1),B(x2,y2) y2=8xy=k1(x-1) k21x2-(2k21+8)x+k21=0，所以 x1+x2=2k21+8k21 y1+y2=k1(x1-1)+k1(x2-1) =k1(x1+x2)-2k1 =2k21+8k1 -2k
19、1 的中点 的坐标为 ，=2k21+8-2k21k1 =8k1, AB M (k21+4k21,4k1)同理可得点 的坐标为 ，则直线 的斜率 ，则 ，N (k22+4k22,4k2) MN k= 4k1-4k2k21+4k21-k22+4k22=- 2k1+k2 k=(k1+k2)=-2则直线的方程 可化为 ，即 ，令 可得 ，kx-y-kk1-kk2=0 y=kx-k(k1+k2) y=kx+2 x=0 y=2直线恒过定点 (0,2)【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种： 可设
20、出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数）在点 处的切线经过点 f(x)=bex1 bR e (0,f(0) (2,2)（）讨论函数 的单调性；F(x)=f(x)+ax(aR)（）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围xR exf(x)c(x1)+1 c13【答案】(1) 当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上递减，a0 F(x) R a0 F(x) (,lna)函数 在 上单调递增；（ 2） .F(
21、x) (lna,+) e2,0)【解析】试题分析: （）求出 ，由过点 的直线的斜率为f(x) (0,b-1),(2,-2)可得 ，讨论两种情况，分别由 得增区间，k=b-1-(-2)0-2 =-b+12 =f(0)=-b b=1 f(x)0得减区间；（）原不等式等价于不等式 恒成立，利用导数研究f(x)0 F(x)=a-1ex=0 x=-lna当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，x(-,-lna) F(x)0函数 单调递增F(x)（）不等式 恒成立，即不等式 恒成立，设exf(x)c(x-1)+1 ex+cx-c0，g(x)=ex+cx-c,g(x)=ex+c若 ，则 ，函数 单调递增且
22、不存在最小值，不满足题意；当 时，由c0 g(x)0 g(x) c0,g(x)所以 ，要使得 恒成立，只需g(x)g(ln(-c)=eln(-c)+cln(-c)-c=-2c+cln(-c) g(x)0恒成立，由于 ，所以有 ，解得 ，即当-2c+cln(-c)0 c0 ln(-c)2 -e2c0时， 恒成立，即 恒成立，也即不等式 恒成c-e2,0) g(x)0 ex+cx-c0 exf(x)c(x-1)+1立，所以实数 的取值范围为 c -e2,0)22. 设 ， ， ， ， 是 5 个正实数（可以相等） a1 a2 a3 a4 a514证明：一定存在 4 个互不相同的下标， ， ， ，使
23、得 k | aiajakal |12【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设 ，则 ， ， ， ， 都属于区间 ，由抽a1a2a3a4a5a1a2 a3a4 a1a5 a2a3 a4a5 (0 ， 1屉原理知，区间 或 中一定有一个区间至少包含其中的 3 个数，5 个分数的分子、(0 ， 12 (12 ， 1分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的 4 个下标互不相同 、 对应的分数的分子、分母的 4 个下标符合要求因此，结论成立a b试题解析：不妨设 ，考虑以下 5 个分数： ， ， ， ， ，a1a2a3a4a5a1a2 a3a4 a1a5 a2a3 a4a5它们都
24、属于区间 (0 ， 1把区间 分成两个区间： 和 ，由抽屉原理知，区间 或 中一定有(0 ， 1 (0 ， 12 (12 ， 1 (0 ， 12 (12 ， 1一个区间至少包含中的 3 个数（记这 3 个数依次为 ， ， ） a b c将中的 5 个数依次围成一个圆圈，则中任意三个数中都有两个数是相邻的（ 与 是相a1a2 a4a5邻的） ，即 ， ， 中至少有两个数是相邻的假设 与 相邻，则 a b c a b | a-b |12另一方面，由中 5 个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的 4 个下标互不相同于是， 、 对应的分数的分子、分母的 4 个下标
25、符合要求因此，结论成立a b23. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，在极坐标系中，M x=1+22cosy=1+22sin 直线 的方程为： ，直线 的方程为 l1 1= l2 2=+2（）写出曲线 的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；M（）设 与曲线 交于 两点， 与曲线 交于 两点，求四边形 面积的取值范l1 M A,C l2 M B,D ABCD围【答案】(1) 以 为圆心， 为半径的圆；（2） .(1,1) 22 83,14【解析】试题分析：（）利用平方法可消去参数，从而可得曲线 的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；（）设 ， ，曲线 的方程化成极坐标方程，将曲线 的方程化成极坐标方程得： ，15， ，从而可得结果.试题解析：（）由 （ 为参数）消去参数 得： ，x=1+22cosy=1+22sin (x-1)2+(y-1)2=8曲线 是以 为圆心， 为半径的圆M (1,1) 22（）设 ， ，|OA|=1 |OC|=2 三点共线，则 ，将曲线 的方程化成极坐标方程得： ，代入得： ，用 代 得：又 ， ， ， ，
