1、高三文数 第 1 页 南阳一中 2019 年春期高三第 20 次 考试 文数 试题 第 I 卷（选择题 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1 集合 的子集个数为 A 4 B 5 C 16 D 32 2 在复平面内，复数 ( 为虚数单位 )的共轭复数对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 在平行四边形 ABCD中， ，若 E为线段 AB 中点，则 A B 1 C D 2 4. 若函数 有且仅有两个不同零点，则 b 的值为 A B C D.不确定 5 已知 Sn为等差数列 an的前 n 项和， a1 1，公差为 d，则 “ 1
2、d 0”是 “S22+S52 26”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知函数 ，点 ， 分别为 图像在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点， 为坐标原点，若 为锐角三角形，则 的取值范围为 A B C D 7 设双曲线 的右焦点是 ，左、右顶点分别是 ，过 作 的垂线与双曲线交于 两点，若 ，则双曲线的渐近线的斜率为 A B C D 8 函数 的递增区间是 A （ ） B （ ） 高三文数 第 2 页 C （ ） D （ ） 9 在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A B C D 10 已知函数 , 则 的值等于 A
3、B C D 11 已知函数 是奇函数，当 时， ，则 的解集是 A B C D 12 定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则下列结论正确的是 A B C D 第 II 卷（非选择题 ) 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。 13 已知 ，则 =_ 14 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ，则 _ 15设抛物线 的焦点为 F，准线为 L， P 为抛物线上一点， ， A 为垂足 如果直线 AF 的斜率为 ，那么以 PF 为直径的圆的标准方程为 _ 16 若侧面积为 8的圆柱有一外接球 O,则当球 O 的体积取得最小值时 ,圆柱的表面积为 . 三、
4、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。 17 已知等差数列 与公比为正数的等比数列 满足 ， ，. （ 1）求 ， 的通项公式； （ 2）若 ，求数列 的前 项和 . 高三文数 第 3 页 18 某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶 3 元，售价每瓶 5元，每天未售出的饮料最后打 4折当天全部处理完 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 单位： 有关 如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 100 瓶 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数
5、分布表： 最高气温 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 六月份这种饮料一天的需求量不低于 300瓶的概率； 设六月份一天销售这种饮料的利润为 单位：元 ，六月份这种饮料一天的进货量为 单位：瓶 当 时，写出 Y关于 n的函数，并估计这种进货量亏损的概率有多大 19 已知平面多边形 中， ， ， ， ， 为 的中点，现将三角形 沿 折起，使 . （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求三棱锥 的体积 . 20 已知椭圆 C： 的离心率为 ， ， 分别为椭圆 C 的左、右焦点，点 满足 求椭圆 C 的方程； 直线 1 经过椭圆 C 的右焦点与椭圆
6、相交于 M， N 两点，设 O 为坐标原点，直线OM，直线 l，直线 ON 的斜分别为 ， k， ，且 ， k， 成等比数列，求 的值 高三文数 第 4 页 21 已知函数 f（ x） ex 有两个极值点 （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）若函数 f（ x）的两个极值点分别为 x1， x2，求证： x1+x2 2 选考题；共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。 22 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （ 1）求曲线 的参数方程和直线 的直角坐标方程； （ 2
7、）若直线 与 轴和 轴分别交于 ， 两点， 为曲线 上的动点，求 面积的最大值 . 23 已知函数 作出函数 的图象； 若不等式 的解集是实数集 R，求 的取值范围 高三文数 第 5 页 南阳一中 2019 年春期高三第 20 次考试 文数 参 考答案 1-5:CACBB 6-12:CBCDD AC 13 -4 14 15 16 12 17（ 1）由题意 ， . 设公差为 ，公比为 ，则 ， 解得 . 故 ； . （ 2）因为 ， 所以 ， 故 . 18 前三年六月份各天最高气温位于区间 的天数为 ， 六月份这种饮料一天的需求量不低于 300瓶的概率为 当最高温度不低于 25时， ， 当最高温
8、度位于区间 时， ， 当最高气温低于 20 时， 前三年六月份各天最高气温低于 20 的天数为 ， 亏损的概率 19解：（ 1）取 的中点 ，连 . 为 中点， 为 的中位线， . 又 ， ， 四边形 为平行四边形， . 平面 ， 平面 ， 平面 . 高三文数 第 6 页 （ 2）由题意知 为等腰直角三角形， 为直角梯形 . 取 中点 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， . 在直角三角形 中， ， ， ， 三角形 为等边三角形 . 取 的中点 ，则 ， ， ， 平面 ， ， 为 的中点， 到平面 的距离等于 到平面 的距离的一半， . 20解： 依题意 ， ，即
9、， ， ， 椭圆 C 的方程为 ， 设直线 l 的方程为 ， ， ， 由 ，得 ， 则 ， ， ， k， 成等比数列， ， 则 ， 即 ， 解得 故 21 （ 1）解： f（ x） ex ax 函数 f（ x） ex 有两个极值点 f（ x） ex ax 0有两个实数根 高三文数 第 7 页 x 0时不满足上述方程， 方程化为： a ， 令 g（ x） ，（ x0） g（ x） ， 可得： x 0时， g（ x） 0，函数 g（ x）单调递减； 0 x 1时， g（ x） 0，函数 g（ x）单调递减； x 1时， g（ x） 0，函数 g（ x）单调递增 a e时，方程 f（ x） ex a
10、x 0有两个实数根 实数 a的取值范围是（ e， +） （ 2）证明：由（ 1）可知： a e时，函数 f（ x）有两个极值点分别为 x1， x2，不妨设 x1 x2 证明： + 2 2 1 ， 由 ，因此即证明： 构造函数 h（ x） ， 0 x 1， 2 x 1 h（ x） （ x 1） ， 令函数 u（ x） ，（ 0 x） u（ x） 可得函数 u（ x）在（ 0， 1）内单调递减，于是函数 v（ x） 在（ 0， 1）内单调递减 v（ x） v（ 1） 0 x 1时，函数 h（ x）取得极小值即最小值， h（ 1） 0 h（ x） h（ 1） 0 因此 + 2成立 22（ 1）由 ，
11、得 的参数方程为 （ 为参数） 由 ，得直线 的直角坐标方程为 （ 2）在 中分别令 和 可得： ， 高三文数 第 8 页 设曲线 上点 ，则 到 距离： ，其中： ， 当 ， 所以 面积的最大值为 23（ 1）将 去掉绝对值转化为分段函数 ， 作出它的图象如图 1 所示 （ 2）如图 2，点 的坐标为 ， “不等式 的解集是实数集 ”等价于 “对 都成立 ”，等价于“函数 图象上所有的点都在直线 的上方或在直线 上 ”， 等价于 或 或 ， 整合三类情形得 在平面直角坐标系 中作出不等式组 表示的可行域，如图 3 所示 记 即 ， 直线 ，经过 时，纵截距最大， ，从图形可知，截距 的取值范围是 ， 所以 的取值范围是
