1、- 1 -洛阳市 20182019 学年高中三年级第二次统一考试数学试卷（文）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合 A，利用交集运算直接求解。【详解】由 得： ，所以 ，又所以 ，故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。2.已知 的共轭复数是 ，且 （ 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析
2、】【分析】设 ，整理 得到方程组 ，解方程组即可解决问题。【详解】设 ，因为 ，所以 ，所以 ，解得： ，- 2 -所以复数 在复平面内对应的点为 ，此点位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题。3.已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 （ ）A. 5 B. C. 7 D. 37【答案】B【解析】【分析】求出 ，从而求得 ，将 等价变形为 ，整理即可得解。【详解】由题可得： ，所以 ，所以 .故选：B.【点睛】本题主要考查了向量模的坐标运算、向量的数量积概念，考查转化能力及计算能力，属于基础题。4.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为
3、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组 表示的平面区域，利用 表示点 与点 连线斜率的几何意义直接求解。【详解】作出不等式组 表示的平面区域如下图：- 3 -其中 , ，又 ，它表示点 与点 连线的斜率，由图可知，当点 在点 处时，其与点 连线的斜率最大，所以 .故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查了分式型目标函数的几何意义，属于基础题。5.下图的程序框图的算法思路源于我国 古代数学名著九章算术中的“中国剩余定理”.已知正整数 被 除余 ， 被 除余 ，被 除余 ，求 的最小值.执行该程序框图，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C- 4 -
4、【解析】分析：根据正整数 n 被 3 除余 2，被 8 除余 5，被 7 除余 4，求出 n 的最小值详解：正整数 n 被 3 除余 2，得 n=3k+2，kN；被 8 除余 5，得 n=8l+5，lN；被 7 除余 4，得 n=7m+4，mN；求得 n 的最小值是 53故选：C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序
5、框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. 18 B. 12 C. 10 D. 9【答案】D【解析】【分析】由三视图可得：该几何体是长方体中的一个四棱锥，直接利用锥体体积公式计算即可求解。【详解】由三视图可得：该几何体是长方体中的一个四棱锥 ，三视图中的俯视图的面积就是四棱锥 的底面面积，四棱锥 的高为 3，- 5 -所以 .故选：D【点睛】本题主要考查了三视图还原及锥体体积计算，考查空间思维能力，属于基础题。7.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
6、解析】【分析】由函数 的表达式即可判断 在 上递减，利用单调性可得：，解不等式即可。【详解】函数 在各段内都是减函数，并且 ，所以 在 上递减，又 ，所以解得： ，故选：A.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，考查计算能力及转化能力，属于中档题。8.已知函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简 为 ，求出它的图象向左平移 个单位长度后的图象的函数表达式 ，利用所得到的图象关于 轴对称列方程即可求得- 6 -，问题得解。【详解】函数 可化为： ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到
7、函数 的图象，又所得到的图象关于 轴对称，所以 ，解得： ，即： ，又 ，所以 .故选：A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。9.已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且， ， 成等差数列，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设双曲线左、右焦点坐标分别为 ，由 ， ， 成等差数列列方程，结合双曲线定义即可求得： ， ，用坐标表示出 ， ，联立方程组即可求得 ，结合点 在双曲线上，即可列方程求得，问题得解。【详解】设双曲线 的左、右焦点坐标分别为 ，因为 ， ， 成等差数列，所以
8、 ，又点 在双曲线的右支上，所以 ，解得： ， ，- 7 -即： ，整理得： ， （1）-（2）得： ，所以 ，又点 在双曲线上，所以 ，将 代入，解得： ，所以所求双曲线的方程为 ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及简单性质、等差数列的概念，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题。10.如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） ，设直角三角形有一个内角为 ，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取 ） ，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 20 B. 27 C. 54 D.
