1、- 1 -湖南省衡阳县第三中学 2019 届高三数学 5 月模拟试题 文注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1已知集合 ， ，则 AB（ ）0,12A1,ByxA B C D,200,22设 为虚数单位，则 的虚部是（ ）i2izA B C D354535i45i3为考察某种药物对预防流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到
3、的列联表画出如图的四个等高条形图，最能体现该药物对预防流感有效果的图形是（ ） 不患病患病010.80.60.40.2不服药 服药010.80.60.40.2不服药 服药010.80.60.40.2不服药 服药010.80.60.40.2不服药 服药- 2 -A B C D4 中，点 满足 .若 则（ ）BCG0.AGBA B C D132312,31,35.右图所示的程序框图的算法思路源于我国古代名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图.若输入的 则输出的 的值为（ ）36,0.abaA B1512C D06. 下列函数在其定义域上单调递减的是（ ）A B1yx0.3logxyexC
4、 Dsin2csincs7.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）,m,A 则,/./B ，则,n.mC 则,/m./D 则,.8.已知 满足 则 从最小值变化到 时，所有满足条件的点 构成,xy0,2xzxy1,xy的平面区域面积为（ ）A B C D74343239.某几何体的三视图如右图所示，正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该几是是ab否 a否结束输入 ,ab开始 输出俯视图11侧视图正视图2- 3 -何体外接球的表面积为（ ）A B5203C D8810. 在 中，三内角 的对边分别为 ，,AC,abc且 ， , 为 的面积
5、，22cab3cSB则 的最大值为( )3osSBA B. C. D 113311.已知椭圆 C： 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线20xyabFM交椭圆 于 两点，若 ，点 到直线 的距离不小于 ，:340lxy,AB4Bl45则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）A B C D,23,43,123,1412.已知 ，函数 在其定义域上有两个零点，则实数 的取值范围为0k3lnfxkxk（ ）A B C D1,e10,2e2,e10,e二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知直线 与圆 相切，则 _36xy20xymRm14已知 ，则 _1cos4sin15数列
6、 的前 项和为 ，已知 ，则 _nanS1,21nnaSa201916在区间 上任取实数 ，则 属于函数 的增区间的概率为,2xsi3yx_三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）- 4 -（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）单调递增的正项等比数列 na满足 35260,4.aA求 na的通项公式；设 求数列 的前 和 21log.nbnbAnT18 （12 分）在四棱锥 中， 平面 ， 为 AC的中点，ABCDE,2/ABCEDBEF 证明： 平面 ；/F证
7、明：平面 平面 ；AE若 ，2,90CBBC求点 到平面 的距离.D19 （12 分）互联网背景下的“懒人经济”和“宅经济”渐成声势，推动了互联网餐饮行业的发展，而“后” 、 “ 后”逐渐成为餐饮消费主力，年轻人的餐饮习惯的改变，使省时、高效、正规809的外送服务逐渐进入消费者的视野.美团外卖为了调查市场情况，对 人进行了问卷调查，50得到了如下的列联表，按照出生年龄，对喜欢外卖与否，采用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则抽到喜欢外卖的人数为 .106请将下面的列联表这补充完整；喜欢外卖 不喜欢外卖 合计90 后 5ACBF- 5 -能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜欢外卖与年龄有关？说
8、明你的理由；0.5把“ 后”中喜欢外卖的 个消费者从 到 进行编号，从中抽取 人，先后两次抛掷801211一枚骰子，出现点数之和为被抽取的序号.试求抽到 号或 号的概率.60下面的临界值表供参考： 20PKk.1505.2.1.50.10.72.63.841.06.37.89.28参考公式：其中 .22 ,nadbcKdnabcd20 （12 分）已知定点 是直线 上任一点，过 作 .线段 的垂直平分线交1,0.EH:1lxHPlEH于 .P求点 的轨迹 的方程.C过点 的直线 与点 的轨迹 相交于 两点， （ 在 轴的上方，且 在1,0KnPC,AB,xA的左侧，且 ，点 关于 轴的对称点为
