1、长春市普通高中 2018 届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. C 2. A 3. C 4. D 5.C 6. D7. A 8. B 9. B 10. D 11. B 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】C |1,|03,(1,3)xxA.故选 C. 2. 【命题意图】本题考查复数. 【试题解析】A ,|zi.故选 A. 3. 【命题意图】本 题 考 查 中 华 传 统 文 化 中 的 数 学 问 题 .【试题解析】C 由算筹含义. 故选 C. 4. 【命题意图】本题主要
2、考查函数的图象及性质.【试题解析】D 由函数是偶函数，排除 A，C，当 (0,)2x， tan0x.故选 D.5. 【命题意图】本 题 考 查 三 角 函 数 的 相 关 知 识 .【试题解析】C 由题意知， ,12akZ.故选 C.6. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识. 【试题解析】D 根据程序框图 .故选 D 7. 【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A 由题意知 234A.故选 A. 8. 【命题意图】本 题 主 要 考 查 三 视 图 问 题 . 【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥， 104323V.故选 B. 9. 【命题意图】本题主要考
3、查解三角形的相关知识. 【试题解析】B 由题意知 60B，由余弦定理， 2ac，故 24acac，有 4ac，故 1sin32ABCSac.故选 B. 10. 【命题意图】本 题 主 要 考 查 球 的 相 关 问 题 . 【试题解析】D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为 1+3=5， 故其外接球的半径为 52，其表面积为 5.故选 D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识. 【试题解析】B 由双曲线可知 1223,4PFSm，从而 72e.故选 B. 12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用. 【试题解析】B 令 ()xfx，有 ()0fx，所以 ()
4、Fx在定义域内单调递增，由 1)(f，得 123F，因为 22log|31|)log|31|f 等价于2log|3|log|xx，令 xt，有 (ft，则有 t，即，从而 0|x，解得 ,且 0. 故选 B.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 9 14. 1.7 15. (,14,) 16. 4832简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在 (,)处取最大值 9.14. 【命题意图】本题考查回归方程的相关知识. 【试题解析】将 3.2x代入回归方程为 1yx可得 4.2y，则 6.7m，解得 1.675m，即精
5、确到 0.1 后 m的值约 .7. 15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当 10,(),x，当 20,log,x，故 (,14,). 16. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识. 【试题解析】由题意可知其最小值为 483.三、解答题17. (本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1） Q2nS， 令 1n， 0a12nnaS， 又 数列 nb为等比， 2， 458b24bq，又各项均为正 q， 1n（2）由（1）得： 1nnc2302nnTL2312nL34 1n2 1nn11224n4nnT18. (本小题满分 1
6、2 分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识. 【试题解析】解：（1）由 10.015.30.1a，得 0.35a，（2 ）第 1，2，3 组的人数分别为 20 人，30 人，70 人，从第 1，2 ，3 组中用分层抽样的方法抽取 12人，则第 1，2，3 组抽取的人数分别为 2 人，3 人，7 人. 设 从 12 人 中 随 机 抽 取 3 人 ， 第 1 组 已 被 抽 到 1 人 为 事 件 A， 第 3 组 抽 到 2 人 为 事 件 B， 则27120203| .()5CPAB（3）从所有参与调查的人中任意选出 1 人，关注“ 生态文明”的概率为
7、4,5X的可能取值为 0，1 ，2，3. 03(1)5PC， 12341()55PXC213448()525PXC， 346()512PXC所以 的分布列为 01214(3,)5XB， 423.5EXnp 19. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】答案：（1）取 PC中点 M，连接 FD,FM,分别是 B,中点， CBF21,/，E为 DA中点， 为矩形， E，E,/， 四边形 为平行四边形平面 PDC， 平面 PD， /F平面 RDC（2 ） P平面 B，且四边形 AB是正方
8、形， APB,两两垂直，以 A为原点， ， 所在直线为 zyx,轴，建立空间直角坐标系 xyz则 ,011,0, 1()(,0)2F设平面 EFC法向量为 nz， 2E， 1(,)2C则 01， 即 021zyx，取 ,31n则设平面 PD法向量为 (,)n， (,)PD， (1,)P则 02nC， 即 0zyx， 取 12n121357cos, 4|14.平面 EF与平面 PD所成锐二面角的余弦值为 1. 20. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设动圆 C的半径为 r，由题意知
9、12|3,|1Crr从而有 12|4C，故轨迹 E为以 12,为焦点，长轴长为 4 的椭圆，并去 除点 (,0)，从而轨迹 的方程为 ()43xyx.（2 ）设 l的方程为 1xmy，联立21xy，消去 x得 2(34)690myx，设点 12(,)(,)AxyB，有 1212,34y则221()| 34m，点 (,0)P到直线 l的距离为 2m，点 (,)Q到直线 l的距离为 2，从而四边形 ABQ的面积 22141334S令 21,tmt，有 24tt，函数 yt在 ,)上单调递增，有 34t，故 2613tSt，即四边形 APBQ面积的最大值为 6.21. (本小题满分 12 分)【命题
10、意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1） Qfx的定义域为 xR且单调递增，在 xR上， ()240afe恒成立，即： (42)xae设 ()4xhe R ， ()2)xhe， 当 ,1时 ， x在 ,1上为增函数，当 x时 ()， 在 上为减函数，ma()2Qmax(4)ae， ，即 2,)ae . （2） 25xgef Q121,， 1 222 245 45x x mxee145e设 2x R，则 12x，0x在 上递增且 0令 1,m， 2,设 Fx， 0,x211mmxxeeQ00x， 210x， 在 ,上
11、递增， Fm， 2， 0,x，令 1x11x即： 22又 2()()m， 12x即： 12xQ1x， 21， Q在 R上递增12mx，即： 12xm，得证. 22. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （1）联立 cos43， 23， 20， 6， 32交点坐标(23,)6.（2）设 ,P， 0,Q且 .s0,)2，由已知 ,3QPO得 05cos42，点 P的极坐标方程为 10cos,)2. 23. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】 （1）当 2m时， 41(0)3232=25()xfxxxx 当 430x解得 12x； 当 3013x ， 恒成立. 当52x解得 ，此不等式的解集为 2， . 43+(0)3=23()xmfxxxx（ ） 当 (,0)x时， (0)223=34xfxmx 当 32 时， =+f，当 2xfm， 单调递减，f(x)的最小值为 3+m，设 0g当 0,2x，当且仅当 =x时，取等号 2-,x即 x=-时，g(x)取得最大值 -. 要使 f恒成立，只需 32，即 -3m.
