1、高三文数 1 / 8 南阳一中 2019 年春高三第十 九 次月考 文数试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1.若集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 满足 ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 3.某地某所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如下柱状图： 则下列结论正确的是（ ） A. 与 2015 年相比， 2018 年一本达线人数减少 B. 与 2015 年相比， 2018 年二本达线人数增加了 0
2、.5 倍 C. 与 2015 年相比， 2018 年艺体达线人数相同 D. 与 2015 年相比， 2018 年不上线的人数有所增加 4.已知 为定义在 上的奇函数，且当 时， ，则实数 （） A B C D 5.叶子标本模型是一类常见的图形 .绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形 的两个顶点 ， ，分别以 ， 为圆心，线段 的长度为半径作圆，得到图（ 1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（ 2）所示的叶子标本模型 .若往正方形 中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（ 2）中阴影区域）的概率为（ ） A. 22 B. 24 C. 23 D. 31 6.过双曲线 1222
3、 yx 的一个焦点作直线交双曲线于 A,B 两点，若 4|AB| ，则这样的直线有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 高三文数 2 / 8 7.将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 8.已知 ,ab是两条异面直线，直线 c 与 ,ab都垂直，则下列说法正确的是 （ ） A.若 c 平面 ，则 a B.若 c 平面 ，则 /a ， /ba C.存在平面 ，使得 c ， a ， /baD.存在平面 ，使得 /ca， a ， ba 9.函数 的零点个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
4、10.点 P在椭圆 134: 221 yxC上， 1C 的右焦点为 F，点 Q在圆 02186: 222 yxyxC上，则 |PF|-|PQ| 的最小值为（ ） A B C D 11.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的帝京景物略一书中才正式出现 .如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ） A. B. C. D. 12.在正方体 中，点 平面 ，点 是线段 的中点，若 ，则当 的面积取得最小值时， （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。
5、13.若向量 ， ，且 ，则实数 _ 14.已知 21,FF 为双曲线 1: 22 yxC 的左、右焦点，点 P 在 C 上， 6021PFF ，则P 到 x 轴的距离为 _. 15.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .若 ，则当 取得最小值时， 的外接圆的半径为 _ 高三文数 3 / 8 16已知函数 与 的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数 的取值范围是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。 17.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， . （ ）证明： 是等差数列； （ ）设 ，求数列 的前 项和 . 18.如图所示的几何体中， 为三棱柱，且 平面，
6、，四边形 为平行四边形， ，. （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求三棱锥 的体积 . 19.2018 年 10 月 28 日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考 如何做一个文明的乘客 .全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范 . 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图 . （ 1）求得分在 上的频率； （ 2）求 社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） （ 3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性， 社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）
7、 认为此项学习十分必要 认为此项学习不必要 50 岁以上 400 600 50 岁及 50 岁以下 800 200 根据上述数据，计算是否有 的把握认为居民的学习态度与年龄相关 . 附： ，其中 . 高三文数 4 / 8 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20.已知椭圆 ： ， 为坐标原点， 为椭圆 的左焦点，离心率为 ，直线 与椭圆相交于 ， 两点 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若 是弦 的中点， 是椭圆 上一点，求 的面积最大值 . 21.已知函数 . （ 1）讨论函数 的单调性； （ 2）若 ，函数 在区间 上恰有两
8、个零点，求 的取值范围 . 选考题；共 10 分。请考生在第 22、 23 题中 任 选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。 22.在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数） . （ ）若 ，求曲线 的直角坐标方程以及直线 的极坐标方程； （ ）设点 ，曲线 与直线 交于 ， 两点，求 的最小值 . 23.已知函数 |)( axxf （ 1） 若 mxf )( 的解集为 -1,5，求实数 ma, 的值 （ 2） 当 2a 且 20 t 时，解关于 x 的不等式 )2()( xftxf 高三文数 5 / 8
9、高三第 19 次月考文数试题答案 选择题 112 BCDAA CDCBD CD 填空题 1316 26 15158 17. 设等差数列 的公差为 ， ，则 ，解得 . 所以 ，解得 ，所以 . 所以 .所以 . 因为当 时， ,当 时， , 故 是首项为 ，公差为 的等差数列 . （ II）由 可知 ，故 . 故 . 两式相减可得 . 故 . 18.(1) 为三棱柱，且 平面 ABC， ， 四边形 ABCD为平行四边形， ， 是正方形， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， ， ， 平面 高三文数 6 / 8 (2) ， ， ， 三棱谁 的体积： 19.（ 1）依题意，所求频率
10、. （ 2）由（ 1）可知各组的中间值及对应的频率如下表： 中间值 45 55 65 75 85 95 频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 ， 即问卷调查的平均得分的估计值为 70.5 分 . （ 3）依题意， . 因为 ， 故有 的把握认为居民的学习态度与年龄相关 . 20.（ 1） ， 为椭圆 的左焦点， 设椭圆 的焦距为 ，所以 ， 离心率为 ， ，又 ，所以 ， 椭圆 的方程为： . （ 2）设 ， . 是弦 的中点， 直线 的斜率存在，设斜率为 ， 则直线 的方程为： ，即 . 由 联立，整理得： ， 因为直线与椭圆相交，所以 成立 . 高三文数 7 / 8 ，
11、 ， ， ， 直线 的方程为： ， ， ， . 要使 的面积最大值，而 是定值，需 点到 的距离最大即可 . 设与直线 平行的直线方程为： ， 由方程组 联立，得 ， 令 ，得 . 是椭圆 上一点， 点到 的最大距离，即直线 到直线 的距离 . 而 ， 此时 . 因此， 的面积最大值为 . 21.（ 1） 的定义域为 ， . 时， ，所以 在 上单调递增； 时，由 得 ， 得 . 即 在 上单调递减，在 上单调递增 . 综上：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 . （ 2）当 时，由（ 1）知 在 上单调递减，在 上单调递增， 若 ，即 时， 在 上单调递增，
12、 ， 在区间 上无零点 . 若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， . 在区间 上恰有两个零点， 高三文数 8 / 8 ， . 若 ，即 时， 在 上单调递减， ， ， 在区间 上有一个零点 . 综上， 在区间 上恰有两个零点时 的取值范围是 . 22.在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数） . （ ）若 ，求曲线 的直角坐标方程以及直线 的极坐标方程； （ ）设点 ，曲线 与直线 交于 ， 两点，求 的最小值 . （ I）曲线 ，将 代入得 ,即曲线 的直角坐标方程为 直线 ，故 故直线 的极坐标方程为 （ II）联立直线 与曲线 的方程得 即 设点 对应得参数分别为 ，则 因为 当 时，取等号 . 所以 的最小值为 23.（ 1）因为 所以 （ 2） 时等价于 当 所以舍去 当 成立当 成立 所以，原不等式解集是 max maxma 3,25 1 mama ma2a xtx 2 20,2,2 txtxx ,2 20,2,20 txxtxx xtxx 2,0 22,t