9、点 ，求 的外接圆的方程BEABxD80 后 10合计 50- 6 -21 （12 分）已知函数 tan2xfxe当 时，求曲线 f在点 处的切线方程；1a0,f若 对 恒成立，求实数 的取值范围3fx,2xa（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）曲线 在直角坐标系 xOy中的参数方程是 （ 为参数， ） ，以坐标原点为Ccos2inxaty0a极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 lcos24设 是曲线 上一动点，当 时，求点 到直线 的距离的最小值；P2aPl若
10、曲线 上的所有点都在直线 的右下方，求 的取值范围Cla23选修 45：不等式选讲（10 分）- 7 -已知 1fxxa当 a时，求不等式 的解集；3fx当 时.求证：不等式 02文 科 数 学 答 案注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草
11、稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1已知集合 ， ，则 AB（C ）0,12A1,ByxA B C D,200,22设 为虚数单位，则 的虚部是（ B ）i
12、2iz此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 - 8 -A B C D354535i45i3为考察某种药物对预防流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图的四个等高条形图，最能体现该药物对预防流感有效果的图形是（ D ）A B C D4 中，点 满足 .若 则（ A ）BCG0.AGBA B C D132312,31,35.右图所示的程序框图的算法思路源于我国古代名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图.若输入的 则输出的 的值为（ B ）36,0.abaA B1512C D06. 下列函数在其定义域上单调递减的是（ C ）
13、A B1yx0.3logxyexC Dsin2csincs是是ab否 a否结束输入 ,ab开始 输出不患病患病010.80.60.40.2不服药 服药010.80.60.40.2不服药 服药010.80.60.40.2不服药 服药010.80.60.40.2不服药 服药- 9 -7.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ B ）,mn,A 则,/n./B ，则,.mC 则,/m./D 则,n.8.已知 满足 则 从最小值变化到 时，所有满足条件的点 构成,xy0,2xzxy1,xy的平面区域面积为（ A ）A B C D74343239.某几何体的三视图如右图所示，正
14、视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ D ）A B5203C D8810. 在 中，三内角 的对边分别为 ，,AC,abc且 ， , 为 的面积，22cab3cSB则 的最大值为( D )3osSBA B. C. D113311.已知椭圆 C： 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线20xyabFM交椭圆 于 两点，若 ，点 到直线 的距离不小于 ，:340lxy,AB4Bl45则椭圆 的离心率的取值范围是（ A ） A B C D,23,43,123,1412.已知 ，函数 在其定义域上有两个零点，则实数 的取值范围为0k3lnfxkxk俯
15、视图 11 侧视图正视图2- 10 -（ D ）A B C D1,e10,2e2,e10,e二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知直线 与圆 相切，则 _36xy20xymRm答案：14已知 ，则 _1cos43sin2答案： 7915数列 的前 项和为 ，已知 ，则 _nanS1,21nnaSa2019答案： 20116在区间 上任取实数 ，则 属于函数 的增区间的概率为,xsi3yx_答案： 18三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）
16、（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）单调递增的正项等比数列 na满足 35260,4.aA求 na的通项公式；设 求数列 的前 和 21log.nbnbAnT解析：（1）由题设，得，即 解得 或352604aA352064aA35416a35因为数列 n单调递增，所以 .所以 .33,- 11 -设单调递增的正项等比数列 na的公比为 ， ，则 .q0532aq又 ，所以数列 n的通项公式为 .1a12n（2）由（1）知， .所以 .则数列 的前 和2logbnabAnabA13nT2n 得：23112nn .12n nn所以 1nnT18 （12 分）在四棱锥 中， 平面 ， 为
17、AC的中点，ABCDE,2/ABCEDBEF 证明： 平面 ；/F证明：平面 平面 ；AE若 ，2,90CBBC求点 到平面 的距离.D解析：（1）取 的中点 ，连结 ，则 ，AM,FEMCDA且 ，又 .2MFC1,2BEC所以 .,所以四边形 为平行四边形. EBFA又 平面 ， 平面 .EADBF平面 .BF ABEF- 12 -（2） 为 的中点，,ABCF，又 平面 .DAB，又 ，平面 ，由（1）知 ，MEF平面 ，又 平面 ，EMC所以平面 平面 .AD（3） ，2,90B所以 又 ， .AC426AD由（2）知， ，且 .EMBF故 .1263ADS设点 到平面 的距离为 .由
