1、四川南充高中 2018 年高三 1 月检测考试理科数学试卷第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】由题意可得： ，则： .本题选择 A 选项.2. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应
2、用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图3. 下表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温 的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表 ，则下列结论错误的是（ ）A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温和最低温的平均值在前 8 个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现 1 月D. 1 月至 4 月的温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前 个
3、月不是逐月增加， 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 月 ， 正确；由表格可知 月至 月的月温差（最高温减最低温）相对于 月至 月，波动性更大， 正确，故选 B.4. 已知命题 是 的必要不充分条件；命题 若 ，则 ，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由对数的性质可知： ，则命题 是真命题；由三角函数的性质可知：若 ，则： ，且： ，命题 是真命题 .则所给的四个复合命题中，只有 是真命题.本题选择 A 选项.5. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，且 ，则 （ ）A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有：
4、 ，不妨设 ，结合余弦定理有： ，求解关于实数 的方程可得： ，则： .本题选择 B 选项.6. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥 ，如图，正方体的边长为 2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为 ，另两个侧面为直角三角形面积都为 ，可得这个几何体的表面积为 ，故选 C.7. 将曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 ，则 在 上的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B8.
5、 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）A. 7 B. 10 C. 13 D. 16【答案】D【解析】依次运行程序框图可得：第一次：1 不是质数， ；第二次：4 不是质数， ；第三次：7 是质数， ；第四次：10 不是质数， ；第五次：13 不是质数， 。故输出 16。选 D。9. 设 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查 的几何意义：可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则 ，令 ，换元可得： ，该函数在区间 上单调递增，据此可得： ，即目标函数的取值范围是 .本题选择 A 选项.点睛：(1)本
6、题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义10. 函数 的部分图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 时，代入得 ，排除 、当 时 ， ，此时 排除故选11. 过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点， 为虚轴上的一个端点，且 为钝角三角形， 则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由通径公式有： ，不妨设 ，分类讨论：当 ，即 时， 为钝角，此时 ；当 ，即 时，应满足 为钝角，此时： ，令 ，据此可得： ，则： .本题选择 D
7、 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c 2a 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围) 12. 已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设， ，令则在 上为增函数，且当 时， ，当 时，在 上为减函数，在 上为增函数，当 时， 取得最小值，此时即 的最小值为故选点睛：本题主要考
8、查了函数的值以及利用导数研究函数的极值。根据 得到 的关系，再利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，再利用导数研究函数的最值即可得到结论。第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 设平面向量 与向量 互相垂直 ，且 ，若 ，则 _【答案】5【解析】由平面向量 与向量 互相垂直可得 所以 ，又，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面 :(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是
9、；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量的模（平方后需求 ）.14. 在二项式 的展开式中 ，第 3 项为 120，则 _【答案】2【解析】结合二项式定理的通项公式有： ，其中 ，结合题意有： ，计算可得： ，即： .15. 如图， 是正方体 的棱 上的一点，且 平面 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_【答案】【解析】不妨设正方体 的棱长为 ，如图，当 为 中点时， 平面，则 为直线 与 所成的角，在 中，故答案为 .16. 已知点 是抛物线 上一点， 为坐标原点， 若 是以点 为圆心， 的长为半径的圆与抛物线 的两个公共点 ，且 为等边三角形， 则 的值是_【答案】【解析】 点 A 在线段 O
10、M 的中垂线上，又 ，所以可设 ，由 的坐标代入方程 有：解得：点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共 60 分.17. 已知正项数列 满足 ， .数列 的前 项和 满足 .（1）求数列 ， 的通项公式 ；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） , .（2） .【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，利用前 n 项和与通项公式的关系可得 的通项公式为 .(2)结合(1)中求得的通项公式
11、裂项求和可得数列 的前 项和 .试题解析：（1）因为 ，所以， ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，当 时， ，当 时 也满足，所以 .（2）由（1）可知 ，所以 .18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有 1300 多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧
12、制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为 ， ， ，经过第二次烧制后，甲、乙、 丙三件工艺品合格的概率依次为 ， ， .（1）求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 ，求随机变量 的数学期望.【答案】 (1) .（2） .【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为 ；(2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量 的数学期望为 1.2.试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件 ,（1）设事件 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 .（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 ，所以随机变量 ，所以 .19. 如图，四边形 是矩形， ， ， ， 平面 ， .