9、 64【答案】B【解析】【分析】设大正方体的边长为 ，从而求得小正方体的边长为 ，设落在小正方形内的米粒数大约为 ，利用概率模拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为 ，则小正方体的边长为 ，设落在小正方形内的米粒数大约为 ，则 ，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。- 8 -11.已知数列 与 的前 项和分别为 ，且 , ,若 恒成立，则 的最小值是( )A. B. C. 49 D. 【答案】B【解析】已知 ， ，两式子做差得到 ，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到 ，故 ，故裂项求和得到 ，由条件 恒成立，得到 K 的最小值为 故答案选
10、 B点睛：本题考查到了通项公式的求法， 从而得到数列 是等差数列，再求出 ，根据裂项求和的方法可以求出前 n 项和。12.若函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将函数 恰有两个极值点转化成：函数有两个不同的零点.即：方程 有两个不同的实数根，再转化成： 有两个不同的实数根，讨论 的单调性并画出简图，结合图象即可列不等式求解。- 9 -【详解】由题可得： ，因为函数 恰有两个极值点，所以函数 有两个不同的零点.令 ，等价转化成 有两个不同的实数根，记： ，所以 ，当 时， ，此时函数 在此区间上递增，当 时， ，此时函数 在此区间上递
11、增，当 时， ，此时函数 在此区间上递减，作出 的简图如下：要使得 有两个不同的实数根，则 ，即： ，整理得： .故选：D【点睛】本题主要考查了极值点与导数的关系，还考查了转化思想及计算能力，考查了函数图象与导数的关系，属于难题。第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.- 10 -13.已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】分别求出 及 ，即可求得 ，利用点斜式即可得到所求切线方程，问题得解。【详解】由题可得： ，点 化为：又 ，所以 ，所以所求切线斜率为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为： ，整理得： ，所以曲线
12、 在点 处的切线方程为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基础题。14.等比数列 的各项均为正数，且 ，则_【答案】50【解析】【分析】由等比数列的性质可得： ，由此求得 ，结合对数运算知识整理，问题得解。【详解】由等比数列的性质可得： ，所以 ，所以 ，又【点睛】本题主要考查了等比数列的下标和性质，还考查了对数运算知识，考查计算能力，属于中档题。- 11 -15.正四面体 中， 是 的中点， 是棱 上一动点， 的最小值为 ，则该四面体内切球的体积为_.【答案】【解析】【分析】将正三角形 和正三角形 沿 边展开后使它们在同一平面内，即可得到 三点共线时，
13、 最小，在三角形 中，由余弦定理可求得正四面体的边长为 ，将正四面体内接于一个正方体中，利用体积差即可求得正四面体的体积为 ，再以内切球的球心为顶点可将正四面体分成四个等体积的三棱锥，利用等体积法即可求得内切球的半径为 ，问题得解。【详解】如下图，正方体中作出一个正四面体将正三角形 和正三角形 沿 边展开后使它们在同一平面内，如下图：要使得 最小，则 三点共线，即： ，设正四面体的边长为 ，在三角形 中，由余弦定理可得：，解得： ，所以正方体的边长为 2，正四面体的体积为： ，- 12 -设四正面体内切球的半径为 ，由等体积法可得： ，整理得： ，解得： ，所以该四面体内切球的体积为 .【点睛
14、】本题主要考查了空间问题平面化思想，还考查了正四面体体积计算及内切球半径计算，考查了空间思维能力及转化能力，还考查了等体积法，属于难题。16.已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点， 为圆周上一点，线段的中点 在线段 上，且 ，则 _【答案】【解析】【分析】求出原点到直线 的距离 ，令 ，由 可得： ， ，分别在 ， 中列方程，解方程组即可。【详解】依据题意作出如下图象，其中 ，垂足为 ，所以点 为线段 的中点，由题可得：原点到直线 的距离 ，不妨令 ，由 可得： ， ，则： ，在 中，有 ，- 13 -在 中，有 ，联立方程组（1） （2） ，解得：【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式、向量