18、 得 .BdBADEBV23BEDASd所以点 到平面 的距离为 .AE2319 （12 分）互联网背景下的“懒人经济”和“宅经济”渐成声势，推动了互联网餐饮行业的发展，而“后” 、 “ 后”逐渐成为餐饮消费主力，年轻人的餐饮习惯的改变，使省时、高效、正规809的外送服务逐渐进入消费者的视野.美团外卖为了调查市场情况，对 人进行了问卷调查，50得到了如下的列联表，按照出生年龄，对喜欢外卖与否，采用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则抽到喜欢外卖的人数为 .106请将下面的列联表这补充完整；喜欢外卖 不喜欢外卖 合计90 后 580 后 10合计 50ACDBEFM- 13 -能否在犯错误的概率不
19、超过 的前提下认为喜欢外卖与年龄有关？说明你的理由；0.5把“ 后”中喜欢外卖的 个消费者从 到 进行编号，从中抽取 人，先后两次抛掷801211一枚骰子，出现点数之和为被抽取的序号.试求抽到 号或 号的概率.60下面的临界值表供参考： 20PKk.1505.2.1.50.10726384106378928参考公式：其中 .22 ,nadbcKdnabcd解析：（1）由抽样结果可知，喜欢外卖的人数为： （人） ，所以不喜欢外卖的65031人数为： （人）. 故列联表补充如下：5032（2）由列联表可得 22501058.3,3K因为 ，所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜欢外卖与年龄有关
20、.8.37.9（3）先后两次抛掷一枚骰子的所有可能结果有： 1,2,1,45,6， 2,1,2,45,63,331,， ，45,2喜欢外卖 不喜欢外卖 合计90 后 20 5 2580 后 10 15 25合计 30 20 50- 14 -.共 种.和为 或 的有： ，6,34,56,3610,524,3,251.共 种.故所求概率为 .8839P20 （12 分）已知定点 是直线 上任一点，过 作 .线段 的垂直平分线交1,0.EH:1lxHlEH于 .P求点 的轨迹 的方程.C过点 的直线 与点 的轨迹 相交于 两点， （ 在 轴的上方，且 在1,0KnPC,AB,xA的左侧，且 ，点 关
21、于 轴的对称点为点 ，求 的外接圆的方程BEABxD解析：（1）由已知点 在线段 的垂直平分线上，所以 ，即点 到定点EHPEHP和定直线 的距离相等.由抛物线的定义知，点 的轨迹是以点 为焦,0:1lx 1,0E点，以直线 为准线的抛物线，且 .所以点 的轨迹当 的方程为 .2pC24yx（2）依题意，直线的斜率不为 ，可设直线 的方程为： ，0n1xmy由 得， ，214xmy24y由 得， .01m设 ，则 ，12,AxyB1224,yy所以 ， .1212m2126x因为 ，所以EAB121212,EAyxyA， （舍负）.122140xymm代入得 .则 的中点坐标为 .3,3,BB
22、3,所以线段 的中垂线方程为： .令 得， ，故 的外AB23yxy5xABD接圆的圆心坐标为 ，易知该圆圆心到直线 的距离为 ，5,0A2又 ，所以圆的半径为 .221124myy 6r- 15 -故 的外接圆的方程为： ABD254.xy21 （12 分）已知函数 tan2xfxe当 时，求曲线 f在点 处的切线方程；1a0,f若 对 恒成立，求实数 的取值范围3fx,2xa解析：（1）当 时， ， ， .1atan2xfe03f 21cosxfxe0,f所以曲线 在点 处的切线方程为： .x0,f y（2）不等式 对 恒成立，即3fa,2x不等式 对 恒成立.tan0xe,在区间 内恒成
23、立.t1x,2令 ,0,.tanxeh则 .2 sicos1xx2sincosixexA当 时， 单调递增；0,4x0,hx当 时， 单调递减；,2,时，4x4max1.2he4.a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第- 16 -一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）曲线 在直角坐标系 xOy中的参数方程是 （ 为参数， ） ，以坐标原点为Ccos2inxaty0a极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 lcos24设 是曲线 上一动点，当 时，求点 到直线 的距离的最小值；P2aPl若曲线 上的所有点
24、都在直线 的右下方，求 的取值范围Cla解析：（1）因为直线 的极坐标方程为 ，化为直角坐标方程为lcos24，当 时，设 ，则点 到直线 的距离为40xy2a,2inPtPl.cos2cosin4cos2ttd t当 时， .1tmin2d（2）点在直线 的右下方需满足： .则 恒成立.l 40xycos2in40att即 恒成立 恒成立sinco4tat2sinat2a所以 03.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 1fxxa当 a时，求不等式 的解集；3fx当 时.求证：不等式 02解析：（1）当 1a时，不等式 3fx- 17 -或 或123x123x123x解得： 所以不等式 的解集 .3fx13x（2） .112faaaA即 .fx