15、的数乘运算概念，还考查了圆的性质、方程思想及计算能力，属于难题。三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.如图，四边形 中， ， ， .（1）求 ；（2）若 ，四边形 的周长为 10，求四边形 的面积.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）设 ， ，由余弦定理可得： ，解方程即可求得 ，从而发现 ，问题得解。（2）由四边形 的周长为 10 可求得 ，再利用余弦定理可得，整理即可求得 ，利用三角形面积公式即可求得 ，问题得解。【
16、详解】解：（1）设 ， ，由余弦定理得： .即 ， . 或 （舍去）. . .- 14 -（2）四边形 的周长为 10， ， ， ， . .又 ，即 ， . . .【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，还考查了转化能力及三角形面积计算，属于基础题。18.已知平面多边形 中， ， ， ， ， 为 的中点，现将三角形沿 折起，使 .（1）证明： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】（1）取 的中点 ，连 ，即可证明 ，结合 即可证明四边形 为平行四边形，问题得证。（2）取 中点 ，连接 ， ，先说明 平面 ，即可求得三角形 为等边三角形，取 的中点
17、 ，先说明 平面 ，利用体积变换及中点关系，将 转化成，问题得解。【详解】解：（1）取 的中点 ，连 . - 15 - 为 中点， 为 的中位线， .又 ， ，四边形 为平行四边形， . 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）由题意知 为等腰直角三角形， 为直角梯形.取 中点 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， .在直角三角形 中， ， ， ，三角形 为等边三角形.取 的中点 ，则 ， ， ， 平面 ， ， 为 的中点， 到平面 的距离等于 到平面 的距离的一半，- 16 -.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，还考查了转化思想及几何体体积变换，考查计算能力及空间思
18、维能力，属于中档题。19.某学校高三年级共有 4 个班，其中实验班和普通班各 2 个，且各班学生人数大致相当.在高三第一次数学统一测试（满分 100 分）成绩揭晓后，教师对这 4 个班的数学成绩进行了统计分析，其中涉及试题“难度”和“区分度”等指标.根据该校的实际情况，规定其具体含义如下：难度 ，区分度 .（1）现从这 4 个班中各随机抽取 5 名学生，根据这 20 名学生的数学成绩，绘制茎叶图如下：请根据以上样本数据，估计该次考试试题的难度和区分度；（2）为了研究试题的区分度与难度的关系，调取了该校上一届高三 6 次考试的成绩分析数据，得到下表：考试序号 1 2 3 4 5 6难 度 0.6
19、5 0.71 0.73 0.76 0.77 0.82区分度 0.12 0.16 0.16 0.19 0.20 0.13用公式 计算区分度 与难度 之间的相关系数 （精确到 0.001） ；判断 与 之间相关关系的强与弱，并说明是否适宜用线性回归模型拟合 与 之间的关系.参考数据： ， .【答案】 （1）难度 ，区分度 ；（2） 两者之间相关性非常一般，不适宜- 17 -用线性回归模型拟合 与 之间的关系.【解析】【分析】（1）根据茎叶图得到验班这 10 人的数学总成绩为 860，普通班这 10 人的数学总成绩为700，直接根据计算公式计算即可求解。（2）将 转化成 ，根据表中的数据可计算得 ，
20、 ，结合已知条件可得： ，问题得解。【详解】解：（1）由茎叶图知，实验班这 10 人的数学总成绩为 860，普通班这 10 人的数学总成绩为 700，故这 20 人的数学平均成绩为 ，由此估计这 4 个班的总平均分为 78，所以难度 .由 估计实验班的平均分为 86，由 估计普通班的平均分为 70，所以区分度 .（2）由于 ，.且 ， ，.- 18 - .由于 ，故两者之间相关性非常一般，不适宜用线性回归模型拟合 与之间的关系，即使用线性回归模型来拟合，效果也不理想.【点睛】本题主要考查了茎叶图知识，平均数计算，还考查了线性相关系数的计算及相关性判断，考查计算能力及化简能力，属于中档题。20.
21、已知椭圆 ： ， 为坐标原点， 为椭圆 的左焦点，离心率为，直线 与椭圆相交于 ， 两点.（1）求椭圆 的方程；（2）若 是弦 的中点， 是椭圆 上一点，求 的面积最大值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根据 可求得 ，结合离心率为 即可求得 ， ，问题得解。（2）设 ， .设直线 的方程为： ，联立直线与椭圆方程可得：，结合 可求得 ，利用弦长公式求得 ，再利用直线与椭圆的位置关系即可求出 点到直线 的距离的最大值，问题得解。【详解】解： ， 为椭圆 的左焦点，设椭圆 的焦距为 ，所以 ，离心率为 ， ，又 ，所以 ，椭圆 的方程为： .（2）设 ， . 是弦 的中点，直
22、线 的斜率存在，设斜率为 ，- 19 -则直线 的方程为： ，即 .由 联立，整理得： ，因为直线与椭圆相交，所以 成立. ， ， ， ，直线 的方程为： ， ， ， .要使 的面积最大值，而 是定值，需 点到 的距离最大即可.设与直线 平行的直线方程为： ，由方程组 联立，得 ，令 ，得 . 是椭圆 上一点， 点到 的最大距离，即直线 到直线 的距离 .而 ，此时 .因此， 的面积最大值为 .【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了韦达定理及中点坐标公式、弦长公式，考查了方程思想、两平行线间方程的关系及计算能力，考查了直线与椭圆的位置关系及转化思想，属于难题。21.已知函数 .（1）讨
23、论函数 的单调性；（2）若 ，函数 在区间 上恰有两个零点，求 的取值范围.- 20 -【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】（1）求出 ，对 的正负分类讨论即可。（2）利用（1）中的结论即可判断 在 上单调递减，在 上单调递增，对 与区间 的关系分类讨论即可判断 在 的单调性，从而根据零点个数列不等式组即可求解。【详解】解：（1） 的定义域为 ，. 时， ，所以 在 上单调递增； 时，由 得 ， 得 .即 在 上单调递减，在 上单调递增.综上：当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）当 时，由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，若 ，即
24、时， 在 上单调递增， 在区间 上无零点.若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，. 在区间 上恰有两个零点， ， .若 ，即 时， 在 上单调递减， ， 在区间 上有一个零点 .综上， 在区间 上恰有两个零点时 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，还考查了利用导数解决函数零点个数- 21 -问题，考查转化能力及分类讨论思想、计算能力，属于难题。（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系
25、 中，曲线 的参数方程为 （ 是参数） ，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ， 是曲线 上任意一点，求点 到曲线 的距离的最大值.【答案】 （1） 的普通方程为： ， 的直角坐标方程为： ；（2）.【解析】【分析】（1）直接消参可得曲线 的普通方程，整理 可得 ，将代入即可求得曲线 的直角坐标方程，问题得解。（2）利用伸缩变换 求得曲线 ： ，利用椭圆的参数方程可设，结合点到直线距离公式及辅助角公式即可解决问题。【详解】解：（1） ，消参可得曲线 的普通方程为： ， ， ，
26、又 ,代入可得： .故曲线 的直角坐标方程为： .（2）曲线 ： ，经过伸缩变换 得到曲线 的方程为： ，曲线 的方程为： .设 ，根据点到直线的距离公式可得- 22 -（其中 ） ，点 到曲线 的距离的最大值为 .【点睛】本题主要考查了化参数方程为普通方程及化极坐标方程为直角坐标方程知识，还考查了伸缩变换及椭圆的参数方程应用，考查点到直线距离公式、辅助角公式及计算能力，属于中档题。23.已知函数 ， .(1)当 时，解不等式 ；(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由 ，得 ，两边平方，可解不等式。 （2）由参变分离法可得 ，只需 ， .，分段讨论或绝对值不等式法，可得最大值为 1.试题解析：（）由 ，得 ， 两边平方，并整理得 ， 所以不等式的解集为 . （）法一：由 ，得 ，即 . 令 ，依题意可得 . ， 当且仅当 时，上述不等式的等号同时成立，所以 .所以 的取值范围是 . 法二：由 ，得 ，即 . 令 ，依题意可得 . ， 易得 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， 取得最大值 . - 23 -故 的取值范围是 .
